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1、数学分析（三）试卷 1一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分）1 叙述含参变量反常积分 一致收敛的 Cauchy 收敛原理。adxyf),(2 叙述 Green 公式的内容及意义。3 叙述 n 重积分的概念。二 计算题（每小题 10 分，共 50 分）1计算积分 ，其中 C 为椭圆 ，沿逆时针方向。CyxdI2431322yx2已知 其中 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求 关),(zf ),(vuf z于 的二阶偏导数。yx,3求椭球体 的体积。122cbya4若 为右半单位圆周，求 。llds|5计算含参变量积分 ( )的值。02)co1n( )( dxaI 1三 讨论题（每小题
2、10 分，共 20 分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分 021xadI在每一个固定的 处的一致收敛性。a2 讨论函数 的连续性，其中 在 上是正的连续函数。yxfyF102)( )( )(f1,0答案一 叙述题（每小题 10 分，共 30 分）1. 含参变量反常积分 关于 在 上一致收敛的充要条件为：对于任意adxyf),(,dc给定的 ， 存在与 无关的正数 ， 使得对于任意的 ，00A0,A成立。, ,),(cydxfA2. Green 公式：设 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果D函数 在 上具有连续偏导数
3、，那么),(,QP，DDdxyPQdyx)(其中 取正向，即诱导正向。Green 公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。3设 为 上的零边界区域，函数 在 上有界。将 用曲面网分成 个小区nR)(xfun域 （称为 的一个分划） ，记 为 的体积，并记所有的小区n,.21 iVi域 的最大直径为 。在每个 上任取一点 ，若 趋于零时，和式i i ixiniixfI1)(的极限存在且与区域的分法和点 的取法无关，则称 在 上可积，并称此极限为i )(xf在有界闭区域 上的 重积分，记为)(xfn。iniiVPffdVI10)(lm二 计算题（每小题 10 分，共 5
4、0 分）1. 解 令 则,sin2 ,cos3 : tytxl.3)sin(co634422022 dttxddIlC2. 解 令 则, ,yzvxu ,xzu,v,yzxu.1zv， .vff vff故 ,22222 xvfxfufxufz ,22222 yfyffyf ,222 vxfxvfuxfxufyz即 .2 22222 2222 xzvfxzvfxzufxzuf fvfffxz .1 22222 2222 yzvfyzfzxufyzxuf ffffyz xfxfxfxfz222.1 2 22 yzxvf yzvfyzzufuf3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再
5、乘以 8 即可。作广义极坐标变换 （ ） 。sin ,cosbryarx20 , ,0rba这时椭球面化为。222 1)sin()co(1rcbaz 又，abrrbayxrDxr cossini),(于是 drDyxrzdxzVy xy),(,),(81 rabcrc1021022 1022)(dab。abcrc6)321023所以椭球体积。V44 解 的方程为： 。由 ，l 0,12xyxyxddds 22符号的选取应保证 ，在圆弧段 上，由于 ，故0AC0xyxs而在圆弧段 上，由于 ，故CBdyxs所以 dxydICBACl 1。201x5 解 。当 时，由于0)cosln( )( da
6、aI 1，22ax2)(0故 为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。)cos21ln(2x 02cos1 )(dxaaI 021 022cos)( 1xada022s1 )(0xtgarcta。2于是，当 时， （常数） 。但是， ，故 ，从而 。1aCI)( 0)(IC0)(aI三 讨论题（每小题 10 分，共 20 分）1 解 设 为任一不为零的数，不妨设 。取 ，使 。下面证明积0 0a0分 在 内一致收敛。事实上，当 时，由于I),(a),(a，210xa20)(x且积分 dx020)(收敛，故由 Weierstrass 判别法知积分 a021在 内一致收敛，从而在 点一致收
7、敛。由 的任意性知积分 在每一),(0a 0aI个 处一致收敛。下面说明积分 在 非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域 有：I0 ),(，有0A。)0(11202atdxaaA由于，02201limtdtaA故取 ，在 中必存在某一个 ，使有20),(a，|2aAt即 |1|20Axd因此，积分 在 点的任何邻域 内非一致收敛，从而积分 在 时非一I0a),(I0a致收敛。2解 当 时，被积函数是连续的。因此， 为连续函数。y )(yF当 时，显然有 。00)(F当 时，设 为 在 上的最小值，则 。由于ymxf1,0myarctgdxyy1)(02及，21lim0yarctgy故有。0)(li0Fy所以， 当 时不连续。)(yF
