《（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学 专题 8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理训练目标 会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型 (1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图所示，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB ， AF1， M是线段2EF的中点求证：(1)
2、 AM平面 BDE；(2)AM平面 BDF.2在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，在侧棱 CC1上求一点 P，使得直线 AP与平面BDD1B1所成角的正切值为 3 .23(2015甘肃河西五地市第一次联考)已知斜三棱柱 ABC A1B1C1的底面是边长为 2的正三角形，侧面 A1ACC1为菱形， A1AC60，平面 A1ACC1平面 ABC， N是 CC1的中点(1)求证： A1C BN；(2)求二面角 B A1N C的余弦值4(2015上饶一模)2如图，五面体 ABCDEF中，底面 ABCD为矩形， AB6， AD4.顶部线段 EF平面 ABCD，棱EA ED FB FC6
3、， EF2，二面角 F BC A的余弦值为 .21717(1)在线段 BC上是否存在一点 N，使 BC平面 EFN?(2)求平面 EFB和平面 CFB所成锐二面角的余弦值5(2015长春普通高中质量检测)如图，在四棱锥 P ABCD中， PA平面 ABCD， PA AB AD2，四边形 ABCD满足AB AD， BC AD且 BC4，点 M为 PC中点，点 E为 BC边上的动点，且 .BEEC(1)求证：平面 ADM平面 PBC.(2)是否存在实数 ，使得二面角 P DE B的余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；23若不存在，说明理由3答案解析1证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设 A
4、C BD N，连结 NE，则点 N， E的坐标分别为( ， ，0)，(0,0,1)22 22所以 ( ， ，1)NE 22 22又点 A， M的坐标分别是( ， ，0)，( ， ，1)，2 222 22所以 ( ， ，1)AM 22 22所以 ，且 NE与 AM不共线NE AM 所以 NE AM.又因为 NE平面 BDE， AM平面 BDE.所以 AM平面 BDE.(2)由(1)知 ( ， ，1)，AM 22 22因为 D( ，0,0)， F( ， ， 1)，所以 (0， ，1)2 2 2 DF 2所以 0，所以 ，AM DF AM DF 所以 AM DF，同理 AM BF，又 DF BF F
5、，所以 AM平面 BDF.2解4建立如图所示的空间直角坐标系，设 CP m，则 A(1,0,0)， B(1,1,0)， P(0,1， m)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， B1(1,1,1)，所以 (1，1,0)， (0,0,1)， (1,1， m)， (1,1,0)BD BB1 AP AC 因为 (1,1,0)(1，1,0)0， (1,1,0)(0,0,1)0.AC BD AC BB1 所以 为平面 BDD1B1的一个法向量AC 设 AP与平面 BDD1B1所成的角为 ，则 sin cos( ) .2 |AP AC |AP |AC | 222 m2所以 cos .1 sin2m2
6、m2又 tan 3 ，sin cos 2m 2所以 m .13故当 CP 时，直线 AP与平面 BDD1B1所成角的正切值为 3 .13 23(1)证明取 AC的中点 O，连结 BO， A1O.由题意知 BO AC， A1O AC.又因为平面 A1ACC1平面 ABC，且平面 A1ACC1平面 ABC AC， A1O平面 A1ACC1，所以 A1O平面 ABC.以 O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则 O(0,0,0)， B( ，0,0)， A1(0,0， )， N(0， )， C(0，1,0)，3 332 325(0,1， )， ( ， )A1C 3 BN 332 32因为 0 ( )
7、0，A1C BN 32 3 32所以 A1C BN.(2)解由(1)得 (0， )，A1N 32 32( ，0， )A1B 3 3设平面 A1BN的一个法向量为 n1( x， y， z)，则Error! 即Error!令 x1，得 n1(1， ，1)33又平面 A1NC的一个法向量 n2(1,0,0)设二面角 B A1N C的平面角为 ，且由图知， 为锐角，则 cos .|n1n2|n1|n2| 2174解(1)存在点 N为线段 BC的中点，使 BC平面 EFN.证明： EF平面 ABCD，且 EF平面 EFBA，平面 ABCD平面 EFBA AB， EF AB.设平面 EFN平面 ABCD
8、MN， M AD. EF平面 ABCD， EF MN， AB MN. FB FC， BC FN.又四边形 ABCD是矩形， BC AB. BC MN. FN平面 EFNM， MN平面 EFNM，FN MN N， BC平面 EFNM，即 BC平面 EFN.(2)在平面 EFNM内，过 F作 MN的垂线，垂足为 H.由(1)可知 BC平面 EFNM， BC平面 ABCD，且平面 ABCD平面 EFNM MN， FH MN，6则平面 ABCD平面 EFNM，所以 FH平面 ABCD.又因为 FN BC， HN BC，则二面角 F BC A的平面角为 FNH.在 Rt FNB和 Rt FNH中，FN
9、，FB2 BN2 68NH FNcos FNH 2， FH8.681717过 H分别作边 AB， CD的垂线，垂足分别为 S， Q，连结 FS， FQ，以 H为坐标原点，以 ， ， 方向为 x， y， z轴正方向，建立空间直角坐标系，HS HN HF 则 F(0,0,8)， S(2,0,0)， N(0,2,0)， B(2,2,0)，则 (2,0,8)， (0,2,0)SF SB 设平面 EFB的一个法向量为 n1( x， y,1)，则由Error! 得Error!可得 n1(4,0,1)同理可求得平面 BCF的一个法向量为 n2(0,4,1)，于是 cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2
10、| 116 116 1 117 n1， n2为锐角设平面 EFB和平面 CFB所成锐二面角的平面角为 ，则 cos cos n1， n2 .1175(1)证明如图，取 PB中点 N，连结 MN， AN. M是 PC中点， MN BC， MN BC2.12又 BC AD， AD2，7 MN AD， MN AD，四边形 ADMN为平行四边形 AP AD， AB AD， AP AB A， AD平面 PAB. AN平面 PAB， AD AN， AN MN. AP AB， AN PB， MN PB N， AN平面 PBC. AN平面 ADM，平面 ADM平面 PBC.(2)解存在符合条件的 .以 A为原点， 方向为 x轴的正方向， 方向为 y轴的正方向， 方向为 z轴的正方向，AB AD AP 建立如图所示的空间直角坐标系设 E(2， t,0)(0 t4)， P(0,0,2)， D(0,2,0)， B(2,0,0)，则 (0,2，2)， (2， t2,0)PD DE 平面 PDE的一个法向量为 n1(2 t,2,2)又平面 DEB即为 xAy平面，故其一个法向量为 n2(0,0,1)，cos n1， n2 .n1n2|n1|n2| 2 2 t 2 4 4 23解得 t3 或 t1， 3 或 .13
