第十二讲数值代入法(讲义)

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1、第十二讲 数学问题常用方法（一）数值代入法有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响，这时就可以采用“数值代入法” ，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算） ，然后求出解答。例 1 如果，那么（ ）个。【分析与解】 ：由第一个等式可以设 3， 2，代入第二式得 5，再代入第三式左边是12，号内应填 4。 （说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。 ）练习 11. 已知，问（ ）个。【分析与解】 ： =2， =3， =9，

2、=4。号内应填 4 2. 五个人比较身高，甲比乙高 3 厘米，乙比丙矮 7 厘米，丙比丁高 10 厘米，丁比戊矮 5 厘米，甲与戊谁高，高几厘米？【分析与解】 ：假设戊是 100 厘米高，则丁是 95 厘米，丙是 105 厘米，乙是 98 厘米，甲是 101厘米高。故甲高，高 1 厘米。3. 甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运 60 吨到乙仓库，从乙仓库运 45 吨到丙仓库，从丙仓库运 55 吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？多多少？【分析与解】 ：假设甲、乙、丙三个仓库原来各有 100 吨，可推出这时甲有 95 吨，乙有 115 吨，丙有 90 吨。故乙仓最多，丙仓最

3、少，例 2 足球赛门票 15 元 / 张，降价后观众增加一倍，收入增加51 。一张门票降价多少元？【分析与解】 ：初看似乎缺少观众人数这个条件， 实际上观众人数与答案无关。因为降价前后观众人数存在倍数关系，收入也存在比例关系，所以可以使用数值代入法。我们随意假设观众人数，为了方便，假设原来只有一个观众。由此可得，收入 15 元，那么降价后有两个观众，收入为 15（ 1+51 ） =18（元） ，则降价后每张票价为 9 元，每张票降价 15-9 6（元） 。练习 2 1. 某班一次考试，平均分为 70 分，其中 34 及格，及格的同学平均分为 80 分，那么不及格的同学平均分是多少分？【分析与解

4、】 ：设考试总人数为 4 人， 70 4 80 3 40（分）2. 游泳池里参加游泳的学生中，小学生占 30，又来了一批学生后，学生总数增加了 20，小学生占学生总数的 40，小学生增加百分之几？【分析与解】 ：设游泳池里原有学生总数是 100 人。 【 （ 100+20） 40 30】 30 60例 3 小王在一个山坡来回运动。先从山下跑上山每分钟跑 200 米，再从原路下山每分钟跑240 米，又从原路上山每分钟跑 150 米，再从原路下山，每分钟跑 200 米，求小王的平均速度。【分析与解】 ：题中四个速度的最小公倍数是 1200，设一个单程是 1200 米。则（ 1）四个单程的和： 12

5、00 4 4800（米） 。 （ 2）四个单程的时间分别是： 1200 200 6（分） 、 1200 240 5（分） 、 1200 150 8（分） 、 1200 200 6（分） 。 （ 3）小王的平均速度为： 4800（ 6+5+8+6） 192（米）练习 3 1. 小华上山的速度是每小时 3 千米，下山的速度是每小时 6 千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。【分析与解】 ：假设一个单程是 12 千米， 12 2（ 12 3+12 6） 4（千米）2. 张师傅骑自行车往返 A、 B 两地。去时每小时行 15 千米，返回时因逆风，每小时只行 10 千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时

6、多少千米？【分析与解】 ：假设一个单程为 30 千米， 30 2（ 30 15+30 10） 12（千米）3. 小王骑摩托车往返 A、 B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小时行 42 千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？【分析与解】 ：假设一个单程为 336 千米， 336（ 336 2 48 336 42） 56（千米）例 4 某幼儿园中班的小朋友平均身高 115 厘米， 其中男孩人数比女孩人数多51 ， 女孩比男孩平均身高高 10%，这个班女孩平均身高为多少？【分析与解】 ：题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有 5 人，则男孩有 6 人。这时总身高为：

7、115（ 5 6） 1265（厘米） 。由于女孩平均身高是男孩的 110%=1011 ，反过来男孩身高是女孩身高的1110 ，所以 6 个男孩的身高相当于 61110 个女孩的身高。女孩的平均身高为：1265（ 5+61110 ） =121（厘米）练习 4 1. 某班男生人数是女生的 23 ，男生平均身高为 138 厘米，全班平均身高为 132 厘米。问：女生平均身高是多少厘米？【分析与解】 ：设全班共有 5 人， （ 132 5 138 2） 3 128（厘米）2. 某班男生人数是女生的 45 ，女生的平均身高比男生高 15，全班的平均身高是 130 厘米，求男、女生的平均身高各是多少？【分

8、析与解】 ：设女生有 5 人，男生有 4 人，男生的身高为单位 1，则女生的身高为（ 1+15）男： 130（ 4+5）【 4+5（ 1+15） 】 120（厘米）女： 120（ 1+15） 138（厘米）3. 一个长方形每边增加 10，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？【分析与解】 ：假设长方形边长为 1，周长增加 (1+10%) 4 1 4（ 1 4） 10，面积增加 （ 1+10）（ 1+10） 1 1（ 1 1） 21例 5 狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？【分析与解】 ：马跑

9、一步的距离不知道，跑 3 步的时间也不知道，可取具体数值，并不影响解题结果。设马跑一步为 7，则狗跑一步为 4，再设马跑 3 步的时间为 1，则狗跑 5 步的时间为 1，推知狗的速度为 20，马的速度为 21。那么， 20【 30（ 21 20） 】 600（米）练习 5 1. 猎狗前面 26 步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑 8 步的时间狗只跑 5 步，但兔跑 9 步的距离仅等于狗跑 4 步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？【分析与解】 ： （解法一 )设兔的步长为 1，则狗的步长为 94 ，兔跑一步的时间为 1，则狗跑一步的时间为 85 ， 26 94 （ 94 85 1） 144（步）

10、。 （解法二） 设狗的步长为 1， 则兔的步长是 49 ，设兔跑一步的时间为 1，则狗跑一步的时间为 85 ， 26（ 1 85 49 ） 144（步）2. 猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时间兔子跑3 步，猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追到它？【分析与解】 ：设狗的步长为 7，则兔的步长为 4，再设过跑 2 步的时间为 1，则兔跑 3 步的时间也为 1，推出狗的速度是 14，兔的速度是 12， 12【 40（ 14 12） 】 240（米）3. 狗和兔同时从 A 地跑向 B 地，狗跑 3 步的距离等于兔跑

11、5 步的距离，而狗跑 2 步的时间等于兔跑 3 步的时间，狗跑 600 步到达 B 地，这时兔还要跑多少步才能到达 B 地？【分析与解】 ：设狗的步长为 1，狗跑一步的时间也为 1， 600 53 600 32 100（步）例 6 甲、 乙分别由 A， B 两地同时出发， 甲、 乙两人步行的速度比是 7 5。 如果相向而行，那么 0.5 时后相遇；如果按从 A 到 B 的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？【分析与解】 ： 设甲、 乙的速度分别为 7 千米 / 时和 5 千米 / 时， 则 A， B两地相距 （ 7+5） 0.5=6（千米） 。同向而行，甲追上乙需要 65（ 7 5） =3

12、（时） 。需要说明的是， A， B 两地的距离并不一定是 6 千米， 6 千米是根据假设甲、乙的速度分别为 7 千米 / 时和 5 千米 / 时而计算出来的。 假设不同的速度，会得出不同的距离，因为假设的速度与计算出的距离成正比，所求的时间是“距离速度差” ，所以不影响结论的正确性。练习 61. 五年级三个班的人数相等， 一班的男生人数与二班女生人数相等， 三班的男生人数是全部男生人数的52 ，求全部女生人数占全年级人数的几分之几？【分析】 ：由“三个班人数相等，一班男生数与二班女生数相等”知，一班女生数等于二班男生数，因此一、二班男生人数的和都可表示每个班的人数。又知三班的男生人数是全部男生

13、人数的52 ，如果我们给一、二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值，那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和（即每班人数） ，问题就迎刃而解了。【解】 ： 设三班男生人数为 20 人， 则全部男生人数为 20 52 =50（ 人） ， 每个班人数为 50 （ 1- 52 ）=30（人） ，全部男生人数占总年级人数的 50（ 3 30） =95 ，则女生占 1-95 =94在上面的例题中，将假设的数值代入解题过程，便得到正确答案。对于这类题目，假设不同的数值，都会得到相同的答案。还有一类题目，也可以使用数值代入法，但因为题中涉及的量不仅仅是倍数关系，所以假设的数不同，结果就不

14、同，需要通过比较所得结果与已知结果来修正假设的数，从而得出正确解答。例 7 用绳子测量井深，把绳三折来量，井外余 4 米；把绳四折来量，井外余 1 米。求井深和绳长。【分析与解】 ： 由题意可知， 三折后的绳子比四折后的绳子多 4-1=3（米） 。 假设这根绳长 12 米，那么三折后的绳长比四折后的绳长长 12 3-12 4=1（米） 。因为这个差数是实际差数（ 3 米）的31 ， 所以假设绳长数师实际绳长数的31 ， 实际绳长为： 1231 =36（米） ， 井深 =36 4-1=8（米） 。练习 7 1. 甲车从 A 地到 B 地需行 6 时，乙车从 B 地到 A 地需行 10 时。现在甲

15、、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，相遇时甲车比乙车多行 90 千米，求 A， B 两地的距离。【分析与解】 ：假设 A， B 相距 30 千米（既是 6 的倍数又是 10 的倍数） ，那么甲车的速度为30 6=5（千米 / 时） ， 乙车的速度为 30 10=3（千米 / 时） ， 两车相遇需 30 （ 5 3） =3.75（时） ，相遇时甲车比乙车多行 （ 5-3 ） 3.75=2 3.75=7.5 （千米） 。 题目条件 “甲车比乙车多行 90 千米”是 7.5 千米的 90 7.5= 12 （倍） ，说明 A， B 两地距离是假设的 30 千米的 12 倍，即 30 12=360（千米） 。