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1、第六章 不确定条件下的选择第一节 不确定性与彩票选择第二节 期望效用函数第三节 风险分析理论第四节 风险分析理论的扩展与应用2本章思路本章介绍了一种在不确定条件下的选择与风险决策理论，这种理论具有一定的中性，也即它对消费者和厂商均具有一定的适应性。其基本框架可由下图来表示： 资产组合理论保险需求理论风险分析风险中立者风险喜好者风险规避者决策者类型及度量彩票期望效用货币彩票期望效用工具决策目标：风险回避决策风险目标：期望效用最大化工具：期望效用函数理假设前提：理性偏好公选择空间：彩票空间备选结果集：彩票选择用函数期望效定性不确不完备息信3第一节 不确定性与彩票选择一、关于不确定性概念经济分析中的
2、不确定性是与风险相联系的。两个概念的密切关系导致大家对其认识的不一致。很多文献认为， 不确定性是指经济行为结果虽然是不确定的，但是各种结果出现的概率是确定的。也有一些经济学家认为 各种可能出现的结果存在一个确定概率的经济行为是具有风险性的；可能出现结果的概率是未知的才能称为具有不确定性， 例如奈特 (F。目前大多数经济学文献没有严格区分不确定性与风险性。本章中称 决策结果按某一概率分布出现的选择为不确定性选择。4二、彩票选择（一）不确定性选择与彩票许多经济活动像大家熟悉的购买彩票一样，经济学中常常把不确定性条件下的选择称为抽彩、博彩。 奖的概率为 P ， L=(P,A,C)描述了一种彩票情况。
3、5（二）彩票选择 设一个选择的不确定性结果为有限的 n 个。则该选择所有可能出现的结果的集合称为备选结果集，记为 ),(1 。其中元素 i 个结果。这些结果可以是消费，也可 以是货币收益，还可以理解为抽象的结果。 当备选结果集中各元素出现的对应概率为 ),(1 时，定义彩票 ),;,(11 ，其中 0结果现的 概率， 当备选 结果为 两项时 ，彩票 常常记 作),;(21 。 6（三）复合彩票 若彩票选择的结果又构成一个彩票时，称为复合彩票。比如，有两个彩票 ),;,(111 , ),;,(112 则 ),;(21 就构成一个复合彩票。 简单彩票与复合彩票的关系为： （ 7（四）彩票空间 通过
4、定义彩票与复合彩票，我们已将不确定信息集中在彩票之中。由复合彩票与简单彩票之间的关系可知，备选结果集 X 中的元素际上与复合彩票中的简单彩票等价的。所以可以定义基于备选结果集 X 的所有彩票的集合为彩票空间，记作 ， L 。 8二、彩票空间与理性偏好 公理 设决策者在彩票空间上 选择，如满足以下偏好公理，则称决策者在不确定条件下的 选择是理性的。 1 、完备性和 传递性公理： 对于任意 ,321列必为真：21 ，或21 ，或21 若21 ，32 ，则31 。 2 、连续 性公理： 即偏好具有连续性。 对于任意 ,321合 1,0)1(:1,0321 和1,0)1(:1,0213 是闭的，则称在
5、彩票空间 上的偏好关系是连续的。 3 、独立性公理： 对于任 意 ,321)1,0( ，当且仅当： 32313231)1()1()1()1( 2121 （ 9经过定义彩票、彩票空间及其在彩票空间中的理性偏好公理，可以建立起将不确定性选择转化成彩票理性选择的分析框架。进而我们可以通过建立期望效用的概念来指示彩票之间的偏好关系，用以描述不确定条件下选择的效用。下面的问题是怎样借助期望效用的概念来完成这项工作。第二节 期 望效用函数10一、期望效用概念 1. 数学期望。 数学期望是统计学中的一个基本概念，它表示随机变量 X 的所有可能取值 ),2,1,X( 的平均值，记为)X(E ，简称为期望。其中
6、，离 散型随机变量的数学期望 为： ( ， 连续性随机变量的数学期 望为： ()( 。 显然对于一个彩票 L 的各种可能结果，其结果的平均值是表示该彩票一般收益水平的 有效方法。不失一般性，不同结果之间的统一度量，可采用效用 。 112 . 不确定选择的效用函数 由彩票定义，可以将不确定选择的结果定义为一个随机变量),(X1 ，其概率分布为 ),(1 。在备选结果集 X 上定义效用函数 X: ， XX 。显然 )( 概率分布仍然是),(1 ，得到效用水平 )(1概率为1p ；得到效用水平)(概率为当然也可以在彩票空间 上定义效用函数 : ， ,( 。 )( 概率分布也可以用),(1 表示。 1
7、23. 期望效用函 数 基于期望概念和不确定选择的效用函数 , 很自然地可得到一个彩票 L 各种可能取值结果效用平均值。即效用函数 的期望： )()()( ( 6 . 3 ) 若不确定结果 x 是在某一区间 , 续变化的，则 x 的效用期望为： )()()( （ 其中 )( 随机变量 我们定义 （ 或（ 6 . 4 ）式为冯诺伊曼 奥摩根斯坦期望效用函数，简称 v - N - M 期望效用函数或期望效用函数。我们以 此 作 为 彩 票 L 的 期 望 效 用 水 平 ， 即 定 义 期 望 效 用)()( 为彩票 L 的期望效用，并将（ 式写成： )()(),(1111 （ 或者写成： 其中
8、)( （ 13二、期望效用定理 若彩票空间 上的理性偏好关系满足连续性和独立性公理，则偏好可用期望效用 形式表示，即对于任意 2 个彩票 ： ),;,(11 和 ),;,(11 , 当且仅当 ，也就是 )()( 时，有 。 14三、期望效用函数的线性 变换 由期望效用函数的定义和 期望效用定理可知，期望效用函数是具有线性性和偏好关系的保 序性性质。这一性质在经过线性变换后仍然得以保持。证明如下： 设 ),;(21 ， )( 期望效用函数， )()( ， 是实数且 0A 。显然对于任意的 ，当 时，有)()( ，而且 )(A)()()( )()( ，就是说 )( 具有保序性。 又因为： )()(
9、 )()1()(21)()(1()(21 )()1()(21 （ 所以 )( 具有线性性。 15四、阿莱斯悖论 期望效用定理是建立在彩 票空间上理性关系公理的 基础上。阿莱斯（ 1956 ）通过一个思维试验对独立性公理提出了挑战，显示出期望效用定理存在一 定的局限性。这个思维试验的例子被称为阿莱斯悖论。 首先我们回顾一下一般独 立性公理： 对于任意 ,3211,0( 3231)1()1( 21 其意味着3L 的出现不影响1L 和2L 的偏好顺序。因此，如果我们找到一个3L 使得12 ，则独立性公理不成立。 阿莱斯悖论引发了经济学 界对独立性公理合理性的 讨论，人们又发现了其它违反独立 性公理的
10、情况，例如马金 纳悖论现象。 16五、期望效用最大化 期望效用为决策者提供了 一种最优化的决策。假设决策者在彩票空间 选择，则决策者的理性决策就是选择 L ，使得)(m ，其中 L 。因此期望效用理论使决策者可以在彩票空间 上进行以期望效用 )()( 目标的最优决策。 17第三节 风险分析理论一、决策目标与风险在经济分析中，不确定性与风险是相联的。一般认为风险是基于不确定性的，即产生风险的根源在于不确定性。这样分析实际上暗含着如下的逻辑，由于决策行为结果存在不确定性，所以行为实际结果与预期结果之间存在差距，当行为实际结果没有达到预期结果时，就产生了损失，风险就是由这个损失来定义的。这时风险成为
11、表示不确定条件下决策损失的一个概念。因此，在决策中回避风险就成为不确定条件下选择的一个重要目标。18二、货币彩票的期望与期 望效用 定义货币彩票 ),;,(11 。其中以货币收益表示的第 i 种选择结果，i 为取得益水平的概率。 0i ，11。当然 x 可视为随机变量，货币彩票 W 的收益期望值 11)( 。 我们又定义，基于货币收益 x 的所有货币彩票的集合为货币彩票空间 ， W 。决策者在彩票空间 上存在理性偏好关系，和反映这种关系的效用函数 L: 。于是有货币彩票的期望效用函数 )()()(11 。为分析需要，我们设定期望效用函数 )( 有连续性、递增性和有界性。 19三、决策者的风险偏
12、好 （一）决策者风险偏好类型 一般来讲，依据决策者的风险偏好态度，可将决策者分为风险规避者、风险喜好者和风险中立者。 20（ 二 ） 彩票收益期望值的效用 、 彩票的期望效用与风险偏好分析当彩票收益期望值的效用大于彩票的期望效用时 ， 即：称决策者为 风险规避者；当彩票收益期望值的效用小于彩票的期望效用时 ， 即：决策者为 风险喜好者 ；当彩票收益期望值的效用等于彩票的期望效用时 ， 即：决策者为 风险中立者 。图 6 1给出了彩票 的决策者的风险偏好态度 。)()( )()( )()( ),;( 21 2122（三）确定性等价、风险溢价与风险偏好分析1、确定性等价若彩票存在确定性收益 x*,使得 u(x*)=u(W)，即 x*与彩票无差异，称 x*为彩票的确定性等价，记为 C(W)。2、风险溢价称确定性等价与彩票期望的差额为风险溢价，记为：R(W)=E(W)。3、风险偏好分析当 R(W)0时，决策者是风险规避的；当 R(W)0时，决策者是风险喜好的；当 R(
