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1、23第三章 塑性本构关系3.1 概述一、单向拉伸条件下的塑性本构关系图 3.1从韧性金属材料的单向拉伸试验曲线可发现如下现象：（1） s 时，处于弹性阶段，无论加载还是卸载，都服从虎克定律 =E。（2） s 时，进入塑性阶段。在任何时刻加载与卸载都服从不同的规律。继续加载：产生新的不可恢复的塑性变形，服从塑性变形规律（曲线 SABF） ，卸载：应力的减少量 与应变的减少量 之间服从弹性变形规律（虎克定律 ） 。 E（3）进入塑性阶段后，设从某一点（例如图中的 B 点）开始卸载，然后再重新加载。开始阶段：=E ，即应力的增加量与应变的增加量之间仍符合弹性关系（虎克定律）直至卸载开始点（B 点）为
2、止。继续加载：重新进入塑性阶段，卸载开始点（B 点）的应力值相当于 卸载后重新加载时的屈服应力，称为“后继屈服应力” ，记做 h。理想塑性材料： h=s（原始屈服应力）强化材料： h s，这就是强化现象。由此可以看出，即使对单向拉伸这样比较简单的应力状态，其塑性应力应变关系也要比弹性复杂得多。二、塑性本构关系的主要内容：研究一般的塑性力学问题必须注意把握以下几点：（1）必须首先判断材料是在弹性阶段还是在塑性阶段。如为前者，直接应用虎克定律即可，如为后者，则需根据材料的塑性性质作进一步的考虑。判断材料是否进入塑性阶段的条件称为屈服条件或屈服准则。（2）如判断出材料已进入塑性阶段，则还应进一步判断
3、是处于加载状态还是处于卸载状态。如是前者，则必须应用塑性应力应变关系，如是后者，则其应力减少量与应变减少量之间服从弹性关系（虎克定律） 。判断是加载还是卸载的条件称为加载准则。24（3）如材料是处于塑性阶段的加载状态；则应根据材料是理想塑性材料还是强化材料建立相应的塑性应力应变关系。（4）如材料是强化材料，还要弄清 h 与 s 以及其他因素的关系，即强化条件。对于单向拉伸而言，只要通过实验作出一条应力应变曲线，以上问题都容易解决。（1）屈服条件就是 = s，式中 就是单向的拉伸应力， s 为屈服应力，可以通过拉伸实验定出。（2）拉伸应力 增加，即 d0 时为加载，d0 时为卸载。（3）塑性阶段
4、加载时的塑性应力应变关系，也可由单向拉伸实验定出（即图中的曲线 ABF） 。（4）如果是强化材料， h 与 s 的关系也可由拉伸试验的应力应变曲线得出。在塑性力学问题中虽也有一些问题是属于单向应力状态的（如桁架、梁的纯弯曲等） ，但更多的问题则属于复杂应力状态。因此塑性本构关系研究的主要内容就是在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料） ，以及塑性应力应变关系的规律。3.2 屈服条件的一般形式单向拉伸时，屈服条件是 =s（ s 由单向拉伸实验得到） 。复杂应力状态下，屈服条件和六个应力分量都有关。 都有关。zxyxzyx , , ,即：屈服条件： f1（ ）= C （31）
5、zyxzyx , , ,f1：各应力分量某种形式的函数，称为屈服函数。C：与材料性质有关的常数。假定材料各向同性，则屈服条件为：f（ ）= C （32）321, f 是 的对称函数（即三个主应力可以互换位置而函数值不变） 。 321 ,而 都是 的对称函数，所以，可以把屈服条件写成应力张量三个不变量I321 ,的对称形式的函数，即屈服条件： f2（ ）= C （33）321, I而应力球张量不影响屈服，因而上式中 I1，I 2，I 3 可以用应力偏张量的三个不变量 J1，J 2，J 3代替。又J 1=0，故屈服条件： f3（J 2，J 3）= C （34）因为 J3 是应力偏量各分量的三次函数
6、，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J 3 也变号。但由实验结果知，一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量均改变符号时， （34）式左方的屈服函数值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变量 J2 和 J3 的函数，同时又必须是 J3 的偶函数。3.3 应力空间与屈服曲面（一）应力空间的概念把六个应力分量看成六维空间的坐标，则每一应力状态（用六个应力分量来表示）就相当于六维空间中的一个点。由于是用应力分量作为坐标，所以称这个六维空间为六维应力空间。屈服条件（31）式就是六维应力空间中的一个超曲面（为了区别于普通三维空间中的曲面，称为超曲面） 。25
7、屈服条件多数用以主应力或不变量表示的。因此，可按下面方式建立应力空间和屈服曲面：应力空间：建立以 1， 2， 3 为坐标的三维空间， 称为应力空间。应力空间中的点 P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是 1， 2， 3。屈服曲面：屈服条件式（3.2）表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。图 3.2 图 3.3（二）等倾线与 平面等倾线：应力空间中通过原点与 1， 2， 3 轴正方向成相同夹角的直线 ，称为等倾线（如图3.3 中的 OL 线） 。等倾线方向余弦： （ ， ， ） （35）1等倾线方程式： 1=2=3 （36）于是可知，等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量（ 1=2=3
8、=m） ，其偏张量为零。 平面：经过原点 O 以等倾线为法线的平面称为 平面（见图 3.3） ， 平面方程式： 1+2+3=0 平面方程式推导如下：，0131 321 kjikji 。03 321因而可知 平面上的任意点所代表的应力状态的 m= (x+y+z)= (1+2+3) =0，即其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。在应力空间中任一点 P 对应的矢量 在三个轴上的投影分别等于 。可以把矢O321 ,和量 分解成沿等倾线和在 平面上的两个分量 和 ，则 和 分别表示这一应力状OPQSOS态的球张量和偏张量。（三）屈服曲面和屈服轨迹当所有应力分量的绝对值都很小时，材料一定处于弹性阶
9、段，这时在应力空间中表示这个应力状态的点在坐标原点附近。当各应力分量的绝对值（或某些分量的绝对值）足够大时，材料就会进入塑性阶段，这时在应力空间中表示这个应力状态的点就会离开原点相当的距离。因此，可以设想在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段） ，而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段） 。这两个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程（32）式在应力空间中所代表的曲面。26屈服曲面与 平面的交线叫做屈服轨迹。（四） 平面上的点所代表的应力状态应力空间中一点 P（或矢量 ）表示一个应力状态（ 1、 2、 3） （
10、见图 3.4（a） ） ，将O分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量 、 、 ，即 1 轴，长为OPABPOA1， 平行于 2 轴，长为 2， 平行于 3 轴，长为 3。ABB（a） （b）图 3.4将该应力空间投影在 平面上（见图 3.4（b） ） 。 、S 分别为 A、B 、P 各点在 平面A、上的投影。 沿 1 方向，它在 平面上的投影 也必然沿 方向。 与等倾线的夹角OAO1O= ，所以， 在 平面上投影的长度为：3arcosO = （a） 1231sinA同理：在 平面上的方向平行于 ，其长度为： = （b）AB2BA2在 平面上的方向平行于 ，其长度为： P3S = （c）B3
11、 平面上取右手直角坐标系（见图 3.4（b） ） ，以 方向为 y 轴，与之垂直的方向为 x 轴，2O则将 ， ， 分别向 x 轴及 y 轴投影，即得矢量 沿 x 轴及 y 轴的分量为： AOBS(OS)x = O cos30 Scos30A= ( 1 2) = ( 1 2) （d）3(OS)y =O sin30+ Ssin30B= （e）)(6)( 312321 故得 的长度：S27（37）28 21323213 )()()( JOSSiyxi 为应力强度， 8 为八面体面上的剪应力。 在 平面上的方位角为S（38）arctg 1arctg)(arctg312 xyOS为应力状态的 Lode
12、 参数。对一个已知状态（ 1， 2， 3） ，由（37）和（38）可以得到 平面上代表它的偏张量的点 S 的位置。如果规定 1 2 3 （f）则 1 1 （g）因而 30 30 （h）即在 平面上代表应力偏张量的点 S 将坐落在 轴正方向与 轴负方向之间。1O3对单向拉伸， =1， =30，S 点位于 轴正方向。对单向压缩， =+1， =30，S 点位于 轴负方向上。3对纯剪切， =0， =0，S 点位于 轴正方向与 轴负方向的分角线上。13如果主应力顺序不按（f）式规定而可以任意排列，则 S 点可位于 平面的任何点，而没有（h）式的限制。反过来说，如果已知 平面上一点 S，就不可能唯一地确定
13、它所代表的原始应力状态，因为可以加上任意大小的球张量而不改变 平面上 S 点的位置。不过可以根据 S 点的位置唯一地确定它所代表的应力偏张量的大小。由（e）式得(OS)y = * )2(6131应力偏张量为： mzzyzxyyxzxymxzyzxxzyxijs s 在主应力坐标系下， mzmijs s 0 213231132故有s2 = 。32123212m ，代入*式得：1s28(OS)y = 22361ss2 = (OS)y = （39a）3inOS用同样的方法可以求得：s1 = （39b）)120si(s3 = （39c ）2nS求 s1 时，取 的方向为 y 轴正方向，相当于 y 轴顺时针旋转了 120，相应地，x 轴的正1O方向也顺时针旋转了 120，此时， 的方向与 x 轴的正方向的夹角变成了 +120，类比（39a）式，就可以得（39b）式，同理可得（39c）式。由（3.9）式即可以确定 平面上一点 S 所代表的应力偏张量。由*式还可以看出 平面上任何一条与 轴垂直的直线必然代表 s2 =常数（因为这条直线上(OS )y 是常数） 。同理可知，代2表 s1 =常数及
