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1、课时提升作业 (二十四)空间向量运算的坐标表示(30 分钟50 分)一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b= 平行,则 等于()A. B. C.- D.-【解析】选 C.因为 ab,所以 = ,所以 =- .2.已知 a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则 b 等于 ()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)【解析】选 B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(
2、0,0,0),令 a= ,b=,则 a+b 等于( )A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2) D.(5,-9,-2)【解析】选 B. =(-1,0,-2)=a, =(-4,9,0)=b,所以 a+b=(-5,9,-2).3.(2014临沂高二检测)已知 A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面 ABC 内的点是()A.(2,3,1) B.(1,-1,2)C.(1,2,1) D.(1,0,3)【解析】选 D. =x +y =(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解4.(2
3、014杭州高二检测)已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)(2a-b),则()A.x= ,y=1 B.x= ,y=-4C.x=2,y=- D.x=1,y=-1【解析】选 B.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)(2 a-b),所以 所以5.(2014南宁高二检测)已知向量 =(2,-2,3),向量 =(x,1-y,4z),且平行四边形 OACB 对角线的中点坐标为 ,则(x,y,z)=()A.(-2,-4,-1) B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1) D.(2,-4,-1)【解析】选 A.由条件(2,-2,3
4、)+(x,1-y,4z)=2 ,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以【变式训练】以棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐标为()A. B.C. D.【解析】选 B.连接 AB1和 A1B 交于点 O.据题意知 AB1与 A1B 的交点即为 AB1的中点.由题意得 A(0,0,0),B1(1,0,1),所以 AB1的中点坐标为 .6.已知 a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则m,
5、n 的值分别为()A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2【解析】选 A.由 c=ma+nb+(4,-4,1),得 c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为 c 与 a 及 b 都垂直,所以得 ca= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,cb=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即 m=-1,n=2.【变式训练】若 a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+b )a,则实数 的值为()A.-1 B.0 C.1 D.-2【解析】选 D.a+b=(,1+,-1).由(a+b) a
6、,知(a+ b)a=0,所以 1+1=0,解得 =-2.二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)7.(2014启东高二检测)与 a=(2,-1,2)共线且满足 ax=-18 的向量 x=.【解析】设 x=(x,y,z),由题 意得解得 x=-4,y=2,z=-4.所以 x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知 A(0,2,4),B(5,1,3),在 x 轴上有一点 P,使| |=| |,则 P 点坐标为.【解析】设 P(x,0,0),则| |= = ,| |= = ,所以 x2+20=x2-10x+35,解得 x= .所以点 P 坐标为 .答案 :【举一反三】本题条件“在 x
7、 轴上有一点 P”改为“在 y 轴上有一点 P”,结果如何?【解析】设 P(0,y,0),则| |= = ,| |= = ,所以 y2-4y+20=y2-2y+35,解得 y=- .所以点 P 坐标为 .9.(2014长春高二检测)已知 a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b -a|的最小值为.【解析】b- a=(1+t,1-t,t),|b-a|= = .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.设正四棱锥 S-P1P2P3P4的所有棱长均为 2,建立适当的空间直角坐标系,求 ,的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中 O 为底面正方形的中心,P 1P2y 轴,
8、P 1P4x轴,SO 在 z 轴上.因为|P 1P2|=2,而 P1,P2,P3,P4均在 xOy 平面上,所以 P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在 xOy 平面内,P 3与 P1关于原点 O 对称,P 4与 P2关于原点 O 对称,所以 P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又|SP 1|=2,|OP1|= ,所以在 RtSOP 1中,|SO|= ,所以 S(0,0, ).所以 =(1,1,- ),=(0,-2,0).11.(2014福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是 ,点 D 在平面 yOz 上,且BDC=90,
9、DCB=30.(1)求向量 的坐标.(2)设向量 和 的夹角为 ,求 cos 的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点 D 的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量 和 的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过 D 作 DEBC,垂足为 E,在 RtBDC 中,由BDC=90,DCB=30,BC=2,得 BD=1,CD= .所以 DE=CDsin30= .OE=OB-BDcos60=1- = ,所以 D 点坐标为 ,即向量 的坐标为 .(2)依题意: = ,=(0,-1,0), =(0,1,0).所以 = - = ,= - =(0,2,0).由于向量 和 的夹角为 ,则cos= =- .所以
10、 cos=- .(30 分钟50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.(2014黄山高二检测)已知空间三点 A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与 的夹角 的大小是()A.60B.120C.30D.150【解析】选 B.因为 =(-2,-1,3), =(-1,3,-2),所以 cos= =- ,又 01 80,所以 =120.2.(2014泰安高二检测)设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C的距离|CM|的值为()A. B. C. D.【解析】选 C.由向量加减运算法则得 = ( + )= (3,2,1)+
11、(1,-1,5) =,故|CM|= = .3.空间三点 A(1,1,0),B(0,1,0),C ,下列向量中,与平面 ABC 垂直的向量是()A.(1,0,1) B.(0,1,1)C.(1,0,-1) D.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选 B. =(-1,0,0), = , = ,与平面 ABC 垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项 A 中的向量(1,0,1)(-1,0,0)=-10,不合题意;选项 B 中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项 C 中的向量(1,0,-1)(-1,0,0)=-10,
12、不合题意;选项 D 中的向量(1,1,0)(-1,0,0)=-10,不合题意,故选 B.4.(2014长沙高二检测)若向量 a=(1,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 等于()A.2 B.-2C.-2 或 D.2 或-【解析】选 C.由 cos= = = = ,A得 54-9=24 ,即为 55 2+108-4=0,=-2 或 = .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.已知点 A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若 =2 ,则| |的值是.【解析】设点 P(x,y,z),则由 =2 ,得(x+1,y-3,z- 1)=2(-1-x,
13、3-y,4-z),则 解得即 P(-1,3,3),则| |= = =2 .答案:26.已知点 A(+1,-1,3),B(2,-2),C(+3,-3,9)三点共线,则实数 +=.【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建立 , 的等量关系.【解析】因为 =(-1,1,-2-3), =(2,-2,6),若 A,B,C 三点共线,则 ,即 =- = ,解得 =0, =0,所以 +=0.答案:0三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求ABC 的面积.(2)求ABC 中
14、 AB 边上的高.【解析】(1)由已知得 =(1,-3,2), =(2,0,-8),所以| |= = ,| |= =2 , =12+(-3)0+2(-8)=-14,cos= = = ,sin= = .所以 SABC = | | |sin= 2 =3 .(2)设 AB 边上的高为 CD,则| |= =3 .8.(2014银川高二检测)已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若 , ,求点 D 的坐标.(2)问是否存在实数 ,使得 = + 成立?若存在,求出 , 的值;若不存在,说明理 由.【解题指南】(1) 先设出点 D 的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点 D 坐标有关的等式.(2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若求出则存在,否则不存在.【解析】(1)设 D(x,y,z),则 =(-x,1-y,-z), =(-1,0,2), =(-x,-y,2-z), =(-1,1,0).因为 , ,所以解得 即 D(-1,1,2).(2)依题意 =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(0,-1,2).假设存在实数 ,使得 = + 成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以 故存在 =1,使得 = + 成立.
