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1、1朝阳区 20092010 学年度高三年级第二学期统一考试（二）数学学科测试（文史类） 2010.5（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷（选择题 共 40 分）注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知
2、集合 ，集合 ，集合 ，则1, 234, 6U2, 3A3, 5B()UABIC等于 （A） （B） （C） （D）22,351,465（2）设 为虚数单位，则复数 所对应的点位于i i1z（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）过点 引圆 的切线，则切线长是(4, )22(1)(3)4xy-+-=（A） 2 （B） （C） （D） 0614（4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是 ，则正方体的表面积是 43（A）8 （B）6 （C）4 （D）3（5）某校共有学生 2000 名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取21 名，抽到二年级女
3、生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64 人，则应在三年级抽取的学生人数为一年级 二年级 三年级女生 385 ab男生 375 360 c（A） （B） （C） （D ）24181612（6）函数 的图象大致是32()fx解：因为 ，排除 C；又 ，所以排除 D.1(0)2f321()0f因为 ，显然对于 ， 不能恒成立，3xxxR()fx所以排除 B.故选 A.（7）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A） 12 （B） 80 （C） （D） 64 （8）如图所示， 是定义在区间 （ ）上的奇函数，令 ，()fx, c-0()gxafb=+并有关于函数 的
4、四个论断：gxyO（A） （B） （C） （D）xyO xyO xyO 1俯视图44正视图 侧视图433对于 内的任意实数 （ ） ， 恒成立；, c-, mn若 ，则函数 是奇函数；0b=()gx若 ， ，则方程 必有 3 个实数根；1a ()xf其中正确的是（A） （B） （C） （D） 解：解： （ ）恒成立表示 在 内是上凸函数，而()0gnm-n*1bc=nd（ ， ） ，则可以得到 = .3 *N1b+解：解法 1：设数列 的公差为 ，则 = .nad1na-b所以 = = .1n+1-类比推导方法易知：设数列 的公比为 ，nbq由 可知 .1-=1ndc-所以 .qn-所以 =
5、.1nnbc+=1()nd-1nc-解法 2：（直接类比）因为等差数列中 ，等比数列中 ，1()nad+- 1naq-=因为 ，所以 .1nba+-=1n+=dc-三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分 13 分）设函数 ()2sincos(2)6fxx（）求函数 的最小正周期； （）当 时，求函数 的最大值及取得最大值时的 的值.0,3x()fxx解：（）因为 ()2sincos2)6f i inxx613sin2cosxx，i()所以 .)sn23fx函数 (的最小正周期为 . 7 分（）因为 ，所以 .0, x,3x所以，
6、当 ，即 时23512函数 的最大值为 1. 13 分()fx(16) （本题满分 13 分）某运动员进行 20 次射击练习，记录了他射击的有关数据，得到下表：环数 7 8 9 10命中次数 2 7 8 3（）求此运动员射击的环数的平均数；（）若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果，在四个结果（2 次、7 次、8 次、3 次）中，随机取 2 个不同的结果作为基本事件进行研究，记这两个结果分别为 次、 次，每个基本事件为（m ，n）.n求“ ”的概率.10解：（）此运动员射击的总次数为 2+7+8+3=20 次，射击的总环数为（环）.27937所以此运动员射击的平均环数为 （环）. 6 分
7、12860（）依题意，用 的形式列出所有基本事件为(, )mn（2，7） ， （2，8） ， （2，3） ， （7，8） ， （3，8） ， （3，7） ， （7，2） ， （8，2） ， （3，2） ，（8，7） ， （8，3） （7，3）所以基本事件总数为 12.设满足条件“ ”的事件为 A，则事件 A 包含的基本事件为（ 2，8） ，10（7，8） ，（3，8） ， （3，7） ， （8，2） ， （8，7） ， （8，3） ， （7，3）总数为 8，所以 ().13PA答：满足条件“ ”的概率为 13 分10mn 2.(17) （本题满分 13 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，
8、其他四个侧面都是等边三角SABCDAB形， 与 的交点为 O. AC7（）求证： 平面 ；SOABCD（）已知 为侧棱 上一个动点. 试问对于 上任意一点 ，平面 与平面ESCEBD是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由.AC证明：（）因为四边形 是正方形， ，ABCDABDO所以 O 是 ， 中点.由已知， , ,SS所以 , ,又 ，ACBD所以 平面 . 6 分SO（）对于 上任意一点 ，平面 平面 .EBDSAC证明如下：由（）知 ，SA面而 ，所以 .BDAC面 O又因为四边形 是正方形，所以 .CB因为 ，所以 .SBDSA面又因为 ，所以平面 平面 .13 分BE面
9、E(18) （本题满分 14 分）已知函数 ， ，且 2()ln(1)axfaR0（）若 ，求 的值；2（）当 时，求函数 的最大值；0a()fx（）求函数 的单调递增区间()fx解：（）函数的定义域为 ， .(0,)1()fxa由 ，解得 3 分(2)1f32a（）由 ，得 lnx()1fxxOSA BCDE8由 ，解得 ；由 ，解得 1()0xf1x1()0xf1x所以函数 在区间 递增， 递减.(, ),因为 是 在 上唯一一个极值点，1x)f+故当 时，函数 取得最大值，最大值为 7 分(x(1)f（）因为2(1)()1)axaxfa（1）当 时， .令 解得0(xf 1()0f（2）
10、 时a令 ，解得 或 .()1xa（）当 即 时，0由 ，及 得 .)ax（ （ ） x1)0x（ （ ）解得 ，或 ；1a（）当 即 时，因为 ， 恒成立. 0x221()()0xxf（）当 即 时，由 ，及 得 .1aa（ （ ） x1)0ax（ （ ）解得 ，或 .0x综上所述，当 时，函数 的递增区间是 ；a()f(0, 1)当 时，函数 的递增区间是 ， ；01x(, )a当 时，函数 的递增区间是 ；()f(, )当 时，函数 的递增区间是 ， . 14 分ax10(,)(19) （本题满分 13 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 在椭2:1(0)xyMab1(2, 0)F2(,
11、 )9圆 中有一内接三角形 ，其顶点 的坐标 ， 所在直线的斜率为 MABC(3,1)AB3（）求椭圆 的方程；（）当 的面积最大时，求直线 的方程解：（）由椭圆的定义知.222(3)1(3)1a解得 ，所以 .62bac所以椭圆 的方程为 4 分M1xy（）由题意设直线 的方程为 ，AB3xm由 得 21,63,xym22360x因为直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且点 不在直线 上，ABM,ABCAB所以 解得 ，且 2214()0,3.m 2m0设 两点的坐标分别为 ， ，,AB1(,)xy 2(,) 则 ， ， ， 123x126113x223yxm所以 .222211114|()()
12、()4ABxy点 到直线 的距离 .(3,)C 3m3|d于是 的面积 ，AB2221 (4)|432mSAB当且仅当 ，即 时 成立.|4m“”xyOBACF1 F2 10所以 时 的面积最大，此时直线 的方程为 .2mABCAB32yx即为 13 分360xy20 （本题满分 14 分）已知 na是递增数列，其前 n项和为 nS， ，且 10(21)nnSa，1a*N（）求数列 的通项 ；nna（）是否存在 *, mkN，使得 2()mnka成立？若存在，写出一组符合条件的 的值；若不存在，请说明理由；,k（）设 ，若对于任意的 ，不等式32nba*恒成立，求正整数 的最大值125 1()
13、()323nmb m解：（） ，得 ，解得 ，或 10a150a12a1由于 ，所以 1因为 ，所以 .(2)3nnS20nnS故 ，211110055aSaa整理，得 ，即 2()()nn11()2()50nna因为 是递增数列，且 ，故 ，因此 1210n则数列 是以 2 为首项， 为公差的等差数列.na5所以 . 5 分5()()（）满足条件的正整数 , mnk不存在，证明如下：假设存在 *, N，使得 2()mnka，则 15(5)k11整理，得 325mnk， 显然，左边为整数，所以式不成立故满足条件的正整数 , 不存在 8 分（） ，313(5)212n nba不等式 可转化为12 ()3nmbb5 31 32112n 4687n设 ，21()353f n则 4684(1)7251353fnn 2424()5n.22 24116516()nn所以 ()(fnf，即当 增大时， f也增大要使不等式 对于任意的 *nN恒成立，12 1)()323nmbb只需 min5 ()1f 即可因为 in415()()3ff，所以
