《2010年高考数学强化双基复习课件65》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年高考数学强化双基复习课件65（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2010届高考数学复习 强化双基系列课件 82 导数的应用 导数的应用 理科用 一、复习目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系 . 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号 ), 会求一些实际问题 (一般指单峰函数 )的最大值和最小值 . 二、重点解析 对于可导函数 f(x), 先求出 f(x), 利用 f(x)0(或 0, 则 y=f(x) 为 增 函数 , 如果 f(x)0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数 . 极大值与极小值统称为 极值 . 是函数 f(x) 的一个 极小值 , 记作 : y极小值 =f(x0), 如果对
2、x0附近的所有点 , 都有 f(x)f(x0), 就说 f(x0) 2.函数极值的定义 设函数 f(x) 在点 x0 及其附近有定义 , 如果对 x0 附近的所有点 , 都有 f(x)0, 右侧 f(x)0, 那么 f(x0) 是 极小值 . 一般地 , 当函数 f(x) 在点 x0 处连续时 4.求可导函数 f(x) 的极值的步骤 : (1)确定函数的定义域 ; (3)求方程 f(x)=0 的根 ; 5.函数的 最大值与最小值 在闭区间 a, b 上连续的函数 f(x) 在 a, b 上必有最大值与最小值 . 但在开区间 (a, b) 内连续的函数 f(x) 不一定有最大值与最小值 , 例如
3、 f(x)=x, x(-1, 1). 6.设函数 f(x) 在 a, b 上连续 , 在 (a, b) 内可导 , 求 f(x) 在 a, b上的 最大值与最小值的 步骤如下 : (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值 ; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较 , 其中最大的一个是 最大 值 , 最小的一个是最小值 . (2)求导数 f(x); (4)检查 f(x) 在方程 f(x)=0 的根左右的值的符号 , 如果左正右负 , 那么 f(x) 在这个根处取得极大值 ; 如果左负右正 , 那么 f(x) 在这个根处取得极小值 . 典型例题 1 已知 aR, 求函数
4、 f(x)=x2eax 的单调区间 . 解 : 函数 f(x) 的 导数 f(x)=2xeax+ax2eax =(2x+ax2)eax. (1)当 a=0 时 , 由 f(x)0 得 x0. f(x) 的单调递减区间为 (- , 0), 单调递增区间为 (0, + ), (2)当 a0 时 , 由 f(x)0 得 x0. f(x) 的单调递减区间为 (- , 0); 2 a f(x) 的单调递增区间为 (- , - ) 和 (0, + ). 2 a (3)当 a- ; 2 a 由 f(x)0 得 00; 当 x0 时 , f(x)a 时 , F(x)0, F(x) 在 (a, + ) 上为增函
5、数 . 从而当 x=a 时 , F(x) 取极小值 F(a)=0. ba, F(b)0. 00 时 , G(x)a, G(a)=0, G(b)0, 则 - 0 得 x1. f(x) 在 (- , -1) 上是增函数 , 在 (-1, 1) 上是减函数 , 在 (1, + ) 上是增函数 . 当 x=-1 时 , f(x) 取得极 大 值 f(-1)=2. 故 函数 f(x) 的单调递减区间是 (-1, 1), 单调递增区间是 (- , -1) 和 (1, + ); f(x) 的极大值为 2. 典型例题 5 已知函数 f(x)=ax3+cx+d (a0) 是 R 上的奇函数 , 当 x=1 时
6、, f(x) 取得极值 -2. (1)求 f(x) 的单调区间和极大值 ; (2)证明 : 对任意 x1, x2(-1, 1), 不等式 |f(x1)-f(x2)|0, u(x) 是 0, 1 上的增函数 . 0 u e. f(u)=(u-1)2-4, g(x) 在 0, 1 上的值域是 -4, e2-2e-3. (3)设 P(x1, y1), Q(x2, y2) 为 曲线 y=f(ex) 上任两点 , 不妨 x1a+ . y1-y2 x1-x2 y1-y20 得 x1. f(x) 在 (- , -1) 上是增函数 , 在 (-1, 1) 上是减函数 , 在 (1, + ) 上是增函数 . f
7、(-1)=2 是极大值 , f(1)=-2 是极小值 . 点 A(0, 16) 不在曲线上 . 设切 点为 M(x0, y0), 则 y0=x03-3x0. f(x0)=3x02-3. 切线方程为 y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0). 点 A(0, 16) 在切线上 , 16-(x03-3x0)=(3x02-3)(-x0). 化简得 x03=-8. x0=-2. 切线方程为 y-(-8+6)=9(x+2), 即 9x-y+16=0. 课后练习 2 已知向量 a=(x2, x+1), b=(1-x, t). 若 函数 f(x)=ab 在区间 (-1, 1)是增函数 , 求 t
8、的取值范围 . 解 : 由题设 f(x)=x2(1-x)+t(x+1) =-x3+x2+tx+t. f(x)=-3x2+2x+t. 函数 f(x) 在区间 (-1, 1) 是增函数 , f(x) 0, 即 -3x2+2x+t 0, 亦即 t 3x2-2x 对 x(-1, 1) 恒成立 . 考虑函数 g(x)=3x2-2x, x(-1, 1). g(x) 的图象是开口向上的抛物线 , 对称轴为直线 x= , 1 3 故 t 3x2-2x 对 x(-1, 1) 恒成立等价于 t g(-1), 即 t 5. 而当 t 5 时 , f(x) 在 (-1, 1) 上满足 f(x)0, 故 t 的取值范围
9、是 5, + ). 即 f(x) 在 (-1, 1) 是增函数 , 课后练习 3 已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d 的图象过点 P(0, 2), 且在点 M(-1, f(-1) 处的切线方程为 6x-y+7=0, (1)求函数 y=f(x) 的解析式 ; (2)求函数 y=f(x) 的单调区间 . 解 : (1) 函数 f(x) 的图象过点 P(0, 2), f(0)=2d=2. f(x)=x3+bx2+cx+2, f(x)=3x2+2bx+c. f(x) 图象在点 M(-1, f(-1) 处的切线方程为 6x-y+7=0, -6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1, 且 f(
10、-1)=6. 3-2b+c=6, 且 -1+b-c+2=1. 即 2b-c=-3, 且 b-c=0. b=c=-3. f(x)=x3-3x2-3x+2. (2)由 (1) 知 f(x)=3x2-6x-3. 令 f(x)0 得 x1+ 2 . 令 f(x)0 得 x1. y=f(x) 的单调递减区间是 (-2, 1); 单调递增区间是 (- , -2) 和 (1, + ). f(-2)=f(1)=0. (2)由 (1)知 f(x)=x2+x-2. 解得 a= , b= . 1 2 1 3 f(x)= x3+ x2-2x. 1 2 1 3 课后练习 5 设函数 f(x)=xsinx(xR). (1
11、)证明 : f(x+2k)-f(x)=2ksinx, 其中 k 为整数 ; (2)设 x0 为 f(x) 的一个极值点 , 证明 : 1+x02 x04 f(x0)2= . 证 : (1) f(x)=xsinx, k 为整数 , f(x+2k)-f(x)=(x+2k)sin(x+2k)-xsinx =(x+2k)sinx-xsinx =2ksinx. f(x+2k)-f(x)=2ksinx. (2) f(x)=xsinx(xR), f(x)=sinx+xcosx. 令 f(x)=0 得 sinx+xcosx=0. 显然 cosx0. x=-tanx. x0 为 f(x) 的一个极值点 , x0
12、=-tanx0. sin2x= = , sin2x sin2x+cos2x tan2x 1+tan2x tan2x0 1+tan2x0 sin2x0= . f(x0)2=x02sin2x0=x02 tan2x0 1+tan2x0 =x02 1+x02 x02 1+x02 x04 = . 1+x02 x04 f(x0)2= . 已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, bR). (1)若 a=1, 函数 f(x) 的图象能否总在直线 y=b 的下方 ? 说明理由 ; (2)若函数 f(x) 在 0, 2 上是增函数 , x=2 是方程 f(x)=0 的一个根 , 求证 : f(1) -2;
13、(3)若曲线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围 . 课后练习 6 (1)解 : 当 a=1 时 , 令 x=-1 得 f(-1 )=1+1+b=2+bb, 点 (-1, 2+b)在函数图象上 , 且在 直线 y=b 的上方 . 函数 f(x) 的图象不能总在直线 y=b 的下方 . 另 解 : 当 a=1 时 , f(x)=-x3+x2+b, f(x)=-3x2+2x. 令 f(x)=0 得 x1=0, x2= . 2 3 而 f( )=- + +b= +bb, 2 3 4 9 27 4 27 8 函数 f(x) 的图象不能总在直线 y=b 的下方 . 点 ( , +b) 在函数图象上 , 且在 直线 y=b 的上方 . 2 3 27 4 已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, bR). (1)若 a=1, 函数 f(x) 的图象能否总在直线 y=b 的下方 ? 说明理由 ; (2)若函数 f(x) 在 0, 2 上是增函数 ,
