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1、小学数学学习理论及其对课堂教学的启示王 毅学生是如何理解和掌握数学知识的？这是数学教学研究所关注的基础性问题。本文围绕数概念、加减法、乘除法这三个常见的数学内容，对学生数学学习过程进行分析。在文献分析的基础上，对部分知识点进行一些验证性的研究，对一些学生进行观察和访谈，考察我国学生理解这些数学知识的特点。在此基础上，提出了相应的教学策略或建议。一、促进学生形成数概念数是数学学习的基本内容，学生在获得有关数概念的过程中，体会数的多方面的意义和作用，为理解运算意义打下基础。数学概念性知识是学生数学学习的重要内涵。概念的获得有两种基本的形式：形成和同化。概念形成是从大量具体例子中抽象出某一类对象或事
2、物的共同本质特征的过程。概念同化是指利用认知结构中已有知识来理解新的概念。一般说来，年幼儿童获得概念往往以形成为主，而随着年龄的增加，知识的丰富，学生概念的获得由形成向同化的方向发展。根据对学生课堂的观察和小学生认知特点的分析，发现他们获得数学概念主要通过概念形成这一形式。但是，在教师的引导下，学生也能用概念同化的方式来掌握数学概念。概念的同化和形成对学生思维发展都具有重要的意义。学生概念的形成过程可概括如下。1.辨别各种具体事例。这些事例可以是学生自己在日常生活中的经验或事实，也可以是由教师提供的有代表性的典型事例。2.抽象出各个事例的共同属性，并提出它们的共同关键属性。3.概括并形成概念。
3、学生用语言对概念进行概括，研究表明，让学生用自己的语言表达能十分有效地促进他们对知识的理解。4.把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。这一步骤既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念应用的过程，从中可以看出概念的本质特征是否已被学生真正理解。小学生理解概念，要经历一个逐步深入的过程。在一般的教育条件下，小学生掌握数概念是以具体形象概括为主要形式，逐步过渡到以抽象逻辑概括为主要形式。总体说来，小学生对数学概念的理解，需经历不同的认知水平。第一个阶段是直观形象水平，学生对概念的理解往往是直观和形象的。第二个阶段是形象抽象水平，学生在对概念的理解中，形象的、本质特性的成分逐渐增加。
4、第三个阶段是初步的本质抽象，学生对概念进行一些抽象概括，但还不能脱离他们生活领域的基础。因此，教师在概念的教学过程中要多让学生观察，在观察的基础上让学生尽量用语言表达并进行概括，在此基础上进行应用实践。概念教学一般可以分为这样几个步骤：引入、理解、巩固、应用等。学生在理解概念时。有时会出现一些对概念的误解。教师应该把这种情况看作是一种正常现象，因为每一个新概念的建构都必须经过自我调整阶段，所以帮助学生如何主动发现问题，引起他们的认知冲突，在思维过程中逐步建构新概念才是最重要的。计数是小学数学学习的开始。计数是儿童有目的的一种活动，计数的目的是要确定物体的数量，其手段是数数。因此，计数活动就是将
5、具体集合的元素与自然数列里从“1”开始的自然数之间建立起一一对应关系。如口说数、手点实物，使每个数与一个集合内的每个元素建立一一对应的关系。儿童计数能力的发展，一般可以分为以下两个阶段。第一个阶段为按物点数。随着学生抽象思维能力的提高，学生计数活动会过渡到第二个阶段，即按群计数。一般 4 岁以后的儿童大多能数出 10 以内物体的总数。儿童能手口一致点数并说出总数，标志着他已经开始理解数的实际意义。儿童知道将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握，这就是最初的数抽象，它意味着儿童计数能力达到了一个新的水平，即形成了最初的数概念。学生能进行按群计数，说明了他的思维能力发展到了一个新的水平。这
6、表明数对儿童来说已具有更加抽象的性质。我们对刚入学的城市儿童进行观察，发现我国城市儿童在入学时，大多数已经学会了简单数数，已经有了初步的数概念，达到了上述第一个阶段的要求，但按群计数的能力还比较弱。入学以后，教师应让儿童逐渐发展按群计数的能力。在教学中，可以根据具体情况让学生在计数时以数群为单位进行数数，如两个两个地数、五个五个地数等。学生认数超过 10，即开始接触十进制计数法，会逐渐体悟这种计数法的基本特点和优越性。我们为什么以十作为计数的单位，而不是以三、八或六来划分数？数的十进制的基础结构的确具有不少优点。首先，有助于比较方便地生成新的数。数的这种构造方式使学习者能自己说出数，而不是全靠
7、机械记忆来记住它们。实际上，学生只需记住几个表示数的词，并弄清数体系的逻辑，就可以生成未曾听说过的数。第二个优点是这种基数结构有助于写数和读数。当我们使用位置值写数时，右边的位表示个位数，紧挨它左边的位表示十的倍数，以此类推。第三个优点是，以十进制为基础的计算高效、节时。当我们把数按照数位对齐排成列，就可以按顺序进行竖式运算。这有助于降低记忆的要求，把计算过程中的记忆负担卸到书写数上，这也是竖式计算的原理。对课堂教学的观察表明，我国学生在理解计数制时具有一定的优势。通过各种数学活动，小学生逐步理解了计数系统的构造。他们逐渐理解计数系统是以十为基础的，同时理解了计数单位。而且，他们会看到较大的数
8、是通过合并较小的数而产生的。所以，学生学习计数的过程是他们结合自己的经验感受、理解的过程。基于学生的这种学习过程，在教学时教师可以经常使用以下的策略：第一，引导学生自己逐步体会十进制计数法的优点，而不仅仅说这是一种规定；第二，使用多种学具让学生进行操作；第三，让学生用自己的语言表达想法，与同伴进行交流；第四，让学生多进行读数的练习。这些都是行之有效的教学策略。排列在序数表中任何一个数都可以分解成在它之前的两个数，而且这两个数相加的和刚好等于这个数。数的这种特性被称为数的加法组成，简称数的组成。数的组成也是数次序概念的一个重要特征，对于帮助学生理解加法和减法的概念具有重要意义。当我们想要考察儿童
9、对计数法的理解时，我们需要了解的不仅仅是他们是否能按一定的顺序说出这些数，还要了解儿童是否确实理解数的组成，如 6 可分解为 5 加 1 等。在教学过程中，考查学生能否用自己的语言表达数的组成是十分必要的。学生理解数的组成，也是一个自己体会和理解的过程。在数的组成等内容的教学过程中，学生数量守恒的观念等可以得到切实的培养。教师可以帮助学生通过掌握数的组成，进一步理解数的分解。关于数的读法也能明显地表现出数分解的特征。比如：数 23 可分解为两个十加上三个一，用“二十”和“三”表示这个数。既然数是可以分解的，学生进一步发展了关于数量守恒的概念，这是量化思想中的一个重要内涵。要完全理解一个计量系统
10、就得了解它的等值关系。如果我们有一个 5 分的硬币，即使我们的朋友有两个 2分和一个 1 分，我们也能买到和他一样多的东西。如果一个物体长一米又二十厘米，我们就能用两个 50 厘米和一个 20 厘米这样三段的尺子把它量完。同时，教师可以帮助学生借助具体情境进行数的分与合的活动，从而自然地和加减法概念产生联系。二、学生通过具体情境理解加减法的含义研究表明，学生理解加减法主要通过两个基本渠道。第一，是数的组成与分解活动的延伸。第二，根据现实经验与情境理解加减法的概念。前者是概念同化的过程，后者是概念形成的过程。加法活动具有多种教育的含义，对掌握计数法也具有重要作用。儿童在理解加法运算的过程中取得的
11、进步，是理解十进制读数法特点的基础。希腊学者科尔尼克（Ekaterina Kornilaki）做的一个研究支持了这一结论。她的实验方法有助于学生由一起数向继续数转化。实验的对象是 5 岁半到 6 岁的儿童，她在加法应用问题中试图阻止儿童用一起数的方法。在实验中，孩子们看到一个钱包，接着被告知某个女孩的钱包里已有 8 元，别人又给了她 7 元（硬币） ，这 7元（硬币）就放在孩子们面前的桌子上。他们要回答的问题是现在有多少钱。运用钱包的目的是避免儿童用一起数的办法，保证儿童有一个看得见的实物（桌上的 7 元）表示第二个加数，而第一个加数（钱包里的 8 元）是看不见的。像这样包含一个看不见的加数的
12、问题，儿童在解答的时候，必须用钱包外面的硬币从 8 开始数起，然后才能得出总数。结果表明，对于五六岁的儿童来说，这不是一项简单的任务，只有 66的儿童能得出正确的答案。科尔尼克描述了在含有一个看不见加数的加法任务中儿童解答问题的各种方法。她的观察结果表明，没有完成任务的儿童只数了看得见的实物，所以他们给出问题的答案，或者是第二个加数的值（即他们数了 7 个看得见的硬币，然后回答“7”） ；或者他们把钱包数为 1，然后加上看得见的硬币（即答案是 “8”） 。完成任务的儿童都能用以下其中之一的方法解决问题：23的儿童用他们的手指代表第一个加数，从一开始就数出手指，再接着数出看得见的硬币；37的儿童
13、用另一种方法（或者用手指指着钱包，或者面向钱包点头） ，从一开始，数出第一个加数的值，然后接着数出看得见的硬币，这些儿童似乎是用活动来代表钱包里的硬币。另一些儿童在数数时，没有用明显的姿势表示看不见的硬币，他们只用词语表示那些看不见的硬币。23的儿童用了其中的一种方法，他们只是迅速地说出第一个加数的值，然后接着数出看得见的硬币。所以，每个看不见的硬币都只用一个数词表示。18的儿童用另一种方法，他们只用第一个加数的基数，接着数出看得见的硬币。在这种情况下，这个基数被认为是完全体现了一整组看不见的硬币。科尔尼克接着考察了对于数的组成任务的完成情况，儿童在有一个看不见的加数的加法任务中，他们解答问题
14、的方法是否起重要的作用。分析结果表明，不用明显的姿势，而用词语代表看不见的加数的儿童，在数的组成的任务中，更有可能完成任务。在数的组成的任务中，用一个基数代表看不见的那组加数的儿童，全部完成了任务；不用手指或数出手指，而用数词代表看不见的加数的儿童中，7 个中有 5 个完成了任务。他们在成功完成数的组成任务人数中的比例为 1112。我们对此进行验证性的实验，看一看中国儿童是否是同样的情况。事实确实如此。对于同样的问题，6 名将要入学的儿童参加了测验，其中 5 名用继续数的方法完成了任务。当研究者再一次向另一名学生用语言进行解释时，另一个随后也完成了任务。这些研究的结果有明显的教育意义，表明孩子
15、们在入学时就可以做简单的加法问题。教师可以利用数的组成等活动，引导学生体会简单的加法和减法，将极大地有助于学生数学能力的发展，提高小学数学的教学效率。实际上，学生理解以十为基数的数结构，既不是一一对应数数，也不是学习读写数字，而是孩子们对数的组成知道多少，这一点与儿童对加减法的运算意义理解有紧密联系。学生的生活经验是他们学习数学的基础。实际生活情境对于学生理解加减法具有十分重要的作用。在小学生学习加减法之前，他们通常已经具有一定的加减法活动的经验。五六岁是儿童有关加减法概念发展的重要时期。另外，低年级学生的思维水平以具体形象为主，他们更多地关注发生在自己身边的有趣而新奇的事物。学生在有趣的学习
16、活动中，在运用数的知识解决简单问题的过程中，体会加减法的意义，探索数量关系，掌握加减法的基本运算。加减法运算概念的形成与生活情境是紧密联系的。让学生在具体的情境中提出问题具有重要意义。在同一个情境中，学生往往能提出多种问题，既能提出加法问题，又能提出减法问题。而且，儿童解答加法和减法问题的思路也是紧密联系的。利用情境引入并让学生提出问题是重要的教学策略。目前，教师和研究人员越来越关注让学生自己提出问题。问题提出和问题解决一样，是学习的重要形式。学生学习加减法是学习数学运算的第一个阶段，教师应该让学生提出自己的问题，发展学生观察和思考的能力，强化运算概念的现实背景。实际上，让学生提出和解决问题的过程，也是发挥学生学习主动性的途径之一。我们通过调查发现，入学前大多数儿童已经可以完成一些加法的问题，这些加法题是简单计数的延伸，他们在思考中往往联系自己的生活经验。例如，他们在解决“ 小明有 5 颗糖，祖母给他 4 颗，他现在有几颗糖？” 的问题时，如果发生困难，他们会在头脑中假设桌子上有一些糖，实际情境会有助于问题解决。对于低年级学生来说，实物或者是
