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1、第二讲 模糊集的基本运算,2.1 模糊集的表示方法,如前所述, 模糊集合本质上是论域X到0, 1的函数, 因此用隶属函数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有以下的表示方法：1. 序偶表示法A=(x, A(x)|xX.例如: 用集合X=x1, x2, x3, x4表示某学生宿舍中的四位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集合A记为:A=(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56).,2.1 模糊集的表示方法
2、,2. 向量表示法当论域X=x1, x2, , xn时, X上的模糊集A可表示为向量A=(A(x1), A(x2), ,A(xn).前述的模糊集“帅哥”A可记为:A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).这种向量的第个分量都在0与1之间A(xi)0,1,称之为模糊向量。3. Zadeh表示法当论域X为有限集x1, x2, , xn时, X上的一个模糊集合可表示为A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ +A(xn)/xn.,2.1 模糊集的表示方法,前述的模糊集“帅哥”A可记为:A=0.55/x1+0.78/x2+0.91/x3+0.56/x4.注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和
3、/, 并不表示分式求和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属度值。还可使用形式上 符号, 从而可用这种方法表示论域为有限集合或可列集合的模糊集。比如,2.1 模糊集的表示方法,此外, Zadeh还可使用积分符号表示模糊集, 这种表示法适合于任何种类的论域, 特别是无限论域中的模糊集合的描述。与符号相同, 这里的仅仅是一种符号表示, 并不意味着积分运算。对于任意论域X中的模糊集合A可记为:,2.1 模糊集的表示方法,模糊集“年轻”A可表示为,2.1 模糊集的表示方法,注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表示法中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中, 应该写出全部
4、分量。例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“几个”A可表示为：,2.2 模糊集上的运算(定义),1. 几点说明如前所述, 经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。设X为非空论域, X上的全体模糊集记作F(X). 于是, P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合). 特别地, 空集的隶属函数恒为0, 集X的隶属函数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。,2.2 模糊集上的运算(定义),2. 模糊集的包含关系首先考查经典集合包含关系的特征。设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB当且仅当
5、属于A的元素都属于B.易证AB当且仅当对任意xX有A(x) B(x).,2.2 模糊集上的运算(定义),设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。,2.2 模糊集上的运算(定义),例, 论域X=x1, x2, x3, x4时, X上的模糊集A为:A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).X上的模糊集B为:B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37).则根据定义有BA.,帅哥,超男,论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).,2.
6、2 模糊集上的运算(定义),3. 模糊集的并首先考查经典集合的并。设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB=xX| xA或xB.易证AB(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x).,2.2 模糊集上的运算(定义),设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 A与B的并(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为(AB)(x)=maxA(x), B(x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),2.2 模糊集上的运算(定义),4. 模糊集的交非空论域X上的两个模糊集合A与B的交(记作AB)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为(AB)(x)=minA(x), B(
7、x)=A(x)B(x), xX.,(AB)(x),2.2 模糊集上的运算(定义),5. 模糊集的补非空论域X上的一个模糊集合A的补(记作A或AC)是X上的一个模糊集, 其隶属函数为A(x)=1A(x), xX.,2.2 模糊集上的运算(定义),注：两个模糊集的并、交运算可以推广到一般情形, 即对任意指标集I, 若Ai是X上的模糊集, iI. 则模糊集的(任意)并、(任意)交定义为:,2.2 模糊集上的运算(定义),例 设论域X=x1, x2, x3, x4为一个4人集合, X上的模糊集合A表示“高个子”: A= (x1, 0.6), (x2, 0.5), (x3, 1) , (x4, 0.4)
8、 . 模糊集合B表示“胖子”: B= (x1, 0.5), (x2, 0.6), (x3, 0.3) , (x4, 0.4) . 则模糊集合“高或胖”为:AB=(x1,0.60.5),(x2,0.50.6),(x3,10.3), (x4, 0.40.4)=(x1, 0.6), (x2, 0.6), (x3, 1), (x4, 0.4).模糊集合“又高又胖”为:AB=(x1, 0.5), (x2, 0.5), (x3, 0.3), (x4, 0.4).模糊集合“个子不高”为:A =(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6).,2.3 模糊集的运算性质,1.
9、经典集合的运算性质经典集合关于并、交、补运算具有以下性质:定理2.3.1 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A;(2) 交换律: AB=BA, AB=BA;(3) 结合律: (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC);(4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A;(5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,2.3 模糊集的运算性质,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan对偶律: (AB)=AB
10、, (AB)=AB;(9) 排中律(互补律): AA=X, AA=.注：满足上述前四条规律的代数系统称为格(可诱导出一个序ABAB=AAB=B), 满足以上9条性质的代数系统称为布尔代数(Boolean algebra, 即“有补的有界分配格”. 其中, 对合律、De Morgan对偶律可由其它条件导出).,2.3 模糊集的运算性质,2. 模糊集合的运算性质模糊集合关于并、交、补运算具有以下性质:定理2.3.2 设X为论域, A, B, C为X上的模糊集合, 则 (1) 幂等律: AA=A, AA=A;(2) 交换律: AB=BA, AB=BA;(3) 结合律: (AB)C=A(BC), (A
11、B)C=A(BC);(4) 吸收律: A(AB)=A, A(AB)=A;(5) 分配律: A(BC)= (AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);,2.3 模糊集的运算性质,(6) 对合律(复原律): (A)=A; (7) 两极律(同一律): AX=A, AX=X, A=, A=A;(8) De Morgan对偶律: (AB)=AB, (AB)=AB.注：模糊集中互补律不成立(参见下面的反例). 满足以上8条性质的代数系统称为De Margan代数, 也称为软代数(soft algebra).反例 设论域X=a, b上的模糊集A=(a, 0.6), (b, 0.3). 则A=(a,0.
12、4),(b,0.7). 从而AA=(a,0.6), (b, 0.7)X, AA=(a, 0.4), (b, 0.3).,2.3 模糊集的运算性质,证明De Morgan对偶律:对任意xX, 由于 (AB)(x)=1(AB)(x)= 1(A(x)B(x)= (1A(x)(1B(x)=A(x)B(x)=(AB)(x).所以(AB)=AB.同理可证(AB)=AB.,2.4 L型模糊集,本节把模糊集合的隶属度取值范围推广到一般格上, 并研究这类广义模糊集合及其性质。1. 偏序集与格定义2.4.1 称(P, )为偏序集, 若P上的二元关系满足以下三个条件:(1) 自反性: aP, a a;(2) 反对称
13、性: a b且b a a = b; (3) 传递性: a b且b c a c. 对于偏序集(P, ), 如果对于任意a, bP总有ab或ba成立, 则称P为线性序集或全序集。,2.4 L型模糊集,设(P, )为偏序集, 若存在aP使得对任意bP都有ab, 则称a为P的最小元。若存在aP使得对任意bP都有ba, 则称a为P的最大元。易知, 如果偏序集有最小元或最大元, 则最小元或最大元是惟一的。为此, 记0为最小元素, 1为最大元素。设(P, )为偏序集, XP, 若存在aP使得对任意xX都有xa, 则称a为X的上界。如果X的上界集合有最小元素, 则称它为X的最小上界或上确界, 记为supX或X
14、. 对偶地, 可以定义下界、最大下界或下确界(记为infX或X)。,2.4 L型模糊集,定义2.4.2 偏序集 (L, )称为格, 如果a, bP, 上确界ab与下确界ab都存在。任意子集都有上、下确界的格称为完备格。上、下确界运算满足分配律的格称为分配格, 这里分配律指有限分配律。定理2.4.3 设(L, )为格, 则上、下确界运算满足:(1) 幂等律: aa=a, aa=a;(2) 交换律: ab=ba, ab=ba;(3) 结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc);(4) 吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.,2.4 L型模糊集,定理2.4.4 设代数系统(L,)中的二元运算,满足:幂等律: aa=a, aa=a;交换律: ab=ba, ab=ba;结合律: (ab)c=a(bc), (ab)c=a(bc);吸收律: a(ab)=a, a(ab)=a.则: (1) ab=a ab=b; (2) 在L中定义二元关系如下a b ab=a. 那么 (L, )是格, 且,正好是这个格(L, )的上、下确界运算。,
