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1、1绝密使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。第卷（选择题 共 140 分）一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 集合 ，则 =203,9PxZMxZPMI(A) 1,2 (B) 0,1,2 (C)1,2,3 (D)0,1,2,3在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段
2、AB 的中点，则点 C 对应的复数是（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是（A） (B) （C） (D)4532515若 a,b 是非零向量，且 ， ，则函数 是ab()()fxabx（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：(6)给定函数 ， ， ， ，期中在区间12yx12log()x|1|yx12xy（0，
3、1）上单调递减的函数序号是2（A） （B） （C） （D）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为 1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A） ； （B）2sincos2sin3cos（C） （D）3121（8）如图，正方体 的棱长为 2，1BCD-A动点 E、F 在棱 上。点 Q 是 CD 的中点，动点1P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， E=y(x,y 大于零)，1则三棱锥 P-EFQ 的体积：（A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关；（C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关；第卷（共 1
4、10 分）二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分（9）已知函数 右图表示的是给2log,.xy定 x 的值，求其对应的函数值 y 的程序框图，处应填写 ；处应填写 。（10）在 中。若 ， ， ，则 a= 。ABC1b3c2（11）若点 p（m，3）到直线 的距离为 4，且点 p 在不等式 340xy2xy表示的平面区域内，则 m= 。（12）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。由图中数据可知 a= 。若要从身高在120，130，130，140，140，150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参加一项
5、活动，则从身高在140，150内的学生中选取的人数应为 。（13）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，21xyab2159xy那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。3（14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则 的最小正周期为 ；()f()f在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为 。说明：“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在 x 轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续
6、，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。三、 解答：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）已知函数 2()cosinfxx（）求 的值；3（）求 的最大值和最小值()fx（16） （本小题共 13 分）已知 为等差数列，且 ， 。|na36a0（）求 的通项公式；|（）若等差数列 满足 ， ，求 的前 n 项和公式|nb182123ba|b（17） （本小题共 13 分）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB= ,CE=EF=12（）求证：AF/平面 BDE；（）求证：
7、CF平面 BDF;(18) （本小题共 14 分）设定函数 ，且方程 的两个根分别为32()(0)afxbxcda()90fx1，4。（）当 a=3 且曲线 过原点时，求 的解析式；()yf()f（）若 在 无极值点，求 a 的取值范围。()fx,（19） （本小题共 14 分）已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线(2,0)(,)634椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。（）求椭圆 C 的方程；（）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标；（）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 变化时，求 y 的最大值。（20） （本小题共 13
8、 分）已知集合 对于121|(,),0,2()n nSXxin， ，定义 A 与 B 的差为12(,)AaBbS12|,|);nBaA 与 B 之间的距离为 1()|idAab（）当 n=5 时，设 ，求 ， ；0,(,0)BAB(,)d（）证明： ，且 ;,nnCSS有 ,)dC() 证明： 三个数中至少有一个是偶数,(),()ABdA5绝密使用完毕前2010 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文） （北京卷）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） B C D A C B A C二、提空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 12x2logyx -3
9、 0.030 3 ( ) 4 4,030三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（共 13 分）解：（） =2()2cosin33f14（） 1)(cos)xxx2cs,R因为 ,所以，当 时 取最大值 2；当 时，oxcs1x()fxcos0x去最小值-1。()f（共 13 分）解：（）设等差数列 的公差 。nad因为 36,0所以 解得125ad10,2ad所以 0()nn（）设等比数列 的公比为bq因为 21234,8ab所以 即 =38q所以 的前 项和公式为nb1()4(3)nnnqS6（共 13 分）证明：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG
10、= AG=112所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AFEG因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE,所以 AF平面 BDE（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE.(18)(共 14 分)解：由 得 32(afxbxcd2()fxabxc因为 的两个根分别为 1,4，所以 2)990f29016836abc（*）（
11、）当 时，又由（*）式得3a26810bc解得 ,12bc又因为曲线 过原点，所以()yfxd故 32()fx（）由于 a0,所以“ 在（-，+）内无极值点”等价于“32()afxbxc在（-，+）内恒成立” 。2()0fxabc由（*）式得 。95,4a7又 2()49(1)bac解 得0()01,9a即 的取值范围a1,9（19） （共 14 分）解：（）因为 ，且 ，所以63ca2c23,1abc所以椭圆 C 的方程为21xy（）由题意知 (0,)pt由 得213ytx23(1)xt所以圆 P 的半径为 2()t解得 所以点 P 的坐标是（0， ）2t32（）由（）知，圆 P 的方程 。
12、因为点 在圆 P 上。所以22()(1)xytt(,)Qxy23(1)31yttxt设 ，则cos,0,2()cos3in2si()6t 当 ，即 ，且 ， 取最大值 2.32txy(20)(共 13 分)（）解： =（1,0,1,0,1）(01,01)AB=3,) 0d()证明：设 121212(,),(,),(,)nnnaBbCcS因为 ，所以,0bai从而 12(,)nnABS8由题意知 ,0,1(,2)iiabcin当 时，iciiicab当 时，1i ()1ii iiiab所以 1(,),nidACBabdAB()证明：设 21212(,),(,),(,)nnnbCcS(,),)dkldCh记 由（）可知0nS(,)(,)(0,),ABABkdCdlh所以 中 1 的个数为 k, 中 1 的个数为(2)iban (,2)icanl设 是使 成立的 的个数。则tiicihlkt由此可知， 三个数不可能都是奇数,klh即 三个数中至少有一个是偶数。()(,)dABCd
