《【全程复习方略】2013-2014版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【全程复习方略】2013-2014版高中数学 第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,一、杨辉三角的特点1.在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_.2.在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即,相等,思考：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示:不是二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n+1行对应数值相等,二、二项式系数的性质1.对称性：在(ab)n展开式中，与首末两端“_”的两个二项式系数相等，即2.增减性与最大值(1)增减性：当_时，二项式系数是逐渐增大的；当_时，二项式系数是逐渐减小的,等距离,(2)最大值：当n为
2、偶数时，中间一项的二项式系数_取得最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数_，_相等，且同时取得最大值3.各二项式系数的和：,判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.( )(2)二项式展开式的二项式系数和为 ( )(3)令 则直线 将函数f(k)的图象分成对称的两部分，由此可以得出，当 时 最大.( ),提示：(1)错误.展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断.只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致(2)错误. 二项式展开式的二项式系数和为不要忽略了 (3)错误.当n为偶数时 最大，当n为
3、奇数时， 最大.答案：(1) (2) (3),【知识点拨】1.杨辉三角规律拓展(1)杨辉三角的第2n1行各个数都是奇数.(2)如图,每一斜行任取n个数字之和都等于第n个数字右下“脚”的数字.,2.对二项式系数性质的三点说明(1)对称性：源于组合数的性质(2)最大值：当n是偶数时，(ab)n的展开式共n1项，n1是奇数，这时展开式的形式是,中间一项是第 项，它的二项式系数是 它是所有二项式系数中的最大值；当n是奇数时，(ab)n的展开式共有n1项，n1是偶数，这时展开式的形式是,中间两项是第 项，它们的二项式系数是： 这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大值.,(3)各二项式系数和： 源于
4、(a+b)n= 中，令a=1,b=1，即可得到.,类型一 与杨辉三角有关的问题 【典型例题】1.(2013南充高二检测)如图所示，满足如下条件：(1)第n行首尾两数均为n.(2)表中的递推关系类似杨辉三角.则第10行的第2个数是_第n行的第2个数是_.,2.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.,【解题探究】1.杨辉三角中相邻的两行有什么样的性质？2.杨辉三角中每一行的性质是什么？探究提示：1.在杨辉三角中，相邻两行，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即2.在杨辉三角中，同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等.,【解析】
5、1.由图表可知第10行的第2个数为：(1+2+3+9)+1=46,第n行的第2个数为：答案：,2.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23.则所以即得 所以n=34.答案：34,【拓展提升】与杨辉三角有关问题的解决方法(1)通过观察找出每一行数据间的相互关系以及行与行之间数据的相互关系.然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解，具体方法如下：,(2)注意二项式系数性质 的应用.,【变式训练】如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A.144 B.146 C.1
6、64 D.461,【解析】选C.由图知，数列中的首项是 第2项是 第3项是 第4项是 ，第15项是 第16项是所以,类型二 求二项展开式的系数和【典型例题】1.(2013哈尔滨高二检测)若 的展开式中各项系数和为99-n,则展开式中系数最大的项为( )A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项,2.(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_.3.设(12x)2 013=a0+a1x+a2x2+a2 013x2 013(xR).(1)求a0的值.(2)求a1+a2+a3+a2 013的值.(3)求a1+a3+a5+a2 013的值.,【解题探究】1.二项式展开式中各项系数之和与x的取值
7、有何关系？2.二项式展开式中x的奇次幂的项指的是什么？如何求解?3.如何求二项展开式系数和或部分系数和？探究提示:1.当x=1时,展开式左边的值即为各项系数的和.2.x的奇次幂的项指的是a1x,a3x3,a5x5,a2n-1x2n-1.解题时可将(2x-1)10写成a0+a1x+a2x2+a10x10的形式,利用赋值法求解.,3.求二项展开式系数和或部分系数和时,通常利用赋值法,如:求(a+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn中各项系数和,可令x=1,即得各项系数和.若要求奇数项的系数之和或偶数项的系数之和,可分别令x=1,x=-1,两等式相加或相减即可求出结果.,【解析】1.选C.根据题
8、意，由于 的展开式中各项系数和为99-n，令x=1，可知99-n=3n,所以18-2n=n,n=6,那么可知 展开式中第r+1项的系数为那么代入选项可知系数最大的项为第5项，即为,2.因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+a10,两式相减,可得答案:,3.(1)在等式(1-2x)2013=a0+a1x+a2x2+a2013x2013中,令x=0,得1=a0,所以a0=1.(2)在等式中,令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+a2013,所以a1+a2+a3+a2013=-2.,(
9、3)令x=-1,得32013=a0-a1+a2-a3+a2012-a2013.令x=1,得-1=a0+a1+a2+a3+a2012+a2013.由-得,-1-32013=2(a1+a3+a2013),所以,【互动探究】若题3的条件不变，求|a0|+|a1|+|a2|+|a2 013|的值.【解题指南】由二项式(12x)2 013可知，展开式中a0，a2，a4，a6，,a2 012大于零，而a1，a3，a5，a7，,a2 013小于零，将|a0|+|a1|+|a2|+|a2 013|去掉绝对值并利用赋值法求解.,【解析】因为(1-2x)2013的展开式中,a0,a2,a4,a6,a2012大于零
10、,而a1,a3,a5,a7,a2013小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+|a2013|=(a0+a2+a4+a2012)-(a1+a3+a5+a2013)令x=-1,得32013=a0-a1+a2-a3+a2012-a2013,解得(a0+a2+a4+a2012)-(a1+a3+a5+a2013)=32013,即|a0|+|a1|+|a2|+|a2013|=32013.,【拓展提升】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n,(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开
11、式各项系数之和，只需令xy1即可,(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为偶数项系数之和为,【变式训练】若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11,求(1)a1+a2+a3+a11.(2)a0+a2+a4+a10.,【解析】(1)由(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a11x11,令x=1,得26(-1)5=a0+a1+a2+a3+a11,即a0+a1+a2+a3+a11=-26,又令x=0,得a0=1.所以a1+a2+a3+a11=-26-1=-65.,(2)令x=1，得a0a1+a
12、2a3+-a11=0,由 得,类型三 二项式系数性质的应用【典型例题】 1. 的展开式中的所有二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项是_2.(x+2y)7展开式中系数最大的项为_.,3.在(x-y)11的展开式中，解答下列问题：(1)通项Tk+1.(2)二项式系数最大的项.(3)项的系数绝对值最大的项.(4)项的系数最大的项.(5)项的系数最小的项.(6)二项式系数的和.(7)各项系数的和.,【解题探究】1.求二项式系数最大项的依据是什么？2.系数最大的项与二项式系数最大项相同吗？3.求二项式中系数问题的关键是什么？探究提示：1.求二项式系数最大的项，主要根据二项式系数的性质，当
13、n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大,2.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得3.求二项式中系数问题的关键是借助二项展开式.,【解析】1.所以n7.二项式系数最大的项是和答案：35x6，35x,2.设r+1项系数最大，则有即 解得,又因为0r7,且rN,所以r=5,所以系数最大项为答案：,3.(1)(2)二项式系数最大的项为中间两项：(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：,(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为(5)项的系数最小
14、的项为(6)二项式系数的和为(7)各项系数和为(1-1)11=0.,【拓展提升】1.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论.(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.,2.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1，A2,An，且第r+1项最大，应用 解出r，即得出系数的最大项.,【变式训练】已知在 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.【解析】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n是偶数，第6项即为中间项，所以 得n=10.,展开式通项为系数的绝对值是若第k+1项系数的绝对值最大，则所以,
