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1、关于费马小定理与反证法的讨论摘要:在运用费马小定理解题时运用反证法，往往可以在我们正面无法解决一些无穷数和无穷数列的时候事半功倍.同时我们在这次研究中学会数学竞赛里费马小定理的运用，加深对费马小定理的理解.引 言反证法，在数学证明中有着举足轻重的作用，在费马小定理中又是数论中一个重要的定理，尤其是在解决高阶及其应用时费马小定理可以解决他们的同系性。而二者结合在一起，就意味着：在利用费马小定理证明题目时，反证法是一个很好的突破口.1.关于费马小定理的证明费马小定理是数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理，中国剩余定理和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个
2、特殊情况当是 质数时，对任意与互质的整数 ，我们易知 等数一pa,23,(1)apa定会与 等数对模 而言同余，因此 等数的乘1,23,(1) p积一定会与 等数的乘积对模 同余： 23(1)23(1)aap 1!modpp由于 与 互质，我们可将上式左右两边的 消去而得(1)!p ()!1()pa2.反证法的作用我们都知道：反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。就像某个数学家曾说的：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾” 。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛，肯定了命题的结论，从而使命题
3、获得了证明。而在运用费马小定理解题时运用反证法，往往可以在我们正面无法解决一些无穷数和无穷数列的时候事半功倍.3.利用反证法与费马小定理的技巧在证明同系性时，从正面突破往往很困难，由此我们常常从背后突击。例如：有一个数列 求与此数列的每一项都,=236,12,3nnna且互知的所有正整数这题的答案是不存在这样的数。若想得到结论，从数的性质去找这样的数几乎不可能，所以我们就用反证法来说明不存在这样的数。解：假设存在这样的数 m,使得 m 与 都与这列数互质，则数 m 中必存在质数 p，使得 均互质。na与故： , (,)1,(2),(3)1,(6)pp1 112mododod326(od)p p
4、pp，226()0()pp|,am矛 盾 不 存 在 亦 不 存 在注：在这个题目中，我们的方法是假设存在数 m，从而得到 m 中的质数 P,根据性质推出 从而利用“凑数”的方法1112(mod),3(od),6(od)ppp来简要说明与已知条件矛盾，这是一种非常典型的证明方式， “凑数”为矛盾的提出提供了便利.接下来我们将用一道题的多解性来表现反证法的这种巧妙性。例：设 ,证明1n|(21)n分析：很明显，我们无法直接利用已知定理证明，只能用反证法。证法一：假设存在 ,使 那对于 n 的任一个素因子 p，有1n|(2)n3设 2 模 p 的阶为 r，显然 1(mod)(od)nnp由 得 ：
5、而由费马小定理得： 12m|,(1)|(,1)rnprnp因 此 从 而若我们记 p 为 n 的最小素因子，那么 (,1),npr矛 盾不 存 在其实这个解法的要点在于有 n 的最小素因子，并且刻画了一个 n 的最小素因子，这使得后面 作为充分铺垫。而在同系式中，对于 n(,1)npr推 出的任一素因子 P 均可成立，这就是说明 P 的一般性，从而利于刻画最小素因子P。这样的方法也是在竞赛中比较常见的.若我们考虑在 的基础上不用阶，是否也可以解决呢？(,1)np接下来就是证法二了而我们小组联系曾经做过的一道题，发现在已知 后1n1|(2)|(2)p和不用阶也可以做。证明二：引理： (,)(1,
6、|1mnmnaa令 ,则必存在 u，v 使得，因为 那么必有)dmunvd和(,|(mnu(,)|()nnva(,)1|,1,)|(1),(,|mnmunvda a必 有 即 ：假设存在 n1,使 那对于 n 的任一个素因子 p，有|2n 3由费马小定理已知： 且已知 ，1()pn1|(2)(,1)故 1n,|(2,),| ,p n得 ： 从 而 得 矛 盾而当我们把 r 设为 2 模 m 的阶时 3，又发现 ， (mod)r(od)n|rn这也与 相似，那么这样就可以无限递推下去，从而(od)r1(od)n说明不存在 n 了证明三：假设有 n1,使 ，则 n 为奇数，设 r 为 2 模 n 的阶，故可得21(od)n， 一定 那么在 r 的基21(mod)r|r1,1,r且 即础之上我们可以找到无穷多个 且必有(,2)i |()1iri i且显然这是不可能的，所以不存在 n感想：通过这次我们对费马小定理的研究提升我们自身的数学修养，我们感受到了数学世界的神奇。同时我们在这次研究中学会数学竞赛里费马小定理的运用，加深对费马小定理的理解.参考文献:奥林匹克数学小丛书数论世界名题选百度文库
