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1、1.3 逻辑代数和逻辑函数1.3.1 逻辑代属于逻辑变量逻辑代数又称布尔代数。它是用于分析和设计逻辑电路的数学工具。也可以用来描述数字电路的结构和特征。逻辑变量是逻辑代数中的变量。通常用大写字母表示。当逻辑变量作为输入，它们之间用各种逻辑运算符连结起来所形成的比较复杂的逻辑代数的运算结果作为输出，就称为逻辑函数，写作YF(A，B，C，)逻辑变量的取值只有两个：0 和 1。这里的 0 和 l 不表示数量的大小，只表示对立两种逻辑状态。例如，用 1 和 0 表示电路的忙和闲、电灯的亮和灭、事件的真和假、事物的是和非、信号的高和低、开关的开和关等。因此，通常把 1 称为逻辑 1，把 0 称为逻辑 0
2、，即所谓二值逻辑函数。二值逻辑的基本逻辑关系只有三种：逻辑乘、逻辑加、逻辑非。相应的在逻辑代数中只有三种基本运算：与运算、或运算、非运算。这三种基本运算反映了逻辑电路中最基本的逻辑关系，其他复杂的逻辑关系都可以通过这三种基本运算来实现。1.3.2 基本逻辑运算与基本逻辑门1逻辑与(乘)运算及与门若决定某一事件的所有条件都成立，这件事就发生，否则这件事就不发生，这样的逻辑关系称逻辑与。逻辑与运算的符号可以用、和表示，常用符号为“ ”，此符号也可省略。如 图 1-3-l(a)中电灯亮的条件是要求开关 A 和 B 都闭合。若用 A1、Bl 表示开关闭合，A0、B0 表示开关断开；Yl 表示电灯亮，Y
3、0 表示电灯灭；可以列出输入变量 A、B 的各种取值的组合和输出变量 Y 的一一对应关系，如表 1-3-1 所示。这样的表叫做真值表。表 1-3-1 A B Y0 0 00 1 01 0 01 1 1 从表中可以看出，输出变量 Y 与输入变量 A、B 是对应的函数关系，故称 Y 是 A、B 的逻辑函数。表中只要输入变量中有一个为 0，输出逻辑函数就为 0；只有当全部输入变量均为 1 时，输出函数才为 1。当逻辑关系用表达式来表示时，称为逻辑函数表达式。逻辑与的表达式为：YABAB，读作 Y 等于 A 与 B。如果串联开关的数量为 n 个，与逻辑的表达式可以推广到多输入变量的一般形式：Y AB
4、CD ABCD实现与逻辑运算的电路叫做与门。图 l-3-1(b)示出了一个由二极管构成的与门电路，与门电路符号如 图 l-3-1 中的(c)、(d)所示。设输入的高电平为十 3V(用 l 表示)，低电平为 0 V。(用 0 表示)、忽略二极管正向导通电压。当输入 A、B 中有一个为低电平 0 时，则相应的二极管导通，输出也为低电平 0；如果输入均为高电平 l，则输出才是高电平 1。二极管 VDl 和 VD2 的状态列于表 1-3-l 中。2逻辑或(加)运算及或门若决定某一事件的条件中有一个或一个以上成立，这件事就发生，否则就不发生，这样的逻辑关系称为逻辑或。逻辑或运算的符号可以用 和十表示。在
5、 图 1-3-2(a)中只要开关 A 或 B 闭合，电灯 Y 就会亮。或逻辑的真值表如表 1-3-2 所示。由表中可知，只要 A1 或 Bl，Y1。逻辑或的逻辑关系表达式为：YA 十 B，读作 Y 等于 A 或 B(或 A 加 B)。当输入变量为 n 个时，逻辑或表达式可推广到多输入变量的一般形式：YA 十 B 十 C 十实现逻辑或运算的电路称为或门，图 1-3-2(b)所示是一个由二极管组成的或门电路。或门电路符号如图(c)、图(d)所示。 若输入端 A 或 B 中有一个为高电平 l 时，则相应的二极管就会导通，输出 Y 为高电平1；只有输入 A 和 B 都为低电平 0 时，输出才为低电平
6、0。二极管 VDl 和 VD2 的状态列于表1-3-2 中。表 1-3-2A B Y0 0 00 1 11 0 11 1 13非逻辑运算及非门发生某事件的条件是该事件成立的反，即该条件成立时，事件不发生；只有条件不成立时，事件反而发生，这样的逻辑关系称为逻辑非。在 图 1-3-3(a)中，开关 A 闭合，电灯熄灭；A 断开，电灯 Y 亮。其真值表如 图 1-3-3所示。其逻辑函数表达式为： ，读作 Y 等于 A 非。实现逻辑非运算的电路称为非门。 图 l-3-3(b)所示的三极管电路是一个非门电路，电路符号如图(c)和图(d)所示。当输入 A 为高电平时，三极管 VT 饱和，输出 Y 为低电平
7、 0；输入 A 为低电平时，晶体管 VT 截止，输出 Y 为高电平 1。三极管 VT 状态列于表 1-3-3 中。表 1-3-3A Y0 10 01 01 01.3.3 复合逻辑运算在实际逻辑运算中，上述三种基本运算是很少单独出现的。复杂的逻辑关系往往是由与、或、非三种逻辑运算组合来实现。最常用的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。图 l-3-4 示出了它们的电路符号及逻辑函数表达式。与非逻辑是将输入变量 A、B 先进行与运算，然后将结果取反，其实质可以看成是与运算和非运算的组合；或非逻辑可以看成是对 A、B 进行先或后非运算组合。与或非逻辑是输人变量 A、B 之间和 C、D 之间
8、先进行与运算，然后将两个运算的结果取或非，因此可以把与或非运算看成是与、或和非逻辑运算的组合。异或是当输入变量 A、B 不同时，输出 Y 为 l，否则为 0。可见两变量的异或逻辑运算规则与前面介绍的模二加相同。异或逻辑也可以用与、或、非的组合逻辑表示： YA B (1-3-1)同或与异或相反，当 A、B 相同时，Y1，否则为 0。同或可以用下式表示：YA B (1-3-2)因此，可以看出，异或逻辑和同或逻辑互为反运算，即二变量的同或非逻辑运算可以实现异或逻辑运算，二变量的异或非逻辑运算可以实现同或逻辑运算。A B (1-3-3)1.3.4 逻辑代数的基本定律和常用公式1基本定律逻辑代数是一门完
9、整的学科，因此同普通代数一样，有一些用于运算的定律。这些定律反映了逻辑运算的基本规律，是简化逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本公式，表 l-3-9 中列出了逻辑代数的基本定律。这些基本公式的正确性，都可以用真值表证明。如果等式成立，那么将任何一组变量的取值代入公式两边所得的结果应该相等，因此，等式两边所对应的真值表也必然相同。需要说明的是在逻辑函数运算中，不能使用普通代数中的移项规则。例如：AB 十 A A，绝不能写成 ABA - A。同样，也不能使用倍乘和乘方规则。例如 A 十 AA，不能写成 A 十 A2A；AAA，而不是 AAA 2。在逻辑函数运算中，运算的先后次序应遵循先括号，然后依次
10、进行非、与、或运算。2几个常用的公式利用上面介绍的基本定律可以得到更多的公式(1)式(1-3-13) A + AB = A (2)式(1-3-14) B证明： 结果表明，两个乘积项相加时，如果二项取反后是另一项的一个因子，则此因子是多余的。(3)式(1-3-15) A证明：这个公式表明当两个乘积项相加时，若它们分别包含 B 和 B 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并成一项，且可将 B 和 B 非两个因子消去。(4)式(1-3-16) A(A 十 B)A证明：A(A 十 B)AA 十 ABA 十 AA 说明变量 A 和包含 A 的和相乘时，其结果等于 A。(5)式(1-3-17) AB 十
11、CD(A 十 C)(A 十 D)(B 十 C)（B 十 D） 证明：先将 CD 看成一个变量，利用式(1-3-10b)可得AB 十 CD(AB 十 C)(AB 十 D)(A 十 C)(B 十 C)(A 十 D)(B 十 D)该式说明两个乘积项取和时，可以等效为第一个乘积项各因子与第二个乘积项各因子相加后再相乘。(6) 式（13-18） AB 十 C 十 BCAB 十 CA证明： 该式说明如果两个乘积项中存在着互补因子 A 和 A，而这两个乘积项的其余因子组成余三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的。从上式不难推出： AB 十 C 十 BCDEAB 十 CA3异或函数和同或函数的常用关系式异或函数
12、和同或函数的基本定律示于表 l-3-12 中。异或函数和同或函数与逻辑代数的基本定律很相似，它们都满足交换津、结合律和分配 律。任何奇数个变量的异或函数等于相应变量的同或函数，任何偶数个变量的异或函数等于相应变量同或函数的反，反之也成立。 ，1.3.5 逻辑代数的三个基本定理 在逻辑代数中，有三个重要的基本定理，它们是代入定理、反演定理和对偶定理1代入定理在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量的位置都代以一个逻辑函数，则等式仍然成立。这就是代入定理。 逻辑代数等式中的任意逻辑变量的可能取值只能是 0 或 l，所以，无论将 0 还是 1 代人逻辑等式中，等式都一定成立。因此，可以把代
13、入定理看作是无须证明的公理。 例 1-3-2 试证明 。CBA证明用 YAC 代替德摩根定理 ABA 十 B 等式两侧的 A，则可得CBA由此证明了德摩根定理同样适用于任意个变量的情况。2.反演定理对原函数取反函数的过程称为反演。对于任意一个逻辑函数 Y，若将其中所有的“ ”换成“十” ， “十”换成“ ”， “0”换成“1” ， “l”换成“0” ，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果即为 。这个规律称为反演定理。Y例 1-3-3 已知 YA( 十 C)十 CD，求 。B解根据反演定理可以写出Y( 十 B )( 十 ) ACD 十 十 B 十 B 十 十 B利用式(1-3-11)
14、德摩根定理求解 。两种方法求解的结果完全相同，证明了反演定理的正确性，同时也可以看出，德摩根定理只不过是反演定理的一个特例，正是由于这个原因，又把它称为反演律。实际上用反演定理求反函数更为简便。在使用反演定理时还应注意遵守以下两个原则： 。(1)仍需遵守“先括号后乘、加”的运算次序(2)不属于单个变量的反号应保留不变。3对偶定理对于任意一个逻辑函数 Y，若将其中所有的“ ”换成“十” ， “十”换成“ ”， “0”换成“l” ， “l”换成“0” ，则得到的新逻辑式 Y，Y 称为 Y 的对偶式，或者说 Y 和 Y互为对偶式。若两个逻辑式相等；则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。 例如：YA
15、十 B， 则 YABYA( 十 C)十 CD， 则 Y(A 十 C)(C 十 D)B为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。利用对偶定理可以使要证明的公式减少一半。基本定律中每个定律所给出的两个公式互为对偶式。此外，在对复杂的逻辑式进行运算和求对偶时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。 1.3.6 正逻辑和负逻辑 前面我们曾用真值表来描述逻辑运算，在真值表中用“1”表示逻辑“真” ，用“0”表示逻辑“假” ，而没有指明这个“l”和“0”的相对于地电位的实际电压电平。在实际应用中的逻辑门，用高电平 H 代表逻辑“l” ，低电平 L 代表逻辑“0” ，这种约定的逻辑关系，称为正逻辑。反之，假定用逻辑门的低电平 L 代表“l” ，而用较高的电平 H 代表“0” ，那么，我们称这样约定的逻辑关系为负逻辑。对于图 131(b)所示的电路，按正逻辑规定是与门，其逻辑表达式为 YAB；当按负逻辑规定时，由表 1-3l 可以推出表 l32 所示的真值表，其表达式为 YA 十 B，可以看出，同一电路采用负逻辑时，就变成了负逻辑或门。同理，图 132(b)所示电路既可以是正逻辑或门逻辑运算中，正逻辑的与非逻辑也是负逻辑的或非逻辑。 利用真值表可以证明，正逻辑与负逻辑之间
