有关实数完备性相关定理等价性的的研

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1、11关于实数完备性相关定理等价性的研究摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环” 。关键词：实数集 完备性 基本定理 等价性 证明Research about the equivalence theorems

2、 of completeness of real numbersAbstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven relat

3、ed about supremum and form a ideal proof “loop”.Key words: set of real numbers， completeness， fundamental theorem，equivalence， proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆

4、盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。1 实数完备性相关定理的论证且对于任意 ，只要 就有 一般的，考察数集 中的元素的无限xS1,x01.。 1nS小数表示中第 n 位小数的数字，令它们中的最大者为 ，并记 n显然 也不为空集，并且对于任意 ,只1 nnSxx并 且 的 第 位 小 数 为 。 SxS要 ，就有 不断的做下去，我们得到一列非空数集012. 。，和一列数 ，满足01nS 012,n ;,2,9kZkN 。令 01=+.,n 2令 下面我们分两步证明 就是 S 的上确界。012=+.,n （1） 设 S，则或者存在整数 ，使得 ，或者对任何整数 有 .

5、00nx0nnxS若 ，便有 ；0nx0012.nx若 ，由 的定义并逐个比较 x 与 的整数部分及每一位小数，Nn即知 ，所以对任意的 ，有 ，即 是数集 S 的上界。xx(2)对于任意给定的 ，只要将自然数 取得充分大，便有 ，取 ，则00n01n0nxS与 的整数部分及前 位的小数是相同的，所以 ，即任何小于 的0xn0x数 不是数集 S 的上界。即 是数集 S 的上确界。同理可证非空有下界的数集必有下确界。1.2 确界存在定理证明单调有界定理单调有界定理：间调有界实数列必有极限。单调有界定理还可描述为：若 R 是单调增加的有界数列，则必有极限，nx且 。limsupnnx若 R 是单调

6、减少的有界数列，则必有极限，且 。liminfnx若 R 是一单调增加的无界数列，则规定 = ,否则若 R 是一nx li单调减少的无界数列，则规定 = ,limnx证明：设数列 是单调增加的，即 ，且 M，使得 M, nx12nx ixi=1,2, 。 是非空的有界实数集，由确界存在定理知， 有上确界，记 n为 ： = 。由上确界的等价定义 1 知， ，i=1,2, ,有supnNx iix成立；并且对 , N，使得 ,故当 nN 时，由 的单增性ix0Nnx知： ， ，即 ，由极限的定义Nnxnxnx得： 。limnsup若 是单调下降的，可用上面类似的方法证明。x3且有 sup = =i

7、nf ， ，n=1,2, ，即 属于所有的闭区间nanbnnab 。,nb若 也属于所有的闭区间 ，则同样可得： ，n=1,2, ，当,nabnnab时，由极限的夹逼性得， ，由此即说明了区间套的公limlinn共点是惟一的。1.4 区间套定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理：设 H 为闭区间 ba,的一个（无限）开覆盖，则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 ,。证明：（反证法）假设定理的结论不成立，即不能用 H 中有限个开覆盖 ba,将ba,等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为 )(21, 111 babab且则再将 1,等分为两个子区间，同样

8、，其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为 22,ba则 )(2,21abb且 重复上述步 骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列 nba,，它满足n,1,nn=1,2,3, 0)(2abb即 na,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆盖。由区间套定理， 唯一的一点 nba,，n=1,2， 由于 H 是 ba,的一个开覆盖，故存在开区间 Hb,设 于是，存在 n,当 n 充分大时,有,nb这表明 na只须用 H 中的一个开区间 ,就能覆盖，与挑选a时的假设“不能用 H 中有限个开区间来覆盖 ”相矛盾，从而证明必存在属于 H 的有限个开区间能覆盖

9、 n,1.5 有限覆盖定理证明聚点定理聚点定义：设 S 为数轴上的点集， 为定点（它属于 S，也可不属于 S） ，若的任何邻域内都含有 S 中无穷多个点，则称 为点集 S 的一个聚点。同时聚点同时具有下述定义：定义 1：对于点集 S，若点 的任何 邻域内都含有 S 中异于 的 点，即s),(，则称 为 S 的聚点定义 2：若存在各项互异的收敛数列 nx,则其极限nxlim称为 S 的一个聚点。聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S 至少有一个聚点4证： 因 S 为有限点集，故存在 M0，使得 S MbaM,1记现将 1,ba等分为两个区间，因 S 为无限点集，故两个点集中至少有一个含有S 中无

10、穷多个点，记此子集为 212212 ,)(, abba再 将且则 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为 )(, 23323ba且则如此下去，得到一区间列 nba,且满足 )(021, 21 nMnnn 即 ba是区间套，且其中每一个区间都含有 S 中无穷多个点又区间套定理 唯一的一点 ,1,ban于是有论：对 ),(,)(,0 从 而时 有当 Nn 内含有 S 中无穷多个点，按定义 2， S为 的一个聚点。1.6 聚点定理证明致密性定理致密性定理：任何有界数列必有收敛的子序列。证明：不妨设x n是有界数列，(1)若 ，且 在x n中出现无限

11、次，则由这些项构成的数列就是xx n的一个收敛子列，其极限就是 ；(2)若任何一个数在x n中至多出次有限次，于是x n中无穷多个互不相同的项。从而由这无穷多个互不相同的子项构成了子集就是有界无穷点集，由聚点定理知必存在聚点 ，由聚点的定义知，其任意邻域内都含有无穷多项，现考察它的 邻域，首先在 中取一项，记作 ，又因为在(;1)U(1,)1x中含x n中的无穷多项，故可在其中下标大于 的一项，记作12(, n，当 取定之后中，同样由于在 中仍含nx1,)kk1(,)kk有x n的无穷多项，故可取下标大于 的一项，记作 ，从而得kn1x，从而由极限的定义得， ， 为 的收敛1,2kk limk

12、nknnx子序列。1.7 致密性定理证明柯西收敛准则柯西收敛准则：数列x n R 收敛的充要条件是： 0， NN +, n,mN有|x nxm| 0， NN +, n,mN有|x nxm| 0， N, n,mN 时，有|x na|n 时有 = = ( )，由此可见数mnmnba12n列 是基本列，由柯西收敛准则知实数列 收敛，不妨设 。nb limnbM下证 M 即是 S 的上确界：() , ，都有 x ,而 M 是 的极限且 是单调减少的，xNnbnbnx M，即 M 是 S 的一个上界；()对 由条件(2)知 0，故 ，使得012lim()li()nnaa0，而 M， 。由条件(3)知 中

13、有 S 的0nbanb0b,nb6点（至少 ） ，从而由上确界的等价定义 2 知，M 是 S 的上确界。0nas同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界” 。至此我们已经证明了实数的几个重要定理的等价性，并且得出确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则是等价的。这对论证其他一些定理和结论的证明会有很大的帮助。致谢1 陈纪修，於崇华，金路.数学分析M.北京：高等教育出版社，2006.2 华东师范大学数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社，2003.3 崔宝同. 数学分析的理论与方法M. 北京：科学技术文献出版社,1990,94-107.4 胡雁军，李育生,邓聚成等.数学分析中的证题方法与难题选解M.河南大学出版社,1987.8,153-160.5 汪林.数学分析问题研究与评注M.北京：科学出版社,1995,38-42.6 葛显良. 应用泛函分析M. 浙江大学出版社,2002.6,11-14.