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1、 1 质点的角动量 2 质点的角动量定理 3 对轴的角动量和力矩 4 质点的角动量守恒定律 5 质点系的角动量问题第五章角动量 1 质点的角动量设 t 时刻质点相对于 O点的位矢为rK质点的动量 pm=G Kv质点 对定点 O的角动量z 角动量的大小：vKKKKKmrprL =sin sinLrp mr = = vz 角动量的方向：右手定则判定z 同一质点的运动对不同参考点的角动量不相同，在说明质点的角动量时， 必须指明固定参考点。质点作 匀速 直线运动时，质点的角动量保持不变。质点绕圆心 O作圆周运动rpG G2Lrprmvmr= = 若为 匀速 圆周运动，质点 对圆心 的角动量为 恒量 。
2、sinLmvr mvd= =d为固定点到运动直线的垂直距离。质点沿虚线作直线运动质点 对圆心 的角动量大小为OrGpGLG对某固定点 o的角动量大小两边对时间求导vKKKmrL =vvKKKKKmtrtmrtL+=ddd)d(dddL dprrFdt dt= =KGKKK 2 质点的角动量定理0drvvvdt =KKKK由角动量的定义FrMKKK=作用力 对参考点 O的 力矩FKrKMKdmOFKz大小： sinM Fr Fd=力臂 d：作用力线到参考点 O的垂直距离z同一力对不同参考点的力矩不同。ddLMt=KG质点所受的 合力矩 等于角动量对时间的变化率积分形式质点的角动量定理LtMKKd
3、d =质点所受的 冲量矩 等于质点角动量的增量。角动量定理中，力矩与角动量针对 同一 参考点()dr mrFdt=KKKKv1221d LLtMttKKK=仅适用于惯性系，固定参考点必须在惯性系中。力矩对时间的积累 改变了角动量。判断题：#T1501.质点作圆周运动必定受到力矩的作用；质点作直线运动必定不受力矩作用。判断题：质点作匀速圆周运动合力对圆心的力矩为 0；质点作匀速直线运动合力对任一点的力矩为 0#T1502.两人一前一后抬箱子上楼梯，哪种情况后面的人受力最小？选择题：#S1501.ddLMt=KG质点的角动量定理dd d, , ddyx zxyzLL LMMMttt=直角坐标系中+
4、x y zM Mi M j Mk=+GGG G+x y zL Li L j Lk=+GGG Gdd dd+dd d dyx zLL LLi j ktt t t=+KGG G角动量定理的分量形式：合力矩在某个方向上的分量等于该方向上的角动量分量对时间的变化率。 3 对轴的角动量和力矩在直角坐标系中, 角动量 的分量形式,x y zrxiyj zk p p i p j pk=+ = + +G GG GGGGG()()()zy xz yxxyzL yp zp i zp xp j xp yp kLi L j Lk= + +=+GGG GGGGx yzijkL rp x y zp pp=GG GGGGx
5、zyL yp zp= zyxLxpyp= y xzLzpxp= ()()( )zyx xyL kxpypkxiyjpipj= =+G GG GGG()xyrxiyjzkrzk= +=+G GGG()x y zxy zppipjpkppk=+=+G GGGzxy xyxy xyL kr prmv=GG GG GxyzorGoxyrGzrGpGxypGzpGxyzoo角动量在 z轴方向的分量就是对 z轴 的角动量对轴的角动量 =对轴上 任一点 的角动量在轴上的投影在直角坐标系中, 力矩 的分量形式,xyzrxiyjzkFFiFjFk=+ = + +G GGG GGGGx yzijkM rF x y
6、 zFFF=GG GGGGxzyM yF zF= yxzM zF xF= xyzyFxFM =ddzzLMt=对轴的角动量定理zxyxyLk r p=GG Gzxy xyM kr F=GGG对 z轴的角动量对 z轴的力矩角动量定理的分量形式：判断题：力 F与 z轴平行，所以力矩为 0力 F与 z轴垂直，所以力矩不为 0#T1503.选择题：一个人沿着水平圆周转一个系在绳子上的网球(所以旋转轴是竖直的 )。如图，网球沿着前进的方向受到猛烈的打击，由此引起的角动量变化 L的方向是沿着 x方向 y方向 z方向#S1502.选择题：一个人沿着水平圆周转一个系在绳子上的网球(所以旋转轴是竖直的 )。如图
7、，网球受到垂直向下方向的猛烈击打，击打后，旋转轴向哪个方向倾斜？ +x方向 -x方向 +y方向 -y方向 保持不变 (但是角动量的大小改变了 ) 网球向各个方向摇晃#S1503.若质点所受的 合力矩 为零，即恒矢量 vmrLKKK角动量守恒的条件0M rF= =K KK恒矢量： 大小、方向都不变 4 质点的角动量守恒定律0=MK如果对于某一固定点 O，质点所受的合力矩为零，则此质点 对该定点 的角动量保持不变。ddLMt=KGoFKa) 质点所受的合力为零：匀速直线运动b) 力作用在固定点上， r = 0c) r与 F平行或者反平行合力为有心力时，质点对力心的角动量守恒质点 对轴 的角动量守恒
8、定律： 如果质点所受的力对轴的合力矩为零，则质点 对该轴 的角动量保持不变。tLMzzdd=由质点对轴的角动量定理：当某一方向上的合力矩分量 为零时，则该方向的角动量 分量守恒。0 0 0 xxyyzzM LconstM LconstM Lconst= =角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它对宏观体系、微观体系，高速、低速运动均适用。角动量守恒定律与固定参考点的选择有关。角动量守恒定律仅适用于惯性系。例： 摆球质量为 m的圆锥摆，以恒定速率 v 逆时针转动问 ： 1）对 O点，角动量是否守恒？2）对 C点，角动量是否守恒？3）对 OC轴，角动量是否守恒？解： 受力分析：重力、张力1）对 O
9、点sin( ) cos2TM rT rT rG=+=两力矩大小相等，方向相反，因此合力矩0GTMMM= +=KKK合角动量守恒 Lrmv= KK K方向向上TM rT=KKK张力矩： 沿速度反方向GM rG=重力矩：rCOmlvGLGGTF沿速度方向3）对 OC轴2）对 C点sinGGMlGMlG= =K KK0TMlT=KKKlTK K&sin 0GTMMMlG= += KKK合角动量不守恒0zM =角动量分量守恒沿速度方向TCOmGFlL lmv= G KGLGzLL对 C点M OCK合()rzmvrmvzmv=+ = +G GG G GrGlGzGvGzLrmv=GG GzL L= +G
10、 GvG选择题：左图，质量为 m的冰球以速度 v 撞击一个连接在长度为 r 的绳子一端的相同的冰球。碰撞后，系在绳子上的冰球绕着绳子一端旋转。右图，绳子的长度为 2r，重复上述实验。则系在绳上的冰球的速度是左图的： 两倍大小 相同大小 一半大小 以上答案都不对#S1504.左图，质量为 m的冰球以速度 v 撞击一个连接在长度为 r 的绳子一端的相同的冰球。碰撞后，系在绳子上的冰球绕着绳子一端旋转。右图，绳子的长度为 2r，重复上述实验。则系在绳上的冰球的角速度是左图的： 两倍大小 相同大小 一半大小 以上答案都不对选择题：#S1505.行星角动量守恒系统机械能守恒0M rF= =KKKrFKK
11、&11 2 2mv r mv r=22121211MmMmmv G mv Grr=1rK2rK1vK2vK行星运动问题行星在速度和有心力所在的平面内运动大小不变方向固定sin .mvr const =行星动量守恒吗？12vvKK0F K外FKmGLGvGr22112111mv mvMmGrr=222222mv mvMmGrr=12 =例: 证明开普勒第二行星运动定律sinLmvr =sinmrrt=Kdd21sin2mrrt=GddtSmdd2=2SLtm=dd.Sconstt=dd掠面速度不变sinr GdmGLGvGr例: 用角动量守恒定律解释天体系统的盘状结构00zLrmv=rmv=00
12、1vrvrr= 231vFmrr= 向 rFF向引FF=向引解释： 某星体 m在 z轴方向具有原始角动量随 r的减小，所需的 F向增加很快r减小到一定程度，使得但在 z轴方向却无这个限制，所以可以在引力的作用下沿 z向收缩，使星云形成了铁饼状。这是从角动量守恒的角度对星云具有盘形结构的一种粗略的解释。此时 r 就稳定不变了，引力不能再使 r减小vr0v0rzm星体所需的向心力脉冲星发射出精确的周期性信号。原因是发射体定向发射并以严格的 周期 在旋转，每当射电束扫过地球，我们就收到一个脉冲。对于固体的星球，其形状大体不变，在不受外力矩的情况下角动量守恒就意味着它们的角速度守恒。地球，月球都如此。
13、例： 星球的自转周期恒定2.Lrm const const= =()()iii iiii iM rF rf=+ GG GGGtLMiiddGG=ii 5 质点系的角动量问题1. 质点系的角动量定理ij jif fG G,如图，考虑一对内力 的力矩和iijj jirf rf +G GGG()i j ijrr f= GG G()i j ijrr fGG G&() 0ij ijrr f =GGG质点系内力力矩的矢量和为 0()iiiiiM MrF= GG GG外外()iiiiiLL rP= =G GGGmimjrjrifjifijrirjFjFiOtLMddGG=外质点系的角动量定理系统总角动量随时
14、间的变化率等于 外力矩之和内力矩只改变各质点角动量的分配，不能改变系统的 总 角动量外力矩之和合外力的力矩各质点 的力矩与角动量均针对 同一固定参考点()ii irF r F GGGG()()gii iiiM r m gk mr gk= = G GGGG重力矩oxyzcrGkmgG()ccmr gk r mgk= = G GGG判断题：大小相同，方向相反的两个力对同一轴的力矩之和一定为 0#T1504.() 0i ij j ji i j ijrf rf rr f + = =G GGG GGG()0iijji j irFrFrr F +=G GG GGGGmimjrjrifjifijrirjFjFiO0const.vectorML= =KK外若 对于某固定点 而言，质点系所受的 外力矩之和 为零，则质点系对该点的总角动量不随时间改变。质点系角动量守恒定律质点系的 角动量守恒 和质点系的 动量守恒
