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1、简析数列通项公式的几种常用求解方法摘要:求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。 关键词:数列;求解;方法 求数列的通项公式是高中数学教学的重点,是学生学习的难点,也是高考考查的热点。关于数列通项公式的题目多种多样,但是万变不离其宗,求解数列通项公式的常见题型有以下九种: 一 观察法例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2） ,176,093,5（3） 2,（4） ,4,21解：（1）变形为：10 11，10 21，10 31，10 41，通项公式为： 0na（2） （3） （4） .;12n ;1na1)(
2、nan观察各项的特点，关键是找出各项与项数 n 的关系。 二、定义法例 2： 已知数列a n是公差为 d 的等差数列，数列b n是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，若函数 f (x) = (x1) 2，且 a1 = f (d1)，a 3 = f (d+1)，b 1 = f (q+1)，b 3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2) 2，a 3 = f (d+1)= d 2，a 3a 1=d2(d2) 2=2d，d=2，a n=a1+(n1)d = 2(n1) ；又 b1= f (q+1)= q2，b 3 =f (q
3、1)=( q2) 2， =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，13)bb n=bqn1 =4(2) n1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法例 3：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解 易知 ,12nan ,31253a,74 ,12nn各式相加得 )12(753na )(52Nnan一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能1fn )(1nff进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例 4：在数列 中， =1, (n+1) =n ，求 的表达式。na11nana解：由(n+1) =n 得 ，n= = 所以
4、1an2341na432 n1一般地，对于型如 = (n) 类的通项公式，当 的值可以求fa)(2)(ff得时，宜采用此方法。五、公式法若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式nnSanan求解。211Sann 例 5：已知下列两数列 的前 n 项和 sn 的公式，求 的通项公式。ana（1） 。 （2）3n 12解： （1） 11Sa= = =3nn)()()(33n232n此时， 。 =3 为所求数列的通项公式。112na22（2） ，当 时0sa1)1()(221 nnn 由于 不适合于此等式 。 1a)2(10nan注意要先分 n=1 和 两种情况分别进行运算，然后验
5、证能否统一。2n例 6. 设数列 的首项为 a1=1，前 n 项和 Sn 满足关系),43,0(3)2(3tSttn求证：数列 是等比数列。n解析：因为 )1(,2,()1 tttn所以 243032(321 nSSn得 ：)2(1所以，数列 是等比数列。na六、阶差法例 7.已知数列 的前 项和 与 的关系是nnSa，其中 b 是与 n 无关的常数，且 。nbaS)1( 1b求出用 n 和 b 表示的 an 的关系式。解析：首先由公式： 得：211nSn )2()1()(21nbabnn 121)()(nnn 1332)()()( nnnbabab112)()()1( nnn),2(30)3
6、( ,)(112Nnttttnn （ 1211321)()( )( nn nnnbbbaa 12)(nna 1)1(1bbnn利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为 。七、待定系数法例 8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若ncc1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式 cn解：设 1)(nbqda132 21274nncabqda点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、为常数） ，若数列n cncsn2为等比数列，则 ， 。na1nAqa )1,0
7、(qAs八、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例 9.在数列 中， ， ， ，求 。na12annna31解析：在 两边减去 ，得n32 1 )(112na 是以 为首项，以 为公比的等比数列，n112 ，由累加法得)(na= 12211 )()( aan = = =2)31(n3)(n1)(3)(1n1)3(4n= 1)(47n例 10.（2003 年全国高考题）设 为常数，且 （ ） ，0a12nna*N证明：对任意 n1， 0)(2)1(35n 证明：设， )(211nnntata用 代入可
8、得13n 5 是公比为 ，首项为 的等比数列，5na231a （ ） ，10)(31(3nna*N即： 02)(5)aannn 型如 an+1=pan+f(n) (p 为常数且 p0, p1)可用转化为等比数列等.(1)f(n)= q (q 为常数 )，可转化为 an+1+k=p(an+k)，得 an+k 是以 a1+k 为首项，p 为公比的等比数列。例 11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。n 121nnn解： 21a)(a令 nb则辅助数列 是公比为 2 的等比数列 即 1nqnqa)1(12na例 12： 已知数列 中 且 （ ） ， ，求数列的通项公式。n11nN解： 1na ，
9、 设 ，则11nnaanab111nb故 是以 为首项，1 为公差的等差数列nb1 n)( nban1例 13.（07 全国卷理 21）设数列 的首项 n 113(0)234nna， ， ， ， ， ， （1）求 的通项公式；na解：（1）由 13234n， ， ， ， ，整理得 1()nna又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得10a1a211()2nn注：一般地，对递推关系式 an+1=pan+q (p、q 为常数且，p0，p1) 可等价地改写成则 成等比数列，实际上，这里的 是特征方)1(1pqpqann 1pq1程 x=px+q 的根。(2) f(n)为等比数列，如 f(n)=
10、 qn (q 为常数) ，两边同除以 qn，得 ，令 bn=1nnqa，可转化为 bn+1=pbn+q 的形式。nqa例 14.已知数列a n中，a 1= ， a n+1= an+（ ） n+1，求 an的通项公式。65321解：a n+1= an+（ ） n+1 乘以 2n+1 得 2 n+1an+1= (2nan)+1 令 bn=2nan 则 b n+1= bn+131 32易得 b n= 即 2 nan=)(41)(41 a n= n(3) f(n)为等差数列例 15.已知已知数列a n中，a 1=1，a n+1+an=3+2 n，求 an的通项公式。解： a n+1+an=3+2 n，
11、a n+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得 an+2-an=2 因此得，a 2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), a n= 。是 偶 数是 奇 数,2注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。(4) f(n)为非等差数列，非等比数列例 16.（07 天津卷理）在数列 中， ，其中na111()2()nnnaN，0（）求数列 的通项公式；na解：由 ， ，11(2)()nN0可得 ，1nnaa所以 为等差数列，其公差为 1，首项为 0，故 ，所以数列2nn 21nna的通项公式为 na(1)2nna这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项
12、公式。九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例 17.（2002 年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ，*),0(NnxAn01x， 是线段 的中点， 是线段 的中点， 是线段)0(2ax3A21432nA的中点，1nA（1） 写出 与 之间的关系式（ ） 。nx21,nn（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。a321,ana（3） 略解析：（1） 是线段 的中点， nA32n )3(21xnn（2） ，axa0121= ，21232xxaax21)(2= ，32343 4)(
13、23猜想 ，下面用数学归纳法证明*)()1(Nnan当 n=1 时， 显然成立；01假设 n=k 时命题成立，即2 *)()21(Nkak则 n=k+1 时， =kkk xxa121 kkax21)(21= ak)()(1 当 n=k+1 时命题也成立， 命题对任意 都成立。*Nn例 18：在数列 中， ，则 的表达式为 。na1,2211ann分析：因为 ，所以得： ，,1n 5,4,32a猜想： 。十、倒数法数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出0),(1nnaf ,1na.,1nna再 求 得例 19设数列 满足 求n,21a),N(31nan .na解：原条件变形为 两边同乘以 得 .311nn ,1n13na 112,)23nnnnaa（ .综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.
