解直角三角形的应用

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1、题11倾斜的木板如图所示搭在货车上，货车的高度为 2m，如果木板与地面所成的角为30，求木板的一端 B与车的水平距离12海中有一小岛，它的周围 8海里内有暗礁，轮船由西向东航行，在 B点测得小岛在北偏东 60方向上，航行 10海里后到达 C点，此时测得小岛在北偏东 45方向上，如果不改变航向，继续向东航行，有无触礁的危险？13两建筑物 AB和 CD的水平距离为 45m，从 A点测得 C点的俯角为 30，测得 D点的俯角为 60，求建筑物 CD的高度14某市一新开发的居民小区，每两幢楼之间距离为 24m，每楼高均为 18m已知该城市正午时分太阳高度最低时，太阳光线与水平线的夹角为 30，试求：（

2、1）此时前楼的影子落在后楼上有多高？（2）要使前楼的影子刚好落在后楼的楼脚时，两楼之间的距离应当是多少米？15如图，自卸车车厢的一个侧面为矩形 ABCD，AB=3m，BC=0.5m，车厢底部距离地面1.2m，卸货时，车厢倾斜的角度为 60，问此时车厢的最高点距离地面多少米（精确到 1m） 18 （包头）中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪 O”，测得该车从北偏西 60的 A点行驶到北偏西 30的 B点，所用时间为 1.5s（1）试求该车从 A点到 B点的平均速度;（2）

3、试说明该车是否超过限速2参考答案11在 RtABC 中，AC=2m，ABC=30，tanABC= ，BC=2 m32,ACB312如图过 M作 MNBC 于 N，设 MN=x，则 CN=x，在 RtBMN 中，tan30= ，x=5（ +1） 3,10xBC35（ +1）8，3船继续向东航行无触礁危险13过 C作 CEAB 于 E在 RtADB 中，BD=45m，ADB=60，AB=45 （m） 3在 RtACE 中，CE=45m，ACE=30，tanACE= ，AE=15 （m） ACE3CD=AB-AE=45 -15 =30 （m） 14如图由ADB=30，AB=18m，BD=18 m，C

4、D=18 -24（m） 33又CDEBDA， ，CE=18-8 （m） 1824,183CDECEBA3故此楼落在后楼的影子高为（18-8 ）m- - 3（2）若影子恰好落在楼脚时，距离为 x则 = ，x=18 （m） 18x3故两楼之间的距离应当为 18 m315AB=CD=3m，DCF=60，DF=DCsin60=3 = m2在 RtADH 中，ADH=30，AD=BC=0.5mAH=ADsin30，AH= m14AG= + = （m） 14326A 距地面的距离为 + ，即 4（m） 13452930故此时车厢的最高点 A距离地面 4m18 （1）在 RtAOC 中，AC=OCtanAO

5、C=25tan60=25 m，3在 RtBOC 中，BC=OCtanBOC=25tan30= m，25AB=AC-BC= （m） 503小汽车从 A到 B的速度为 = （m/s） 50321039（2）70km/h= m/s，717/36s又 ，09.259小汽车没有超过限速4例 1. 如图，点 A是一个半径为 300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B、C两个村庄，现要在 B、C 两村庄之间修一条长为 1000米的笔直公路将两村连通，经测得ABC=45 o，ACB=30 o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。解： 在 中 ，RtHtan45在 中 ，AC30tant4

6、51H0不 会 穿 过例 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度 AD和高度 DC都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 HG的方案。具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D 间距离，用 m表示；如果测 D、C 间距离，用n表示；如果测角，用 、 表示） 。（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计

7、） 。解：（1）在 A处放置测倾器，测得点 H的仰角为 在 B处放置测倾器，测得点 H的仰角为 （ ） 在 中 ，2RtIIDIAIDmtantanA B H C - - 5HImtanGInta例 3. 某一时刻，一架飞机在海面上空 C点处观测到一人在海岸 A点处钓鱼。从 C点处测得 A的俯角为 45o；同一时刻，从 A点处测得飞机在水中影子的俯角为 60o。已知海岸的高度为 4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数） 。例 7 如图 1，在 中，AD 是 BC 边上的高， 。ABCtancosBDAC（1）求证：ACBD（2）若 ，求 AD 的长。sin231，图 1分析：由于

8、AD 是 BC 边上的高，则有 RtADB和 ，这样可以充分利用锐角三角函数的RtADC概念使问题求解。解：（1）在 中，有 ， 中，有tBtanBtCcosDAC解： 在 中 ，RtBtan45在 中 ，G60Atanta60458326tancosBDACB， 故（2）由 ；可设sin123xACBDx1213，由勾股定理求得 ， DCx582即 x3A128例 8. 如图 2，已知 中 ， ，求 的面BRtACmB， ABC积（用 的三角函数及 m 表示）图 2分析：要求 的面积，由图只需求出 BC。ABC解：由 tanCmBSAmBCtantantan， 1212例 9. 如图 3，沿

9、 AC 方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。- - 7从 AC 上的一点 B，取 米， 。要使 A、C 、E 成一ADB1450， D5直线，那么开挖点 E 离点 D 的距离是（ ）A. 米 B. 米50sincosC. 米 D. 米ta50t图 3分析：在 中可用三角函数求得 DE 长。RtBED解： A、C、E 成一直线BED14590， ，在 中，RtBDcoscos，米，505米，故应选 B。Es例 10. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置 O 点的正北方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/小时的速度向正东方向航

10、行。为迅速实验检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里/小时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问（1）需要几小时才能追上？（点 B 为追上时的位置） （2）确定巡逻艇的追赶方向（精确到 ） （如图 4）01.图 48参考数据：sin.cos.i. .sncos680916803974237410690632，分析：（1）由图可知 是直角三角形，于是由勾股定理可求。ABO（2）利用三角函数的概念即求。解：设需要 t 小时才能追上。则 ABt426，（1）在 中， ，RtOBA2()()261024tt则 （负值舍去）故需要 1 小时才能追上。（2）在 中tAsin.BOt246093

11、OB674.即巡逻艇沿北偏东 方向追赶。7.例 11. 如图 5，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围没有平整地带，该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。图 5- - 9（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 HG的方案，具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D 间距离，用 m 表示；如果测 D、C间距离，用 n 表示；如果测角，用 等表示，测倾器高度不计） 。、 、（2）根据你测量

12、的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示） 。分析：本题实际是一道图形设计和数据的测量计算，依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例。解：如图 5（1）测三个数据。（2）设 HGx在 中， 在 中，RtCcotRtDHMxn()cot，即xncot()txncto1. 测量底部不可以到达的物体的高度，可以按下列步骤进行：（如图所示，以测量 MN的高度为例）在测点 A处安置测倾器，测得此时 M的仰角 。CE在测点 A与物体之间的 B处安置测倾器（A、B 与 N在一条直线上） ，测得此时 M的仰角 。MDE量出测倾器的高度

13、，以及测点CDaA、B 之间的距离 AB=b。（1）根据测量数据，你能求出物体 MN的高度吗？说说你的理由。（2）若 ，306015， ， ，amb.试计算 MN的高度。2. 公路 MN和公路 PQ在点 P处交汇，且 ，点 A处有一所中学，QPN30AP=160m，一辆拖拉机以 3.6km/h的速度在公路 MN上沿 PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明M C D E A B N 10理由；如果受影响，会受影响几分钟？ N P A Q M 3. 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在 30

14、00千克以上（含 3000千克）的有两种销售方案。甲方案：每千克 9元，由基地送货上门。乙方案：每千克 8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款 y（元）与所购买的水果质量 x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围。（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。4. 某市从今年 1月 1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 1/3，小利家去年 12月的水费是 15元，而今年 7月份的水费则是 30元。已知小利家今年 7月的用水量比去年 12月份的用水量多 5立方米，求该市今年居民的用水价格。参考答案1. 解： （ ）1MNbatan（ ）25301MN.2. 解： 1803sinAPBRt中 ，） 在（会 影 响 N B D P A Q M 10 30o 160（ ） 在 中 （ 米 ）2108602RtABD- - 1160231.（ 分 钟 ）分 钟3. 解： yx甲 9乙 850当 时 选 乙时 选 甲时 一 样x04. 解：设去年 x元，今年 元43答：今年用水价格 2元。1530415.2x关于坡角【例