《13.4_课题学习_最短路径问题_新版八年级数学上册》由会员分享,可在线阅读,更多相关《13.4_课题学习_最短路径问题_新版八年级数学上册(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、13.4 课题学习 最短路径问题,点此播放教学视频,造桥选址问题,如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直),思维分析,1、如图假定任选位置造桥,连接和,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?,2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢?,点此播放分析视频,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?,思维火花,各抒己见,1、把A平移到岸边.,2、把B平移到岸边.,3、把桥平移到和A相连.,4、把桥平移到和B相连.,上述方法都能
2、做到使AM+MN+BN不变吗?请检验.,合作与交流,1、2两种方法改变了.怎样调整呢?,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,问题解决,A1,M,N,如图,平移A到A1,使A1等于河宽,连接A1交河岸于作桥,此时路径最短.,理由;另任作桥,连接,.,由平移性质可知,.,AM+MN+BN转化为,而转化为.,在中,由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。证明:由平移的性质,得 BNEM 且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE
3、,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中,AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。,A,问题延伸一,如图,A和B两地之间有两条河,现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直),点此播放动画视频,思维分析,如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间,
4、且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种:两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处,PQ平移到B点处,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN,此时问题转化为问题基本题型两点(A1、B点)和一条河建桥(PQ),点此播放讲课视频,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ:(1)在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2, 使A1A2=PQ.(2)连接A2B交A2的对岸Q点,在点处建桥PQ.,3、确定PQ的位置,也确定了BQ和PQ,此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥
5、MN的位置.,连接A1P交的对岸于点,在点处建桥,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、,使,;连接交于点相邻河岸于点,建桥;连接交的对岸于点,建桥;从点到点的最短路径为MMN,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点,沿垂直于第二条河岸方向平移点至点,连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点,建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B,使BBPQ,BBMN;连接BA交于A点相邻河岸于M点,建桥MN;连接BN交B的对岸于P点,建桥PQ;从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1
6、B,问题延伸二,如图,A和B两地之间有三条河,现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直),思维分析,如图,问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间,且方向不能改变,仍无法直接利用“两点之间,线段最短”解决问题,只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种:三个桥长都平移到A点处;都平移到B点处;MN、PQ平移到A点处;PQ、GH平移到B点处,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3,使AAMN,AAPQ,A2A3 =GH ;连接A3B交于
7、B点相邻河岸于H点,建桥GH;连接A2G交第二河与G对岸的P点,建桥PQ;连接A1P交第一条河与A的对岸于N点,建桥MN.此时从A到B点路径最短.,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3,使AAMN,AAPQ,A2A3 =GH ;连接A3B交于B点相邻河岸于H点,建桥GH;连接A2G交第二河与G对岸的P点,建桥PQ;连接A1P交第一条河与A的对岸于N点,建桥MN.此时从A到B点路径最短.,问题解决,点此播放讲题视频,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A,使AAMN,平移B点至B1、B2 ,使BB1GH,B1B2 =PQ ;连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点,交第二条河与N相邻河岸于
8、P点,建桥MN、PQ;连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点,建桥GH;此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2,使AAMN,平移B点至B1 ,使BB1GH ;连接AB交第三条河与点相对河岸于点,交第二条河与相邻河岸于点,建桥、PQ;连接1交第一条河与相邻河岸的点,建桥;此时从A到B点路径最短.,问题解决,点此播放解题视频,延伸小结,同样,当、两点之间有、,条河时,我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题,例如: 沿垂直于河岸方向平移点依次至、3,An,平移距离分别等于各自河宽,AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1)条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1,.,连接M1A交第一条河近B点河岸于N1,建桥M1N1,此时所走路径最短.,