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1、三角形的推理与计算问题【重点考点归纳】一、等腰三角形1、等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 2、等腰三角形的判定：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 3 等边三角形的性质：等边三角形的每个内角都 都等于 等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴4 等边三角形的判定：有三个角相等的三角形是等边三角形有一个角是 度的 三角形是等边三角形二、线段的垂直平分线和角的平分线线段的垂直平分线：1、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等2、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 角的平分线：1
2、、性质：角平分线上的点到 得距离相等2、判定：到角两边距离相等的点在 三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为 a、b 斜边为 c 则 a、b、c 满足 逆定理：若一个三角形的三边 a、b、c 满足 则这个三角形是直角三角形2、直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边的中线等于 （2）在直角三角形中如果有一个锐角是 300，那么它就对 边是 边的一半四、全等三角形的性质和判定： 1、性质：全等三角形的 、 分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应 2 判定：（1）、一般三角形的全等判定方法：边角边，简 记为 角边角： 简
3、记为 角角边：简记为 边边边：简记为 （2）、直角三角形的全等还可以用 来判定五、相似三角形的判定1. 两个角对应相等的两个三角形_2. 两边对应成_且夹角相等的两个三角形相似3. 三边对应成比例的两个三角形_相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_，对应角_2. 相似三角形的对应角平分线，对应边的_线，对应边上的_线的比等于_比，周长之比也等于_比，面积比等于_ 考点一全等三角形的证明与计算例 1（2013 菏泽）如图，在ABC 中，AB=CB，ABC=90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连结 AE、DE、DC求证：ABECBD；若 CAE=30，求B
4、DC 的度数反思总结：知识考点：发现全等模型，利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余思路方法：先根据等腰直角三角形的锐角都是 45求出CAB，再求出 BAE，然后根据全等三角形对应角相等求出BCD ，再根据直角三角形两锐角互余其解即可；举一反三 1(2013 年湖北荆门 )如图 4243(1)，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上(1)求证：BECE；(2)若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，如图 4243(2)，BAC45，原题设其他条件不变求证：AEFBCF .2、(2013 年辽宁沈阳)如图 4
5、246，在ABC 中，ABBC，BEAC 于点 E，AD BC于点 D，BAD 45 ，AD 与 BE 交于点 F，连接 CF.(1)求证：BF2AE; (2)若 CD ，求 AD 的长2答案（2）2 .2 考点二等腰三角形例 2已知：在ABC 中，A90 ，ABAC，D 为 BC 的中点(1)如图 S14，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BEAF，求证： DEF 为等腰直角三角形；(2)若 E， F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有 BEAF，其他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论举一反三1（2012 十堰）如图， O 是等边ABC 内一点，OA=3，O
6、B=4，OC=5，将线段 BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO，下列结论： BOA 可以由BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到； 点 O 与 O的距离为 4；AOB=150；S 四边形AOBO=6+3 ； S AOC +S AOB=6+ 其中正确的结论是（）393A B C D考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理 A2、(2013 菏泽) 如图，一次函数 y x2 的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，B ，以线段23AB 为边在第一象限内作等腰 RtABC ，BAC90，求过 B，C 两点直线的解析式 考点三角平分线与“截
7、长补短”例 31 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连结 AE，BE，BEAE，延长AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：(1)FCAD；(2)AB BCAD. 举一反三3、如图，APBC， PAB 的平分线与 CBA 的平分线相交于 E，CE 的延长线交 AP 于D，求证：(1)AB=AD+BC; (2)若 BE=3，AE=4，求四边形 ABCD 的面积?方 法 技 巧角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用而 “截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想
8、有较大的帮助考点四 线段垂直平分线4（2012 泰安 8 分）如图，在ABC 中，ABC=45 ，CD AB，BE AC，垂足分别为D，E，F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，ABE=CBE （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG 2GE 2=EA2【考点】全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。等量代换，转化思想【思路】（1）根据三角形的内角和定理求出BCD=ABC，ABE=DCA ，推出DB=CD，根据 ASA 证出DBHDCA 即可。（2）连接 CG，根据 DB=DC 和 F 为 BC 中点，得出
9、 DF 垂直平分 BC，推出BG=CG，根据 BEAC 和ABE=CBE 得出 AE=CE，在 RtCGE 中，由勾股定理即可推出答案。举一反三 4（2011 济南，28，9 分）如图，点 C 为线段 AB 上任意一点（不与 A、 B 重合），分别以 AC、 BC 为一腰在 AB 的同侧作等腰 ACD 和等腰BCE，CA=CD，CB=CE，ACD 与BCE 都是锐角且 ACD=BCE，连接 AE 交 CD 于点M，连接 BD 交 CE 于点 N，AE 与 BD 交于点 P，连接 PC（1）求证：ACEDCB；（2）请你判断AMC 与DMP 的形状有何关系并说明理由；（3）求证：APC =BPC
10、 考点五相似三角形的证明与计算例 5（2013 泰安）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB， ADC=ACB=90，E 为AB 的中点，（1）求证：AC 2=ABAD；（2）求证：CEAD；（3）若 AD=4，AB=6，求 的值反思总结：知识考点：发现相似模型，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的斜边上的中线性质思路方法：（1）由 AC 平分DAB，ADC=ACB=90，可证得ADCACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2=ABAD；PNM EDC BA第 28 题图（2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可
11、证得CE= AB=AE，继而可证得DAC=ECA，得到 CEAD；（3）易证得AFD CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值举一反三 5（2012 泰安 10 分）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF AE ，EF 分别交 AC，CD 于点 M，F ，BGAC，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。答案：（2）ABHECM。（3）作 MRBC，AB=BE=EC=2，EM= 。MR2sin45
