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1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！第四课时 正弦定理、余弦定理（二）教学目标：熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.教学重点：正、余弦定理的综合运用.教学难点：1.正、余弦定理与三角形性质的结合；2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.教学过程：.复习回顾上一节课
2、，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容.讲授新课例 1在ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，求此三角形的三边长.分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中 sin2 利用正弦二倍角展开后出现了 cos，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.解：设三角形的三边长分别为 x，x1，x 2，其中 xN*，又设最小角为 ，则 ，cos xsin x 2si
3、n2 x 22sincos x 22x又由余弦定理可得x2（x1） 2（x 2） 2 2（x1） （x2）cos 将代入 整理得 x23x40解之得 x14，x 21（舍）所以此三角形三边长为 4，5，6.评述：（1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程；（2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视.例 2如图，在ABC 中，AB4 cm，AC 3 cm，角平分线 AD2 cm，求此三角形面积.分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式 SABC ABACsinA，需求出12sinA，而ABC
4、 面积可以转化为 SADCS ADB，而 SADC ACADsin ，S 12 A23eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ADB ABADsin ，因此通过 SABCS ADCS ADB 建立关于含有 sinA，sin 的方程，而12 A2 A2sinA2sin cos ，sin 2 cos 2 1，故 sinA 可求，从而三角形面积可求 .A2 A2 A A解：在ABC 中，S ABCS ADBS ADC， ABACsinA ACADsin ABADsin12 12 A2 12
5、A2 43sinA 32sin ，6sinA7sin12 12 A2 A212sin cos 7sinA2 A2 A2sin 0，cos ，又 0A ，0 A2 A2 712 A2 2sin ，A2 9512sinA2sin cos ，A2 A2 79572SABC 43sinA （cm 2）. 12 79512评述：面积等式的建立是求 sinA 的突破口，而 sinA 的求解则离不开对三角公式的熟悉 .由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系 sin2cos 21 时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.例 3已知三角形的一个角为 60，
6、面积为 10 cm2，周长为 20 cm，求此三角形的各3边长.分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知 60角的余弦，其二可用面积公式 SABC absinC 表示面积，其三是周长条件应用.12解：设三角形的三边长分别为 a、b、c，B60 ，则依题意得 b2 a2 c2 ac ac 40 a b c 20 )由式得 b2 20（ac） 2400a 2c 22ac40（ac） 将代入 得 4003ac 40（ac）0
7、再将 代入得 ac13由 ，解得 或ac 40a c 13) a1 5c1 8) a2 8c2 5)b1 7， b27所以，此三角形三边长分别为 5 cm，7 cm，8 cm.3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用；（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.例 4在ABC 中，AB5，AC 3，D 为 BC 中点，且 A
8、D4，求 BC 边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设 BC 为 x 后，建立关于 x 的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为BC 中点，所以 BD、DC 可表示为 ，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.x2解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BDDC ，x2在ADB 中，cosADB AD2 BD2 AB22ADBD在ADC 中，cosADC AD2 DC2 AC22ADDC又ADBADC 180cosADBcos（180 ADC）cosADC. 解得，x2所以，BC 边长为 2.评述：此
9、题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.另外，对于本节的例 2，也可考虑上述性质的应用来求解 sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得 ，设 BD5k，DC3k ，则由互补角ABAC BDDC 53ADC、ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出 BC 后，再结合余弦定理求出 cosA，再由同角平方关系求出 sinA.为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.课堂练习1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25，求此三角形三边长的乘积.解：设ABC 三边为 a，b，c.则 SABC acsinB12 SA
10、BCabc acsinB2abc sinB2b又 2R，其中 R 为三角形外接圆半径bsinB SABCabc 14R3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！abc4RS ABC410.251所以三角形三边长的乘积为 1.评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理： 2R，其asinA bsinB csinC中 R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式 SABC acsinB 发生联系，对 abc12进行整体求解.2.在ABC 中，已知角 B45，D 是 BC 边
11、上一点，AD5，AC7，DC3，求 AB.解：在ADC 中，cosC ，AC2 DC2 AD22ACDC 72 32 52273 1114又 0C180 ，sinC5314在ABC 中， ACsinB ABsinCAB AC 7 .sinCsinB 5314 2 562评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.3.在ABC 中，已知 cosA ，sinB ，求 cosC 的值.35 513解： cosA cos45，0A35 2245A90，sinA45sinB sin30，0B513 120B30或 150B180若 B150，则 BA1
12、80与题意不符.0B30 cosB 1213cos（AB）cosA cosBsin AsinB 351213 45 513 1665又 C180（ AB）.cosC cos180（AB） cos（AB） .1665评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！.课时小结通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角
13、形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力.课后作业1在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别为 .答案：2，3，42已知方程 a（1x 2）2bxc （1x 2）0 没有实数根，如果 a、b、c 是 ABC 的三条边的长，求证ABC 是钝角三角形.备课资料1.正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得sin2Asin 2Bsin 2C2sin BsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明
14、之.例 1在ABC 中，已知 sin2Bsin 2Csin 2A sinAsinC，求 B 的度数.3解：由定理得sin2Bsin 2Asin 2C2sin AsinCcosB 2sinAsinCcosB sinAsinC3sinAsinC0，cosB32B 150例 2求 sin210cos 240 sin10cos40的值.解：原式sin 210sin 250 sin10sin50在 sin2Asin 2Bsin 2C2sinBsin CcosA 中，令 B10，C 50 ，则 A120.sin2120sin 210sin 2502sin10sin50cos120sin 210sin 250sin10sin50 （ ） 2 .32 34例 3在ABC 中，已知 2cosBsinCsinA，试判定 ABC 的形状.解：在原等式两边同乘以 sinA 得 2cosBsinAsinCsin 2A，由定理得 sin2Asin 2Csin 2Bsin 2A，
