数学建模储油罐的变位识别与罐容表标定

1储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要如今加油站普遍采用地下储油罐储存燃油，与之配套的“油位计量管理系统”的研究很值得我们关注，本文正是研究地下储油罐由于地基变形等原因导致罐容表发生改变的规律并给出了模型及其适用条件，在此条件下模型与实测数据符合的非常好，并且经过分析模型对物理实际情况也符合的很不错针对问题一：计算出了椭圆柱油罐水平放置和倾斜放置时计算的一般公式给出了进油、出油之间的关系，并分析了误差产生原因，针对误差产生原因对模型性进行了修正，从而进一步降低误差同时进一步给出了油罐的标定利用在储油罐内油的横截面积上建立直角坐标，进而利用微积分得出：（1）无变位时： ；  221)arcsin()()( bHbHbLaV （2） 的纵向变位时： .412()2hbLyd针对问题二：给出了罐内储油量与油位高度及变位参数与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度  ）之间在限制条件下的一般关系探讨了如何在斜角度 变化时通过转动横向偏转角度 达到抵消变化的问题。

在限制条件下数据与物理实际情况上符合的非常好，在误差分析中给出了临界适用条件关键词：横截面积 建立坐标 油位高度2一、问题重述与分析1.1 问题的重述现如今加油站通常采用罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）来实时计算罐内油位高度和储油量的变化情况，罐容表可以很方便的计算出储油罐内的储油量，给予人类以很大的帮助！现在我们需要用数学建模方法研究储油罐的变位识别与罐容表标定的问题加油站现状如下：（1） ，许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变2） ，为保证储容表的实用性，有关部门规定，对罐容表需要定期进行重新标定需要解决的问题：1、问题一：（1）对于图 4 所示的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 的纵向变位两种情况建立数学模型研究罐体1.变位后对罐容表的影响2）给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值；2、问题二：（1）对于图 1 所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即确定罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。

2）利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据已建立的数学模型确定纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ， 给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值3）利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m 6m1m 1m3 m油位高度图 1 储油罐正面示意图油位探针3图 3 储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地 平 线 β地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地 平 线 油 (a) 小椭圆油罐正面示意图油 油位探针α 地平线图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线(b) 小椭圆油罐截面示意图α 油油浮子出油管油位探针 注油口水平线2.05m 17cm cm0.4m1.2m1.2m1.78m图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图4二、基本假设与符号说明2.1 基本假设1、假设储油罐内油面始终保持与水平面平行；2、液面变化沿罐体长的中点变化；3、假设储油罐只有罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，但并不发生形变，即储油罐体积不变；4、纵向倾斜角度 为较小角度（地基沉降不会造成巨大的倾斜）。

2.2 符号说明：符 号 含 义 符 号 含 义V第一问中：小椭圆油罐内油的体积；第二问中：油罐的总体积；V液面与中轴线所在平面所夹体积；S小椭圆油罐内油的横截面积； 油的总体积；a椭圆的长轴； sh实际油罐无变位时油面的高度；b椭圆的短轴； cR油罐圆柱体部分的高度；H小椭圆油罐内油的高度； b球罐体的半径；纵向倾斜角度；h油量一定时，水平放置油罐的油面高度； 横向偏转角度；h第一问中：倾斜角为 4.1°时储油浮子至底面的距离；第二问中：实际值（水平时测量值）；"h第二问中的观测值（显示油高） ；1倾斜角为 4.1°时小椭圆油罐内油面至底面的最小距离； "1经横向偏转角 变化后的值；12h倾斜角为 4.1°时小椭圆油罐内油面至底面的最大距离； "2h经横向偏转角 变化后的值；2油面改变的最大距离； '经横向偏转角 变化后的值；1图示油位探针与地面的连线的长度变化；'1经横向偏转角 变化后的值；12图示小椭圆油罐翘起边与地面的连线的长度变化； '2经横向偏转角 变化后的值；253倾斜角为 4.1°时油浮子至底面的距离与原来油面高度的差； '3经横向偏转角 变化后的值；3L小椭圆油罐的长度； d的变化量；1三、模型的建立与求解问题一：小题 1：思想方法：通过对液面与椭圆柱体所夹体积进行积分求得。

小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体截面如图 5）无变位时，油罐内油的体积计算如下：首先建立坐标系如图 5 所示：由于椭圆方程 ，所以有12byax.2ybax油的横截面积 由图 5 易得()Sy.2()hbSyyd由于 ，所以油的体积为()VyL.22221arcsinhbaahSydLhbbb   因为 , 所以bHh. 221)arcsin()()( bHbHbLaV 图 5、小椭圆形储油罐横截面6经 MATLAB 运算得到无变位进油时的进油量与油位高度的函数图像：图 6、MATLAB 计算结果（‘+’线为公式计算曲线，实线为原始数据曲线）经 MATLAB 运算得到无变位出油的出油量与油位高度的函数图像：图 7、MATLAB 计算结果（‘+’线为公式计算曲线，实线为原始数据曲线）小题 2：思想方法：通过求得倾斜后的液面高度 ， 得到一个由液面与油罐所夹的梯形1h2求得油的体积，这种方法避免了积分因为由假设 2 和积分中值定理，油罐长的中点为积分平均值，故可如此计算 L0.4mn¡ä2D5/-∠ °∠ 1¡图 8、倾斜角为 = 的纵向变位时的小椭圆形储油罐1.如图 8 所示：7因为 所以 故有12, , tanhhLtan.2L, t1 t2h因为 ，所以 ，故有1tanm1tanm13mL所以 ，又因t)2()2(13L, (1)tan2Lhhmtantan2t)12( ttan)(21 mhmLh 小椭圆型储油罐倾斜角为 时，油罐内油的体积计算如下：12()2hbaVyd经 MATLAB 运算得倾斜变位进油量与油位高度模型与实际原始数据对应的函数图像：图 9、MATLAB 计算结果（蓝色为公式计算曲线红色为原始数据曲线）图 9 的理论计算值与实际测量值有一个误差其产生原因如下图所示： Dvdo8图 10、误差产生来源如图 10 所示，当开始出油的时候 d 在减小，当液面于 O 点所在距离 d，其大小减小到 0 的时候浮子的高度才会发生改变，所以计算的体积与原始数据的体积值为 O 点所在平面与液面所夹的油的体积，经过计算得到计算体积与原始数据差的值为516.5453L。

所以当抽出值小于 516.5453L 油浮子不太灵敏附: 罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值1 2 3 4 5 6 7 8高度标定值 0.41129 0.42129 0.43129 0.44129 0.45129 0.46129 0.47129 0.48129体积对应值 1005.8 1045.7 1085.9 1126.3 1167.1 1208.2 1249.5 12919 10 11 12 13 14 15 16高度标定值 0.49129 0.50129 0.51129 0.52129 0.53129 0.54129 0.55129 0.56129体积对应值 1332.8 1374.7 1416.9 1459.3 1501.8 1544.5 1587.3 1630.317 18 19 20 21 22 23 24高度标定值 0.57129 0.58129 0.59129 0.60129 0.61129 0.62129 0.63129 0.64129体积对应值 1673.3 1716.5 1759.8 1803.2 1846.6 1890.1 1933.7 1977.325 26 27 28 29 30 31 32高度标定值 0.65129 0.66129 0.67129 0.68129 0.69129 0.70129 0.71129 0.72129体积对应值 2020.9 2064.5 2108.1 2151.7 2195.2 2238.8 2282.2 2325.633 34 35 36 37 38 39 40高度标定值 0.73129 0.74129 0.75129 0.76129 0.77129 0.78129 0.79129 0.80129体积对应值 2369 2412.2 2455.4 2498.4 2541.3 2584.1 2626.7 2669.241 42 43 44 45 46 47 48高度标定值 0.81129 0.82129 0.83129 0.84129 0.85129 0.86129 0.87129 0.88129体积对应值 2711.4 2753.5 2795.4 2837.1 2878.5 2919.7 2960.6 3001.349 50 51 52 53 54 55 56高度标定值 0.89129 0.90129 0.91129 0.92129 0.93129 0.94129 0.95129 0.96129体积对应值 3041.6 3081.7 3121.4 3160.8 3199.9 3238.6 3276.8 3314.7957 58 59 60高度标定值 0.97129 0.98129 0.99129 1.0013体积对应值 3352.2 3389.2 3425.8 3461.8问题二：思想方法：由第一题第二小问结论进行推广，引入横向偏转角度 ，通过对上一题模型进行修改得到所求的解。

体积公式：参考计算油罐体积的文献并修改得液面与中轴线所在平面所夹体积[1]： 32 2222 2322()()()()4 )3 arctn()()()cscsbcscsscsbcbcscscsbcRhVhLRhRhRh  222232 artn()4 rt() cscsbcbbs hR油罐的总体积： )2()(3 222 cbcbc RLV 油的总体积：Vmnrh2D3L/-h1s21aXYRbRcOP图 11：倾斜角为 的纵向变位时的实际油罐.410的推导如下：'1DBCb2Rc/A图 12， ，2sincRABBC2sin4cRA， ，4cdd1' ta1m， 的推导（ ， 的变化规律相同故用同一图）：''3''3bD¡ä图 13cos2tan;ta;cosL， ，'"1sh'"2sh'3'12m所以 )2sin4ta)(12)12(3 cRLm故有11)cos(.2tan)sin(4)tan(121  LRmLhc )(.t)i()t(2  c。