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1、2 一 元元 函数积分学函数积分学5 旋轮线 6 旋轮线也叫摆线7 旋轮线是最速降线 8 心形线 9 星形线 10 圆 的渐伸线 11 笛卡儿叶形线 12 双纽线13 阿基米德螺 线 14 双曲 螺 线主主 目目 录录 （ 125 ）1516231 曲边梯形 的 面积4 曲边扇形 的 面积19 平行 截面面积为已知的立体的体积。20 半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的 平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。21 求以半径为 R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h的正劈锥体的体积。22 旋转体体积 (y =f(x)绕 x轴 ) 23 旋转体体积 (x =g(y)绕 y轴
2、） 24 旋转体体积（柱壳法） 25 旋转体的侧面积1817求由 双纽线内部的面积。.元素法元素法1 化整为零2 以直代曲(以常代变 )3 积零为整yxoy=f (x)a b.分法越细，越接近精确值1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f (i).元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细.a b.分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变 )3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (i)元素法元素法4 取极限yxoy=f (x)令分法无限变细.分法越细，越接近精确值1 化整为零2 以直代曲(以常代变 )3 积零为整1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f (
3、i)S =S.a b2。0y x2.444解方程组：得交点： (8, 4)， (2,2)问题：选谁为积分变量？。3.xyo 33得两切线的斜率为故两切线为其交点的横坐标为。S =l1 l2( )do +dr =( ) 元素法元素法1 取极角 为积分变量，其变化区间为 ,以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：.4. 曲边扇形的面积曲边扇形的面积dSS3 作定积分.rxa圆上任一点所画出的曲线。5. 旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，5. 旋轮线2a2a0yxax = a (t sint)y = a (1 cost) t 的几
4、何意义如图示ta当 t 从 0 2， x从 0 2a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。5. 旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6. 旋轮线也叫 摆线 单摆单摆x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆6. 旋轮线也叫 摆线单摆单摆.6. 旋轮线也叫 摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板 , 使摆动周期与摆幅完全无关。在 17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称 摆线。单摆单摆.6
5、. 旋轮线也叫 摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a (t sint)BA答案是： 当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题 :质点在重力作用下沿曲线从固定点 A滑到固定点 B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)7. 旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？x=a (t sint)BA答案是： 当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题 :质点在重力作用下沿曲线从固定点 A滑到固定点 B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost).生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线x=a (t sint
6、)BA答案是： 当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题 :质点在重力作用下沿曲线从固定点 A滑到固定点 B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？7. 旋轮线是最速降线.x=a (t sint)BA答案是： 当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题 :质点在重力作用下沿曲线从固定点 A滑到固定点 B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？滑板的轨道就是这条曲线7. 旋轮线是最速降线.xyo a a一圆沿另一圆 外缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。8. 心形线 (圆外旋轮线 )xyo a来看动
7、点的慢动作一圆沿另一圆 外缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.8. 心形线 (圆外旋轮线 )axyo a a 2a来看动点的慢动作一圆沿另一圆 外缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.(圆外旋轮线 )8. 心形线xyo 2ar = a (1+cos )0 20 r 2aPr一圆沿另一圆 外缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.(圆外旋轮线 )8. 心形线xyo a a一圆沿另一圆 内缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。9. 星形线 (圆内旋轮线 )xyo a a来看动点的慢动作一圆沿另一圆 内缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.9
8、. 星形线 (圆内旋轮线 )xyo a a一圆沿另一圆 内缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。来看动点的慢动作 .9. 星形线 (圆内旋轮线 )xyo a a0 2或.P.一圆沿另一圆 内缘 无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.9. 星形线 (圆内旋轮线 )0 xy一直线 沿 圆周 滚转（无滑动）直线上 一个定点 的 轨迹10. 圆的渐伸线a0 xy一直线 沿 圆周 滚转（无滑动）直线上 一个定点 的 轨迹.a10. 圆的渐伸线再看一遍0 xy.a一直线 沿 圆周 滚转（无滑动）直线上 一个定点 的 轨迹10. 圆的渐伸线0 xy.a一直线 沿 圆周 滚转（无滑动）直线上
9、 一个定点 的 轨迹10. 圆的渐伸线a0 xMttaat(x,y)y试由这些关系推出曲线的方程.一直线 沿 圆周 滚转（无滑动）直线上 一个定点 的 轨迹10. 圆的渐伸线1. 曲线关于 y= x 对称2. 曲线有渐进线 x+y+a = 0分析3. 令 y = t x, 得参数式 故在原点，曲线自身相交 .11.狄狄 卡儿 叶叶 形 线4.0 xyx+y+a = 0曲线关于 y= x 对称曲线有渐近线 x+y+a=0.11.狄狄 卡儿 叶叶 形 线0 xyPr.曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 = .距离之积为 a2的点的轨迹直角系方程12. 双 纽纽 线0 xy.所围面积.由对称性.1
10、2. 例 求求 双纽线双纽线0 rr =a曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线13. 阿基米德螺线0 r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线.13. 阿基米德螺线 r =a0 r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.13. 阿基米德螺线 r =a0 r.13. 阿基米德螺线 r =a0 rr =a.13. 阿基米德螺线0 rr =a.13. 阿基米德螺线r这里 从 0 + 8r =a02a每两个螺
11、形卷间沿射线的距离是定数.13. 阿基米德螺线0 r8当 从 0 r =a.13. 阿基米德螺线r0.这里 从 0 + 8a.14. 双曲螺线r0.当 从 0 8a.14. 双曲螺线xyo15.2.S = =1+cos3r =3cos由 3cos =1+cos 得交点的坐标S2.16.10 xy令 cos2 = 0,由 sin 0,联立后得交点坐标.S = 2xyo17.1s1s2.sS = =1+cos求由 双纽线0 xy.由对称性.18.a内部的面积。双纽线化成极坐标令 r = 0,S = 4 +.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为 A(x)的立体.a V以下是几个例子以下是
12、几个例子19. 平行截面面积为已知的立体的体积b半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。Roxy20.o yRxRR20.半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。o yRxxyRR.y tan问题：问题：还有别的方法吗？还有别的方法吗？(x, y),截面积A(x).半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。20.o yRxRR方法方法 2.20. 半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。o yRxRR方法方法 2A
13、BCDBCDC. .截面积 S(y)(x, y)= 2x= ytan.S(y).20. 半径为 R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的平面所截， 得一圆柱楔。求其体积。 hR xoyR21. 求以半径为 R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h的正劈锥体的体积。 hR xo xA(x)A(x)V =.Ry21.求以半径为 R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h的正劈锥体的体积。yxf(x)a b曲边梯形： y=f(x)， x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转22. 求旋转体体积xf(x)a bx.111111111.曲边梯形： y=f(x)， x=a,x=b,y=0
14、 绕 x 轴旋转22. 求旋转体体积V =x=g(y)yx0cd曲边梯形： x=g(y)， x=0, y=c, y=d 绕 y轴23. 求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形： x=g(y)， x=0, y=c, y=d 绕 y轴.23. 求旋转体体积x=g(y)yx0cdy.23. 求旋转体体积.曲边梯形： x=g(y)， x=0, y=c, y=d 绕 y轴a bf (x)yx024. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ， x=a,x=b,y=0 绕 y 轴xdxxa byx0内表面积.dx .24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y= f (x) ， x=a,x=b,y=0 绕 y 轴dV=2 x f (x)dxf (x)byx0 a.24. 求旋转体体积 柱壳法柱壳法曲边梯形 y=
