1.1因动点产生的相似三角形问题

《1.1因动点产生的相似三角形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.1因动点产生的相似三角形问题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1.1 因动点产生的相似三角形问题 例 1 2012 年苏州市中考第 29 题 如图 1，已知抛物线 （b 是实数且21()44yxb2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全

2、等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1思路点拨 1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图

3、 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b1528xx解得 所以点 P 的坐标为( )165x16,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA1211()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQA QOA BAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q 为( )2()1b843b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQA QOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOQAC1

4、4b4A图 4 图 5考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾例 2 2012 年黄冈市中考模拟第 25 题 如图 1，已知抛物线的方程 C1： (2)yxm(m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的

5、左侧（1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C 、F 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由图 1思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45，或者作BF/EC再用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成

6、比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入 ，得 解得 m41(2)yxm24()（2）当 m4 时， 所以 C(4, 0)，E(0, 2) ()4x所以 SBCE 62BCOE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x1，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小设对称轴与 x 轴的交点为 P，那么 EOC因此 解得 所以点 H 的坐标为 234HP323(1,)2（4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F由于BCEFBC，所以当 ，即 时，BCE FBCCEBCE设点 F 的坐标为 ，由 ，得 1(,2)(xxmO1(2)mx

7、解得 xm2所以 F(m2, 0)由 ，得 所以 COBE24B2(4)F由 ，得 整理，得 016此方程无解2F22()()m图 2 图 3 图 4如图 4，作CBF45交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F，由于EBCCBF，所以 ，即 时，BCE BFCBEC2BE在 Rt BFF中，由 FFBF ，得 1()xm解得 x2m所以 F 所以 BF2m 2， (2,0) (2)F由 ，得 解得 BCE ()综合、，符合题意的 m 为 考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长例 3 2011 年上海市闸北区中考模拟第

8、25 题 直线 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，13yAOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后得到COD，抛物线 yax 2bx c 经过 A、C 、D 三点(1) 写出点 A、B、C、D 的坐标；(2) 求经过 A、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由图 1思路点拨 1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前

9、提4ABQ 与COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个满分解答（1）A(3，0) ，B(0，1)，C(0，3) ，D( 1，0)（2）因为抛物线 yax 2bxc 经过 A(3，0) 、C (0，3)、 D(1，0) 三点，所以 解得 930,.abc,3.ab所以抛物线的解析式为 yx 22x 3( x1) 24，顶点 G 的坐标为(1 ，4)（3）如图 2，直线 BG 的解析式为 y3x1，直线 CD 的解析式为 y3x3，因此 CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以 ABCD因此 ABB

10、G，即ABQ 90因为点 Q 在直线 BG 上，设点 Q 的坐标为( x，3x 1) ，那么 2()10BQxRtCOD 的两条直角边的比为 13，如果 RtABQ 与 RtCOD 相似，存在两种情况：当 时， 解得 所以 ， 3BA0x1(,0)2(3,8)当 时， 解得 所以 ， 1Q133x3(,)Q41(,)图 2 图 3考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明 ABBG；二是 2()10BQxx我们换个思路解答第（3）题：如图 3，作 GHy 轴，QN y 轴，垂足分别为 H、N通过证明AOBBHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG 90

11、在 RtBGH 中， ， 1sin03cos10当 时， 3BQA在 RtBQN 中， ， sin3NB cos9NBQ当 Q 在 B 上方时， ；当 Q 在 B 下方时， 1(,0)2(3,8)当 时， 同理得到 ， 3A31,)40例 4 2011 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题 RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示，反比例函数 在第一象限内的图象与 BC 边交于点 D（4，m） ，与 AB 边交于点 E（2，n） ，(0)kyxBDE 的面积为 2（1）求 m 与 n 的数量关系；（2）当 tanA 时，求反比例函数的解析式和直线 AB 的表达式；1（3）设直线 AB 与

12、y 轴交于点 F，点 P 在射线 FD 上，在（2）的条件下，如果AEO 与EFP 相似，求点 P 的坐标图 1思路点拨 1探求 m 与 n 的数量关系，用 m 表示点 B、D、E 的坐标，是解题的突破口2第（2）题留给第（3）题的隐含条件是 FD/x 轴3如果AEO 与EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况满分解答（1）如图 1，因为点 D（4，m ） 、E（2，n）在反比例函数 的图象上，所以kyx整理，得 n2m 4,2.kn（2）如图 2，过点 E 作 EH BC，垂足为 H在 RtBEH 中，tanBEHtanA ，EH2，所1以 BH1因此 D(4，m) ，E(2

13、，2m)，B(4 ，2m1) 已知BDE 的面积为 2，所以 解得 m11(1)2因此 D(4，1) ， E(2，2)，B(4，3) 因为点 D（4，1）在反比例函数 的图象上，所以 k4因此反比例函数的解析式为 kyx 4yx设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 B(4，3)、E(2 ，2)，得 解得 ， 34,2.kb12kb因此直线 AB 的函数解析式为 12x图 2 图 3 图 4（3）如图 3，因为直线 与 y 轴交于点 F（0，1） ，点 D 的坐标为（4，1） ，所以 FD/ x 轴，1yxEFP EAO因此AEO 与EFP 相似存在两种情况：如图 3，当 时， 解得 FP1

14、此时点 P 的坐标为（1，1） EAFOP25如图 4，当 时， 解得 FP5此时点 P 的坐标为（5，1） 考点伸展 本题的题设部分有条件 “RtABC 在直角坐标系内的位置如图 1 所示” ，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图 5 的情况：第（1）题的结论 m 与 n 的数量关系不变第（ 2）题反比例函数的解析式为 ，直线 AB 为2yx第（3）题 FD 不再与 x 轴平行，AEO 与 EFP 也不可能相似72yx例 5 2010 年义乌市中考第 24 题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A （2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、A 1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C