数学分析函数极限

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1、数学分析教案第三章 函数极限 引言在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限” ，第二部分是“函数的极限” 。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果” 。例如，数列 这种变量即是研究当 时，nan的变化趋势。na我们知道，从函数角度看，数列 可视为一种特殊的函数 ，其定义域为 ，值域是 ，即nafNna; 或 或 .:()fNR(),nfaN()na研究数列 的极限，即是研究当自变量 时，函数 变化趋势。naf

2、此处函数 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即 。但是，()f 如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 ，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量 x 可能的变xR化趋势是否了仅限于 一种呢？x为此，考虑下列函数: 1,0;().fx类似于数列，可考虑自变量 时， 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 时，xf x的变化趋势；还可考虑自变量 时， 的变化趋势；还可考虑自变量 时， 的变()fx ()x a()f化趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限

3、的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。1函数极限的概念一、 时函数的极限x引言设函数定义在 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 时，对应的函数值能否无限地,)a x接近于某个定数。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。例如 无限增大时， 无限地接近于； 无限增大时， 无限1(),fx()fx(),garct()fx地接近于 ； 无限增大时， 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑2h时， 的变化趋势。我们把象 ， 这样当 时，对应函数值无限地接近于某个x()fx()fxx数学分析教案定数的函数称为“当 时有极限”

4、 。x问题如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当 时函数极限的精确定义如下.x2. 时函数极限的定义x定义设 为定义在 上的函数，为实数。若对任给的 ，存在正数 ，使得当f,)a 0()a时有 , 则称函数 当 时以为极限。记作M|()|Afx或 .lim()xA()fx几点注记（） 定义中作用 与数列极限中 作用相同，衡量 与的接近程度，正数的作用与数()f列极限定义中相类似，表明 充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数 ，而不仅仅是x x正整数 n。（） 的邻域描述： 当 时，lim()xfA,(),U()x();).fUA（） 的几何意义：对 ，就有 和 两条直线，形成以为中yA

5、y心线，以 为宽的带形区域。 “当 时有 ”表示：在直线 的右方，曲线2xM|()|fxxM全部落在这个带形区域内。()yfx如果 给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线 一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数，使得曲线 在 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。()yfx（） 现记 为定义在 或 上的函数，当 或 时，若函数值 能无fU()x()fx限地接近于常数，则称 当 或 时时以为极限，分别记作，fx或 ，lim()xA()x或 。ff这两种函数极限的精确定义与定义相仿，简写如下：当 时， ，li()xf0,Mx|()|fxA当 时， 。mA|（）推论：设 为定义在 上的函数，

6、则()fx()U。lixflilimxxffA利用 的定义验证极限等式举例()例证明 .1li0x数学分析教案例证明） ；） .lim2xarctglim2xarctg二、 时函数的极限0x引言上节讨论的函数 当 时的极限，是假定 为定义在 上的函数，这事实上是 ，fxf,)a()U即 为定义在 上，考虑 时 是否趋于某个定数。f()U()fx本节假定 为定义在点 的某个空心邻域 内的函数， 。现在讨论当 时，对应f0x0U0()xx的函数值能否趋于某个定数数列。先看下面几个例子：例 .（ 是定义在 上的函数，当 时， ）()1)fx(fx0()0x()1fx例 .（ 是定义在 上的函数，当

7、时， ）24ff02U24f例 .（ 是定义在 上的函数，当 时， ）1()fx()fx0()0x()?fx由上述例子可见，对有些函数，当 时，对应的函数值 能趋于某个定数；但对0x有些函数却无此性质。所以有必要来研究当 时， 的变化趋势。0()()fx我们称上述的第一类函数 为当 时以为极限，记作 。()fx0x0limxfA和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量 越来越接近于 时，函数值 越来越接近于一个定数” 只要 充分接近 ，函x0x()fx x0数值 和的相差就会相当小 欲使 相当小，只要 充

8、分接近 就可以了。即对()f |Ax0，当 时，都有 。此即 。0,0|x|()|fx0lim()xfA 时函数极限的 定义0()x定义设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义，为定数，若对任给的fx00;Ux，使得当 时有 ，则称函数 当 趋于 时以为极限,()|x|()|fAfx0（或称为 时 的极限） ，记作 或（ .0x()fx0limx0()fx 说明如何用 定义来验证这种类型的函数极限函数极限的 定义的几点说明：（） 是结论， 是条件，即由 推出。|()|fxA0|x0|x数学分析教案（） 是表示函数 与的接近程度的。为了说明函数 在 的过程中，能够任意地()fx ()fx0接近于，

9、 必须是任意的。这即 的第一个特性任意性，即 是变量；但 一经给定之后，暂时就把 看作是不变的了。以便通过 寻找 ，使得当 时 成立。这即0|()|fxA的第二特性暂时固定性。即在寻找 的过程中 是常量；另外，若 是任意正数，则 均为任意正数，均可扮演 的角色。也即 的第三个特性多值性；（2, ）|()|fxA|()|fxA(3) 是表示 与 的接近程度，它相当于数列极限的 定义中的。它的第一个特性是相应性。0 N即对给定的 ，都有一个 与之对应，所以 是依赖于 而适当选取的，为此记之为 ； 0(;)x一般说来， 越小， 越小。但是，定义中是要求由 推出 即可，故若0|x|()|fxA满足此要

10、求，则 等等比 还小的正数均可满足要求，因此 不是唯一的。这即 的第二个特,23性多值性。（）在定义中，只要求函数 在 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 在 处的函数值是否f0x f0x存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 趋于 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑 在点 a 的函数值是否存在，或取何值，因而限f定“ ”。0|x（）定义中的不等式 ； 。从而0|x0(,)xU|(|();)fxAfxUA定义 ，当 时，都有 ，使得,0(,);)0,。0(,)(;)fUxA（） 定义的几何意义。例 设 ，证明 .24()fx2lim()4x

11、f例 设 ，讨论 时 的极限。10)f0fx例 证明） ；） .0lisnix 00licosxx例 证明 .21lim3x例 证明 .0220lixx(|1)数学分析教案例 证明 .00lim,lixxC练习：）证明 ; ）证明 .31lix65limx三、单侧极限引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 21,0()xf或函数在某些点仅在其一侧有定义，如。2(),fx这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法） ，而要从这些点的某一侧来讨论。如讨论 在 时的极限。要在 的左右两侧分别讨论。即1()fx00x当 而趋于时，应按 来考察函数值

12、的变化趋势；当 而趋于时，应按0x21()f来考察函数值的变化趋势；而对 ，只能在点 的右侧，即 而趋于时来考1()f2()fxxx察。为此，引进“单侧极限”的概念。单侧极限的定义定义 设函数 在 内有定义，为定数。若对任给的 ，使得当f0(;)Ux 0,()时有 , 则称数为函数 当 趋于 时的右极限，记作00x|)|Afx0或 或 。0lim(xf0()fx()A类似可给出左极限定义（ ， ， 或 或0;00limxf 0()fxx）.0()fxA注：右极限与左极限统称为单侧极限。例子例讨论函数 在 的左、右极限。1()fx0例讨论 在 的左、右极限。sgn例讨论函数 在 处的单侧极限。2。函数极限 与 的关系。0lim()xf00li(),lim()xxff定理. .000li()xAfA注：）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知： 。还可说明某些函数极10lim()xf数学分析教案限不存在，如由例知 不存在。） ， ， 可能毫无关系，如例0limsgnx0()fx0()fx0(fx。