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1、概率论与数理统计,一、随机变量的定义,二、分布函数的性质,第一节 一维随机变量 及其分布(1),一、随机变量的定义,1. 随机变量的引入,P(A): 随机事件发生的概率。A可为数字、描述等，例如投骰子出现的点数、灯泡的产品寿命等。,为了更好的研究试验结果,需要将随机试验的结果,数量化,以便于数学上的推导和计算。为此建立了,随机变量的概念。,例 1,这样便把非数量的样本空间数量化了.,若以数”1”表示正面,数”0”表示反面,那么我们就,可以将试验结果与数值联系起来,即可以通过如,下示性函数与数值发生联系.,抛掷一枚均匀硬币,观察出现正面或是反面.,=1、2、3、4、5、6,由于样本点本身已经是数
2、量表示,这时我们可以做,即,例 2,那么试验的所有可能结果即样本空间为,抛掷骰子,观察出现的点数.,一个恒等变换,2. 随机变量的定义,定义2.1 设 E是随机试验，其样本空间为= .,若对于每一个样本点 ，都有唯一的实数值,X()与之对应，则称定义在样本空间= 上,的单值实函数X()为随机变量（r.v.），简记为 X.,作用： 将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可利用数学方法研究随机现象及其统计规律性。,分类：离散型随机变量：X的取值有限或至多可列个。如古典概型、呼叫次数等。连续型随机变量： X的取值为无限不可列个。如速度、候车时间、降水量等。,1 X的定义域是样本空间，而不一,
3、随机变量X与高等数学中的实函数,定是实数集；,2 X的取值是随机的，它的每一个可,3 随机变量是随机事件的数量化. 即,对于任意实数 x, X x 是随机事件.,能取值都有一定的概率；,4 对于随机变量,我们常常关心它的取值.,注,有本质的区别：,二、分布函数及其性质,如果我们对随机事件X x 求概率,就引出,为随机变量X 的分布函数.,1.分布函数的定义,定义2.2 称,了随机变量分布函数的概念.,记作 X F(x) 或 X FX(x).,2.分布函数的性质,(1) 由于对于任意的,为一概率,根据概率公理化定义,有,证,(4)的证明要用到较多的测度论的知识,注 1 可以证明：,一个函数若具有
4、上述性质,则此函数一定是,这里从略.,某个随机变量的分布函数.,2 重要公式,例 3,解,由分布函数的右连续性，得,一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任,解,例 4,一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.,试求随机变量 X 的分布函数.,于是,故 X 的分布函数为,内容小结,1. 随机变量是一个函数，是定义在样本空间上,2. 随机变量主要分为离散型和连续型。,3. 随机变量分布函数的概念.,的函数.,4. 分布函数的性质.,再见,思考题,不同的随机变量,他们的分布函数一定不相同吗?,解,不一定.例如抛均匀硬币, 令,X1与X2在样本空间上对应法则不同,是两个不同,的随机变量,但它们却有相同的分布函数.,备用题,例3-1,设连续型随机变量 X 的分布函数为:,求: (1) 常系数 A及B;,(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率.,解,(1) 根据分布函数的性质可知,依题意可得,联立上面两个方程可以解得,(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为,例4-1,抛掷均匀硬币,求随机变量X的分布函数.,解,
