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1、2014年第8期 数学教学 839 2014 年上海市TI杯高二年级数学竞赛 试 题 一、填空题(共8小题，前4小题每题7分， 后4小题每题8分，满分60分) 1人体表面积S(m2)的Haycock近似公 式为S=O024265ho3964W05378，其中h和W 分别表示人的身高(cm)和体重(kg)如果某 人的身高为180cm，体重为70kg，那么他的人 体表面积是(m )(精确到105) 2地球绕太阳的运行轨道为椭圆，它的方 2 口，2 程设为 + =l(ab0)而太阳的位置 在右焦点毋处，轨道的长轴两端为A、B(A在 F1的左面)已知当地球在点A时，人看太阳的 视角 =31 28 ；当
2、地球在点B时，人看太阳的 视角 ：32 32 若c表示椭圆轨道的半焦距， 则二：(精确到0OO1) 3若矩形内接在由函数Y：COS Xf一 X )的图像与X轴所围成的区域内，则这个 矩形的面积的最大值是(精确到10_4) 4曲线 ：Y=log2(3x)一X+1的最高点 为A，它与X轴的交点分别为B、E两点，则三 角形ABE的面积为(精确到0OO1) 5与36互素的正整数从小到大排列成数 列0n)，则02014= 6一个三位数的立方是七位数，形如 木术999木木，则这样的三位数为 7已知点 是长为1的线段 JE上的 个动点，点D使得 JE上 JE，且JE7D： ，连 结AD，作CE上A 垂足为E
3、设 C=X，BE = ，则Y关于 的函数表达式为， 的 最小值为 8在平面直角坐标系xOy中，设点P在 第一象限，点A、 分别在Ox、Oy上，满足 PA=PB：2，则凸四边形PA0B面积的最大 值为 二、解答题f以下4题必须写出解题的必 要步骤，每题l5分，共60分1 9如图1，在直角三角形ABC中，ZC= 90。， C=4，BC：3直线Z垂直于 JE7，与线 段 C、AB分别相交于点 、将直角三 角形ABC沿着MN折叠，求折叠后图形重叠 部分面积的最大值f精确到001) c 图1 10在平面直角坐标系xOy中，正三角 形ABC(顶点按逆时针顺序)的顶点 的坐标 为(一2，2)，顶点 在 轴上
4、，且CBx轴；点 D、E的坐标分别是(2，6)、(2，2)，圆r的圆心 为二)，半径为2求与圆r外切，且与线段AB、 DE都相切的圆的半径f精确到10-4) 11设实数Xl，X2，X2014满足：IXlI= 99，lXnl=J 竹一1+1I，n=2，3，2014习之Xl +X2+X2014的最小值 12设实数 、Y、Z满足xyO，x+y0 求(字+2)2+( )2+(南一1)2的 最小值 一、填空题 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 186751 0017 11222 3909 2014年第8期 数学教学 8-41 几例俄罗斯数奥赛题解法探究 050061河北经贸大学数学与统计学院王亚辉
5、050035河北省石家庄学院数学系 王玉怀 本文择译俄罗斯2011-2012学年度9-11 年级平面几何数学奥林匹克竞赛题及解答，其 中笔者也给出另外的解答，以供交流 题1 (9年级)圆 】和 2相互外切于点 P由圆 1的圆心作圆 2的切线11，类似地， 由 2的圆心作 1的切线12，ll与12不平行证 明：点JF)在直线1i与f2夹角之一的平分线上 证法111】：设O1、rl和02、r2分别是圆 1 和 2的圆心和半径， 是2l与12的交点(如 图1)点P在线段(二)l(二)2上，并且将它分成比 为rl：r2(从(=)1算起) 图1 切点显然AK0111 O2P2，所以 xxu1= ： 于是
6、在ZhK0102中，点P在D1o2 上，并将它分成的比等于两边 =)1与 02的 比因此， P是 (=)1 二)2的平分线 注：从上述证明不难看到，若在j】和f2上 分别取点M1和M2，使AO1KM1AO2KM2， 由它们边的比等于它们相应高的比(=)】 ： O2P2)，也可证得所要求的结论(图2)原证直 接连结二)1 P1和(=)2P2，简洁另外，还可以应用 角平分线的性质，证明点P到01K和02 的 距离相等，或在 尸上任取一点，证明这点 到(=)】 和O2 的距离相等如下面证法2 设P1是l2与圆 l的切点，P2是21与 2的 图2 由于X1是奇数，由题设的条件知， 2是偶 数， 3是奇
7、数，X2014是偶数，从而(X2014+ 1) 1，Xl+X2+X2014去(12014 99 1=一5907 又Xl=-99，X2=-98，X99=-1，X100 ：0，Xl01=-1，X102=：0，X103=：-1，X2013 ：一1，X2014=O时等号成立 所以，X1+X2+X2014的最小值为 -5907 12解：设a=x+y+z，b=y+z，c= ，则 (警+2)。+( Z+2)。+(南一1) =( + ) +( +1)。+( +1) =( )2+2( )+3 ：( ) +2( a b十1)+3 ：( ) +5 当a=0，b=1，c=2，即X=Y=一1， =2时 笺-W 寺 暑小信 5
