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1、第13章 状态空间模型 重点内容： 卡尔滤波原理 状态空间模型的建立 状态空间模型的估计,一、状态空间模型基本理论,设yt是k1维可观测向量，其包含k个经济变量，有m1维状态向量 t，可观测向量yt与状态向量 t有关。有y t = Z t t + d t + t 该式被称为量测方程（Measurement Equation），也叫信号方程（Signal Equation）。其中，n为样本长度；Z t是km矩阵； t的元素是不可观测的；d t为k1维向量； t是k1维向量，是均值为0，协方差矩阵为H t的连续的不相关误差项，即E（ t）=0 Var（ t）=H t,一、状态空间模型基本理论,有如
2、下方程成立 t = T t t-1 + c t + R t t 该式被称为转移方程（Transition Equation），也叫状态方程（State Equation）。其中，T t是mm矩阵；c t是m1向量；R t是mg矩阵； t是g1向量，其均值为0，协方差矩阵为Q t的连续的不相关误差项，即E（ t）=0 Var（ t）=Q t量测方程中的矩阵Z t，d t，H t和移动方程中的矩阵T t，c t，R t，Q t被统称为系统矩阵。,一、状态空间模型基本理论,状态空间模型的假定条件 （1）初始状态向量 0的均值为a 0，协方差矩阵为P0；（2）随机误差项 t和 t是相互独立的，且和初始
3、状态向量 0是不相关的。,二、卡尔滤波,当一个模型被写成状态空间形式时，就可以用一些重要的算法对其进行求解。这些算法的核心就是卡尔滤波（Kalman Filter）。卡尔滤波是一个理想递推过程，是在时间t基于所有可得到的信息计算的状态向量。 卡尔滤波的主要作用：当随机误差项和初始状态向量服从正态分布时，能通过预测误差分解计算似然函数，从而达到对模型中所有未知参数进行估计的目的。当获得新的观测值时，利用卡尔滤波可以修正状态向量的估计。,二、卡尔滤波,设Yn表示在t=n时刻所有可利用信息的集合，则状态向量的估计问题根据信息的多少可以分为三类：第一类：当tn时，超出样本的观测区间，是对未来状态的估计
4、，将该种估计称为预测；第二类：当t=n时，与样本观测区间相同，是对现在状态的估计，将该种估计称为滤波；第三类：当tn时，是利用到现在为止的观测值对过去状态的估计，将该种估计称为平滑。,二、卡尔滤波,假定系统矩阵Z t，H t，T t， R t，Q t是已知的，初始状态向量 0的均值为a 0，误差协方差矩阵为P0并且是已知的。设a t-1是基于信息集合Yt-1的t-1的估计量，Pt-1是估计误差的mm维协方差矩阵。当a t-1和Pt-1给定时， t的条件分布的均值为 a t | t-1 = T t a t-1 + c t （1）估计误差的协方差矩阵是P t | t-1 = T t Pt-1 T
5、t + R tQ t R t （2）（1）和（2）为预测方程。,二、卡尔滤波,当得到新的预测值xt时，就可以对 t的估计a t | t-1进行修正，新方程为a t = a t | t-1 +P t | t-1 Z t F t-1（x t - Z t a t | t-1 - d t ）P t= P t | t-1 - P t | t-1 Z t F t-1 Z t P t | t-1 F t = Z t P t | t-1 Z t + H t 卡尔滤波的初值可以按a 0和P 0或者a1 | 0和P1 | 0指定，在每一个观测值下，卡尔滤波给出状态向量的最优估计。当所有的n个观测值都已处理完毕后，
6、卡尔滤波会产生当前状态向量和下一个时期状态向量的最优估计。,三、状态空间模型的建立,在对状态空间模型进行估计时，需先创建一个状态空间对象。在主菜单栏中选择“Object”|“New Object”|“SSpace”选项，即建立了一个状态空间对象，同时打开了一个空的状态空间说明窗口。,三、状态空间模型的建立,定义一个状态空间模型的方法有两种：（1）利用EViews软件中的自动指定功能设定状态空间模型的标准形式。选择状态空间对象工具栏中的“Proc”|“Define State Space”选项，得到下图所示的对话框。在该对话框中可以对状态空间模型进行设定。,三、状态空间模型的建立,“Basic
7、Regression”（基本回归）选项卡该选项卡中可以设定模型的基本回归部分。在“Dependent variables”中指定因变量；在“Regressors with fixed coefficients”中输入带有固定系数的回归变量；在“Regressors with recursive coefficients”中指定误差项的ARMA结构。,三、状态空间模型的建立,“Stochastic Regressors”（随机回归）选项卡 该选项卡中将带有随机系数的回归变量加入模型中 。在“Constant mean（plus noise）coefficients”中输入的是固定均值系数；在“A
8、R(1) coefficients”中输入AR(1)系数的形式；在“Random walk coefficients”中输入的是随机游走系数；在“Random walk（with drift）coefficients”中输入的是带有漂移的随机游走系数。,三、状态空间模型的建立,“Variance Specification”（方差说明）选项卡该选项卡中可以为量测方程或状态方程选择方程矩阵类型。包括四种类型： Identity”为单位矩阵，“Common Diagonal”为共同对角矩阵，“Diagonal”为一般对角矩阵，“Unrestricted”为无限制矩阵。,三、状态空间模型的建立,（2
9、）在下图所示的状态空间对象的文本编辑栏中也可以对状态空间模型进行定义。在该编辑栏中通过关键词和文本可以描述量测方程、状态方程、初始条件、误差结构和待估参数的初始值。,三、状态空间模型的建立,量测方程： 量测方程的关键词是“signal”，如果该关键词缺失，系统默认下会将该方程设定为量测方程。量测方程的因变量可以包含表达式，例如log(kg)=ss1 + c(1) + c(3)x + ss2y 其中，ss1和ss2是状态变量。量测方程的右侧不能包含量测变量的当期值和未来值，即不能包含因变量表达式中的变量。,三、状态空间模型的建立,状态方程： 状态方程的关键词是“state”。状态方程中不能使用表
10、达式，不能包含量测方程的因变量以及因变量的超前和滞后变量，但可以包含外生变量和未知参数，以及它们的非线性形式。每一个状态方程必须是状态变量一期滞后的线性方程。状态变量的高期滞后需通过定义新的状态变量才可以实现。,三、状态空间模型的建立,误差与方差： 指定误差项的方差是将一个误差项加到状态空间方程中的最简单的方法，误差项必须放置方程的后面。误差的关键词是“var”，其表达式是关键词“var”加上一个赋值语句。误差的表达式需用方括号括起。所指定的方差可以是已知常数，也可以是未知参数的表达式。 命名误差方法包括两个部分，第一部分是用“ename”关键词，后面接等号和以方程中的残差序列命名的变量名；第
11、二部分是用“evar”关键词，后面接误差方差或者误差项协方差的赋值语句。,四、状态空间模型的估计,当状态空间模型被定义好后，就可以对其进行模型的估计。在EViews软件操作中，选择状态空间对象工具栏中的“Proc”|“Estimate”选项，得到对话框。在“Sample”中输入要估计的样本区间，系统默认下为整个样本区间；在“Optimization algorithm”（最优化算法）中选择估计算法，包括“Marquardt”（马夸特测定法）和“BHHH”估计方法；在“Iteration Control”（循环控制）中可以设定最大循环次数和收敛值；在“Derivatives”（导数方法）中，有两
12、种计算导数的方法，分别是“Accuracy”和“Speed”。如果选择“Accuracy”计算的精度会更高，如果选择“Speed”计算的速度会更快。,五、状态空间模型的视图和过程1.状态空间模型的视图,选择工具栏中的“View”|“Specification”选项，其包括五个子菜单。“Text screen”为文本视图，通过该视图可以完成对状态空间模型的定义或修改。用户选择工具栏中的“Spec”功能键，同样可以打开文本视图。,五、状态空间模型的视图和过程1.状态空间模型的视图,选择工具栏中的“View”|“Estimation Output”选项，可以通过图表方式显示量测方程的估计结果。选择工
13、具栏中的“View”|“Actual，Predicted，Residual Graph”选项，可以通过图表方式显示量测方程的因变量的实际值、一步向前拟合值和一步向前标准化残差。选择工具栏中的“View”|“Coefficient Covariance Matrix”选项，可以显示估计的系数协方差矩阵。选择工具栏中的“View”|“Wald Coefficient Tests”选项，在弹出的图13-11所示的对话框中输入检验系数的约束条件，如“c(1)=0.02”，然后单击“OK”按钮，即可得到检验结果。,五、状态空间模型的视图和过程2.状态空间模型的过程,通过状态空间对象工具栏中的“Proc”
14、功能键可以完成对模型的创建、估计和预测等。其中，“Define State Space”和“Estimate”两项功能在状态空间模型被估计前和被估计后均可以使用。,五、状态空间模型的视图和过程2.状态空间模型的过程,如果状态空间模型已被正确的估计，则可以进行预测“Forecast”。选择工具栏中的“Proc”|“Forecast”选项将弹出对话框。在“Forecast method”中选择预测方法； 在“Forecast output”为预测结果输出，用户在四种输出形式中选择一种，在右侧的编辑栏中指定序列名称；在“Initialize states with”中可以设置初始条件用户还可以使用“EViews computed”计算初始值。,五、状态空间模型的视图和过程2.状态空间模型的过程,通过工具栏中的“Proc”|“Make Signal Series”选项可以产生量测序列。 通过工具栏中的“Proc”|“Make Statel Series”选项可以产生状态序列。,本章小结： 了解状态空间模型的基本理论 掌握状态空间模型的建立方法 了解卡尔滤波方法 掌握状态空间模型的估计方法,
