黑洞的指纹：拟正则模方法和意义

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1、黑洞 的指纹： 拟正则模方法和意文 赖劫 翟向华 李新洲 物理学家常说处于平衡状态的孤立黑洞是宇宙中 最简单的客体，它们只依赖于质量、角动量和电荷3个 物理参数。惠勒(JWheeler)将这个性质称为“无毛发 定理”中国学者有时戏谑地将其称为“三毛定理”。然 而，宇宙中并不存在孤立的黑洞，无论是星系中心的黑 洞还是其他黑洞，它们周围都复杂地分布着各种物质， 例如星系核、碟形吸积体、强磁场、恒星和行星，等等。 即使理想化地将这些宏观物体从黑洞周围空间移走， 黑洞仍然会与真空相互作用，通过粒子对产生霍金辐 射。一个真实的黑洞不可能仅仅用3个基本参数作完 整的描述，它总是处于被扰动的状态。对于一个处

2、在天 体物理环境中的黑洞不得不将黑洞的扰动分析作为 研究的出发点。一个被扰动的黑洞仍可以用度规来描 写。但这时的度规将分成两个相加的部分：描写原来平 衡状态的背景度规以及与时间有关的扰动部分。黑洞 对于扰动的反应可以分成3个阶段：初始阶段、拟正则 模阶段和晚期尾巴阶段，其中最重要的是拟正则模阶 段因为它由黑洞本身的特征而不是扰动的方式所决 定。正如每个人有自身独特的指纹那样，黑洞的拟正则 模可以用来对黑洞的个性作出鉴别。 从暗星到黑洞 在18世纪晚期，法国物理学家拉普拉斯(PS Laplace)和英国牧师米歇尔(JMichel1)几乎同时产生 了这样一种想法：是否存在一种质量极大且密度极高 的

3、星体，以至于光也无法逃离它们的万有引力控制。如 果存在，那它们不就是完全暗的，从而不可见了吗?他 们将这类星体称为暗星。对于任何星体都存在着一个 特定速度，用这个速度向外发射一个物体，该物体恰好 赖劫：研究生：翟向华，李新洲：教授，上海师范大学天体物理中心， 上海200234。 Lai Jie：Graduate student；Zhai Xianghan，Li Xinzhou：Professor，Shang- hal United Center for Astrophysies(such)，Shanghai Norma1University， Shanghai 200234 前沿 进入一个永久

4、的外轨道。这个特定速度称为逃逸速度。 地球的逃逸速度是112千米秒月球为237千米秒， 太阳为6177千米秒，当前宇航关心的火星逃逸速度 为51千米秒。高铁列车能达到的速度大约是01千 米秒，所以上述的逃逸速度是很快的速度。然而，光却 更快，早在1679年物理学家就确定了光速的值，约为 3x10s千米秒。可以用更严格的话来说暗星：是否存在 一个质量极大且半径极小的星体以至于它的逃逸速 度大于光速。然而，由于光有如此大的速度，因此需要 非常大且极度收缩的质量才能将其捕获。当然。没有任 何理由拒绝对暗星的思考。米歇尔向英国皇家学会递 交的论文后来被惠勒称作为黑洞的首篇参考文献。 1905年，爱因斯

5、坦不仅发现了狭义相对论而且提 出光实际上是由粒子组成的。1915年，当德国天文学 家施瓦西(KSchwarzschild)求解爱因斯坦新创立的广 义相对论场方程时，重新发现了暗星。爱因斯坦坚信4 维时空几何是弯曲的、可变的，他让一个坐标轴代表时 间，另外3个轴代表3维空间，并将它想象成一个随波 逐流地扭曲的超曲面。可以用一句简单的话来概括爱 因斯坦的引力理论：时空告诉物体如何运动，物体告诉 时空如何弯曲。可以用 一个2维剖面图来说明 广义相对论中的黑洞概 念。先以地球产生的几 何为例剖面图就如橡 皮膜上以地球为中心的 微小凹陷。当考虑对象 为白矮星时，其周围的 几何更为弯曲，但仍然 是光滑的。

6、事实上，太阳 质量大小的白矮星的半 径与地球相当。尽管白 矮星的逃逸速度很大 、 黑洞是逃逸速度大于光速的星体 wwwkexuemagcom 科学 1 1 前沿 FRONTIER 但只是光速的2，所以它的几何仍然是光滑的。如果 星体足够小，连光也无法逃逸这个星体，而星体一直坍 缩下去，直到它们形成奇点一个有着无穷大曲率 的点，这就是黑洞的经典图像。 黑洞的视界 如果光处在一个黑洞附近，但距离奇点尚有一段 距离那么这束光能逃离黑洞吗?答案是：依赖于黑洞 的质量和光开始其旅程的起点。一个称之为视界的假 想球面将世界分为两部分。从视界内发出的光不可避 免地被拉回黑洞，而从视界外发出的光能逃逸黑洞的

7、引力 为了更精确地说明视界的概念，需要回到广义相 对论中最简单的施瓦西解。时空几何的视界行为出现 在临界距离R=2GMc 处，这里 是黑洞的质量G是 牛顿引力常数，C是光速。爱丁顿(ASEddington)曾 将视界称为“我们无法在其中进行任何测量的魔圈” 魔圈问题曾引起当时的相对论学家的广泛讨论。由于 爱因斯坦本人非常不喜欢黑洞的观点，因此在很长一 段时问里魔圈被认为是广义相对论的一个缺陷。爱丁 顿是广义相对论的伟大卫士，却又是黑洞思想激烈的 反对者。当量子力学理论预言了存在密度超过任何人 所能想象的高简并态，从而支持了引力坍缩成黑洞的 假设后，他仍然激烈地反对恒星会坍缩。爱丁顿说：“我 认

8、为必定有一条自然定律来阻止恒星的这种荒唐行 径。”由于爱丁顿的权威影响，这种观点在当时占了上 风。但历史不会停留在某个时代，在1960年代后，投身 于黑洞研究的物理学家与日俱增。 惠勒是一位典型的诗化物理学家从黑洞到多世 界理论再到量子力学，他的努力使诸如此类的现代物 理学中的新颖想法逐渐为同行们重视。惠勒20岁刚出 头便到了丹麦，就学于玻尔(NBohr)门下。1939年，玻 尔和惠勒联名发表了一篇论文，成功地用量子力学解 释了核裂变。第二次世界大战及冷战初期，惠勒参与了 第一颗原子弹和第一颗氢弹的研制。不久之后，惠勒成 为美国广义相对论的权威。正是在他的大力鼓动下，天 体物理学家才逐渐相信黑

9、洞的存在。在1967年12月 29日之前，黑洞在物理学家们口中一直是“引力坍缩 的物体”这样一个冗长的名字。直到惠勒在纽约的一次 演讲中首次使用“黑洞”一词，这个名称才通过传媒。 迅速为公众接受，而黑洞研究也进入了一个新的光辉 阶段。 当前物理所关注的黑洞大致可以分成4类： (1)在星系中心的超重黑洞，其质量大约为10s 10 太阳质量： (2)中间质量黑洞，其质量大约为10 太阳质量； (3)恒星质量黑洞，其质量大约为10个太阳质量： (4)微型黑洞，其质量至少为几个普朗克质量。 前3类黑洞的扰动研究具有天体物理观测的重要 性，第4种黑洞研究的动机是弦M理论、胚世界舞台 和修正引力理论。 在

10、全面进入黑洞拟正则模的讨论之前还需了解 一些关于黑洞的数学解的知识。在4维时空中，存在着 用牛顿万有引力公式导出施瓦西半径 12科学20 31年l1月(63卷6期)一 一 一条唯一性定理该定理 证明了爱因斯坦方程本质 上仅有唯一的描写稳态旋 转黑洞解克尔解。这 个解是克尔(RPKerr) 在1963年发现的施瓦两 解是克尔解在角动量为零 时的特殊情形。但是，仔细 分析起来，4维时空的黑 洞解还存在着不少与标准 克尔解略有差异的副本， 例如还存在着时空不是渐 近平坦的黑洞解。 荷兰物理学家德西特 (Wde Sitter)发现了一个 由爱因斯坦方程描述的时 空的解，这个解被命名为 德西特时空，简记

11、为dS时 空。从宇宙学的角度来讲， dS时空描写的是一个以指数式膨胀的宇宙。由于1998 年以来天文学家和宇宙学家发现当前宇宙正在加速 膨胀，现时的速率大约是每100亿年宇宙的尺度扩大 一倍，所以dS时空的膨胀方式与现时宇宙很相似，宇 宙学家对此非常感兴趣。dS时空是一个带有正曲率的 弯曲时空连续统，它的三角形内角之和大于180。反 德西特时空，简记为AdS时空，它是负曲率的弯曲时 空连续统，其三角形内角之和小于180。在dS时空和 AdS时空中都存在着施瓦西黑洞解和克尔黑洞解的 副本，这些黑洞有着新的物理性质。AdS时空的曲率产 生了一个引力场。将所有物体往中心推。如果一个有质 量的物体被移

12、向边界，它会被推回来，就像弹簧那样。 如果不外加任何作用这个物体将会无休止地来回振 动。在广义相对论中，不同位置上的时钟速率是不同 的。一只靠近黑洞视界的钟会越走越慢，这也使得可以 把黑洞看成是一架时间机器。对于AdS黑洞，时钟的 行为变得更为怪异，最接近黑洞中心的观测者。环视 一下离中心较远的时钟会发现时钟离得愈远，将走 得愈快。 黑洞的指纹 不管扰动场是标量场、旋量场、矢量场，还是张量 场，克尔黑洞的扰动方程最终能与角变量退耦约化成 2维波动形式，进一步将时间和径向变量分离，便可得 到一个类薛定谔方程。这个类薛定谔方程的边界是黑 洞的视界和空间无穷远，即在一个半无穷区域( ，o。) 求解。

13、作一个数学上称作龟变换的变量代换rr ，可 将视界变换到一。处，从而可以在(一o。， 区域讨论类 薛定谔方程。在dS黑洞情形，读者应将这里的空间无 穷远读成“宇宙学视界”处。 拟正则模是上述波动方程满足视界处和无穷远处 特定边界条件的解。在黑洞视界处，要求扰动场是纯入 射波e一，在空间无穷远处要求扰动场是纯出射波e 。to 的值由类薛定谔方程所确定，它是一个复数集。对于每 一个模to，其实部to 表示模的实振动频率，其虚部to。 正比于扰动的减幅率。如果 0，则扰动是减幅的；如 果 0则整个系统是不稳定的。 这里讨论的类薛定谔方程与量子力学中的薛定谔 方程十分相似，特别是施瓦西黑洞的标量扰动情

14、形与 氢原子薛定谔方程精确相同。但是，不仅两者的物理内 容完全不同，而且处理的数学方法也完全不同。关键的 差异是两者的边界条件大相径庭。量子力学中的薛定 谔方程是给定区间(。，b)上的斯特姆一刘维尔问题 (SturmLiouville Problems)，在数学上是求二阶微分方 程的本征函数展开，本征值既可能是离散谱，也可能是 前沿： 连续谱。在区间上的任一函数，都能用本征函数展开。 拟正则模方程是在特定的边界条件下解类薛定谔方 程，得到的结果也与本征值问题截然不同。它的主要性 质如下。 (1)除了AdS黑洞外，黑洞的拟正则模不构成一个 完备集，所以任意一个信号并不能表示成拟正则模的 线性组合

15、。当渐近地考虑t一时的信号，会发现有幂 律或指数式的尾部。AdS黑洞是一个例外AdS黑洞的 拟正则模在所有时间内占主要地位。 (2)黑洞的拟正则模不依赖于扰动的初始方式，完 全决定于黑洞的参数。因此拟正则模对黑洞而言十分 重要，人们常常将拟正则模称为黑洞的指纹，从观测上 决定黑洞属于何种类型。 (3)拟正则模构成一个离散频率的可列集，这与希 尔伯特空间中微分算子谱问题不同后者可以由离散 谱、连续谱和剩余谱构成。 (4)拟正则模的线性近似计算与非线性爱因斯坦 方程进行的完全积分所得的结论高度一致因而拟正 则模在一定程度上揭示了黑洞的本质。 拟正则模的计算方法 鉴于黑洞拟正则模在观测上的重要性，较

16、准确地 计算拟正则模成为一个重要的研究课题。经过许多学 者的努力，形成了多种方法。下面介绍其中常用的4种。 (1)拟合法。该方法从拟正则模的类薛定谔方程和 量子力学中的薛定谔方程十分相似出发，作坐标变换 r 一一ir 和 ( 泛指黑洞的参数)并保持方程的势 形式上不变， (r ， )= (一r ， )，那么拟正则模问题 就约化成一个具有一 势的量子力学的束缚态问题。这 个束缚态问题具有实的边界条件。当r一。，扰动场取 e加 形式，其中 ( )； ( )。再利用量子力学的某个 可解势拟合束缚态问题的势。从而得到拟正则模 的 近似解析表达式。 在光锥坐标的2维空间中。每个胞腔代表一个积分步骤 wwwkexuemagcorn。科学 13 前沿 模拟法的优点是简便且能得到解析表达式，但它 需要进行精确拟合，这使得低频的拟正则模计算不够 精确。 (2)射击法。这个方法是由诺贝尔物理学奖获得者 钱德拉塞卡(SCh