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1、3.3.2 古典概型与几何概型综合,1、几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2、几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.,3、几何概率的计算公式:,知识回顾：,什么是几何概率模型？有何特征？,1、几何概率模型的识别,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.,几何概型的基本特征：（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.,2、几何概型的概率,
2、在几何概型中，事件A的概率计算公式如下：,练习1. 一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率,解：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有 2人、1人、或没有.,所以代表队里男同学不超过2人的概率,练习1. 一个计算机学习小组有男同学6名，女同学4名从中任意选出4人组成代表队参加比赛，求代表队里男同学不超过2人的概率,解2：代表队里男同学不超过2人，即男同学可以有 2人、1人、或没有.,记代表队里有2名男同学为事件A ，有1名男同学为事件B ，没有男同学为事件C ，,则 A、B、C,所以代表队里男同学不超过2人的概率,彼此互
3、斥.,解: （1）设袋中原有n个白球，,则,即,解得,（舍去）,即袋中原有3个白球 .,（2）记“取球2次终止” 的事件为A，则,2. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止. （1）求袋中所有的白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.,（3）记“甲取到白球”的事件为B，,解:,“第i次取出的球是白球”的事件为Ai ，i =1，2，3，4，5 .,因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球，,且事件 A1，A3 ，A5 两两互斥，,
4、2. 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止. （1）求袋中所有的白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.,3学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是 问该文娱队有多少人？,解：设该队既会唱歌又会跳舞的有x人，,则该队的队员人数为 (12-x) 人,只会唱歌或只会跳舞的有(12-2x)人,从中选出3人，记“至少有一人既会唱歌又会跳舞”为事件A，,则A的对立事件 为“
5、3人都只会唱歌或只会跳舞”,其中只会唱歌的人有(5-x)人，只会跳舞的人有(7-x)人，, 该文娱队共有9人,即,检验得：,说明：(1)注意集合元素个数的计算方法：card(AB)= card (A) +card (B) - card(AB) (2)本题中出现了“至少”一词，可考虑从反面做，因为人数不知，所以从正面做较繁(3)解题过程中出现了三次方程由于x为正整数，可用试根的方法求出方程的根,A,B,4. 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率(1)10件产品中至多有一件废品；(2)10件产品中至少有一件废品,分析：产品中恰有0，1，2，3，4，5件废品是互斥
6、事件，可用概率加法公式,解：设Ai为事件“10件产品中恰有i件废品”,其中i=0,1,2,3，4，5 ，,Ai为彼此互斥事件,(1)设A为事件“10件产品中至多有1件废品”,则,又由于A0与A1互斥，,解：(2)设B为事件“10件产品中至少有一件废品” ，则有,而且 A1 、A2 、A3 、A4、A5 彼此互斥，,(法2)由于B的对立事件为“10件产品中无废品”,即 ，,解：（1）所有的分组结果是等可能的，9支队平均分成3组的不同,其中三个组各有一支亚洲队，所有不同的分法数为：, 三个组各有一支亚洲队的概率为,（2）至少有两支亚洲队在同一组的对立事件为, 至少有两支亚洲队在同一组的概率为：,=
7、 90（种）.,分法数为：,= 280（种）.,三个组各有一支亚洲队，,5.在9个国家乒乓球队中有 3个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛求：（1）三个组各有一支亚洲队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队在同一组的概率,6. 1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球求： （1）得到红球的概率； （2）得到绿球的概率； （3）得到红球或绿球的概率,解：,（1）得到红球的概率是,因为从盒中摸出1个球有10种等可能性的方法，,而得到红球的方法有 7 种，,得到绿球的方法有 2 种，,得到红球或绿球的方法有 7+2 种，,（2）得到绿球的概率是,所以,（3）
8、得到红球或绿球的概率是,练习1：在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。,分析：点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D. 当点M位于图中的线段AC上时，AMAC，故线段AC即为区域d。,解： 在AB上截取AC=AC，于是 P(AMAC)=P(AMAC),则AM小于AC的概率为,A,B,C,M,C,练习2：在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？,B,C,D,E,.,O,解：记事件A=弦长超过圆内接等边三角形的边长，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD上时，|BE|BC|，而弧CD
9、的长度是圆周长的三分之一，所以可用几何概型求解，有,则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为,3.(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,解： 以 x, y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的.,.M(x,y),二人会面的条件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,54321,y=x+1,y=x -1,记“两人会面”为事件A
10、,4. 设不等式组 表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,求此点到坐标原点的距离大于,2 的概率.,解：,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,表示的区域表示正方形区域,5.设球O内的内接正方体，在球O内任取一点M，求M落在内接正方体内的概率.,设球O的半径为R，,解：,则其体积为,设内接正方体的边长为a，,则,正方体的体积为,故M落在内接正方体内的概率是,6.若正三棱锥S-ABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点P，试求点P到底面的距离小于 的概率.,解：,且,如图作正三棱锥S-ABC的截面ABC，,则点P落在正三棱锥S-ABC内的概率为,故点P到底面的距离
11、小于h/2的概率为,7.如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，求满足ADAC的概率。,A,C,B,D,E,【分析】过直角顶点C在ACB内部作一条射线可以看作是随机的，满足条件ADAC的ACE可看成是构成事件的区域角，而ACB可看成是试验的所有结果构成的区域角，可用“角度化”公式计算其概率。,7.如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，求满足ADAC的概率。,A,C,B,D,E,在AB上取AE=AC，则,解：,设事件A=在ACB内部作一条射线CD，与线段AB交于点D，满足ADAC，,ACB=90
12、0，,故满足ADAC的概率,8.设A为圆上一定点，在圆周上任取一点与A连接，则弦长超过半径的概率是_.,当弦长等于半径时，弦所对的圆心角为,解：,只有当点在优弧 上时弦长超过半径，,同于优弧 所对的圆心角,故弦长超过半径的概率是,用几何概型解简单试验问题的方法,1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2、把基本事件转化为与之对应的区域D；3、把随机事件A转化为与之对应的区域d；4、利用几何概型概率公式计算。注意：要注意基本事件是等可能的。,课堂小结,1.古典概型与几何概型的区别.,相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个.,2.古典概型与几何概型概率的求法,2、古典概型与几何概型概率的求法(1)求古典概型概率的步骤： 列举基本事件，判断是否是古典概型，确定基本事件个数n； 确定事件中包含的基本事件个数m； 求概率:,(2)求几何概型的概率：求出事件A所占的区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可.,课后作业,4. 预习教辅第69页71页,2. 教辅课时作业第4445页 3.4,1. 教材作业第145页 复习参考题,3. 同步解析与测评第104106页,
