数学一模汇编代数综合题

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1、 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 12012 年北京市中考数学一模分类汇编代数综合题方程存在整数根问题1 （顺义）已知关于 x 的方程 032)1(kxk（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于 y 的方程 的整数根2(4)10aky（ 为正整数） a解：（1）= 24()3kk= 281= 1 分方程有两个不相等的实数根， 即 0,.k0,2.k 的取值范围是 且 3 分31（2）当方程有两个相等的实数根时，= = 812k0 4 分3关于 y 的方程为 2(6)10ay2(6)4(1)a34263a83由 a 为正整数，

2、当 是完全平方数时，方程才有可能有整数根28设 （其中 m 为整数） ， （ 、 均为整数） ，2()pqA 即 ()3a(8)()32am不妨设 两式相加，得 ,8.q 16pqa 与 的奇偶性相同，()()32 可分解为 ， ， ， ，21648(216)(48) 或 或 或 p 或 或 （不合题意，舍去）或 7a当 时，方程的两根为 ，即 ， 5 分172y1y29当 时，方程的两根为 ，即 ， 6 分483当 时， 方程的两根为 ，即 ， 7 分2a4y1y22 （昌平）已知关于 x 的方程（ k+1） x2+(3k-1)x+2k-2=0（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数

3、根，求正整数 k 的值；（3）若抛物线 y=（ k+1） x2+(3k-1)x+2k-2 与 x 轴的两个交点之间的距离为 3，求 k 的值 解：（1）当 时，方程 =0 为一元一次方程，此方程有一个实数根；14 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 2当 时，方程 =0 是一元二次方程，1k2(1)(3)2kxk=（3 k-1） 2-4(k+1)(2k-2)=（ k-3） 2（ k-3） 20，即0， k 为除-1 外的任意实数时，此方程总有两个实数根 2 分综上，无论 k 取任意实数，方程总有实数根（2） ， x1=-1， x2= 13()x4k 方程的两个根是整数根，且 k 为

4、正整数， 当 k=1 时，方程的两根为-1，0；当 k=3 时，方程的两根为-1，-1 k=1，3 4 分（3） 抛物线 y=（ k+1） x2+(3k-1)x+2k-2 与 x 轴两个交点之间的距离为 3， =3，或 =312x21当 =3 时， =-3；当 =3 时， k=01 21综上， k=0，-3 6 分3 （怀柔）已知：关于 的方程 .x()()20ax（1） a 取何整数值时，关于 的方程 的根都是整数；2ax（2）若抛物线 y= 的对称轴为 x=1，顶点为 M，当 k 为何值时，2(1)0一次函数 的图象必过点 M.3kx解：（1） 当 时，即 时，原方程变为 . 方程的解为

5、0aa20；1 分 x当 时，原方程为一元二次方程 .(1)()ax. 22 24(1)4()3bcA， 解得 .3 分 ()3ax12,x 方程 的根都是整数.2()0xa只需 为整数1 当 时，即 a=2 或 a=0 时， x=1 或 x=2；4 分a当 时，即 a=3 或 a=1 时， x=1 或 x=1；5 分2 a 取 0，1，1，2，3 时，方程 的根都是整数6 分()()20x（2）抛物线 y= 的对称轴为 x=1，() ， .ba13顶点坐标为 M（1， ）.8把 M 点坐标代入一次函数 中，则 7 分ykx4.k 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 3当 时，一次

6、函数 的图象必过点 M.4k13ykx图象的平移、翻折问题4. （西城）已知关于 x 的一元二次方程 的一个实数根为 2 210xpq(1) 用含 p 的代数式表示 q； (2) 求证：抛物线 与 x 轴有两个交点； 2yp(3) 设抛物线 的顶点为 M，与 y 轴的交点为 E，抛物线1顶点为 N，与 y 轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求2yxpqp 的值 解：（1） 关于 x 的一元二次方程 的一个实数根为 2，2 10xpq 1 分2 10q整理，得 2 分5p（2） ，22 24(5)8(4)无论 p 取任何实数，都有 0，2 无论 p 取任何实数，都有 2()0p

7、 3 分0 抛物线 与 x 轴有两个交点 4 分2yxq（3） 抛物线 与抛物线1p21yxpq的对称轴相同，都为直线 ，且开口大小相同，2抛物线 可由抛物线2yxq21沿 y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图 5 所示，省略了 x 轴、 y 轴） EF MN， EF=MN=1 四边形 FEMN 是平行四边形 5 分由题意得 2FEMNpS四 边 形解得 7 分4p5 （丰台）已知：关于 x 的一元二次方程： .2240xm（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线 与 x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等224ym时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在

8、x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形 C1,将图形 C1向右平移一个单位,得到图形 C2，当直线 (b0） 。（1）求：点 A、点 B 的坐标（含 m 的式子表示） ；（2）若 OB=4AO，点 D 是线段 OC（不与点 O、点 C 重合）上一动点，在线段 OD 的右侧作正方形 ODEF,连接 CE、 BE，设线段 OD=t， CEB 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 7解： （1） A(1,0)、2 分（写对一个给 1 分） ；（2）m=1(或解析式)3 分当 0t2 时，S=

9、8-4t5 分（各 1 分）当 2t4 时，S=4t-87 分（各 1 分）10 （通州）已知二次函数 248yxa（1）求证：无论 a 为任何实数，二次函数的图象与 x 轴总有两个交点.（2）当 x2 时，函数值 随 的增大而减小，求 的取值范围.（3）以二次函数 图象的顶点 为一个顶点作该二次函数图象的内248yxaA接正三角形 （ M， N 两点在二次函数的图象上） ，请问 ： 的 面 积 是 与 a 无 关 的A MN定 值 吗 ？ 若 是 ， 请 求 出 这 个 定 值 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 . 解：（1） 16)2(431642 aa无论 a 为何实数 (1 分)

10、(20抛物线与 x 轴总有两个交点(2 分)（2） 82y(3 分)4)(a由题意得， （只写或=其一，不给分）(4 分)（3）解法一：以二次函数 图象的顶点 为一个顶点作842axyA该二次函数图象的内接正三角形 （ ， 两点在二次函数的图象上） ，AMN这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。二次函数 的图象可以看做是2ax二次函数 的图象通过平移得到的。y如图，正三角形 的面积等于正三角形 的面积.因此，与 a 的取值无关A点 在二次函数 的图象上,NM2xy， ， ，)0(),(2m),( ),0(2mB,B 3点 在 的图象上，xy2Am舍去3,0或 0.(5 分),2NM

11、B.(6 分)3211AAO xyxOBNAM 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 8正三角形 AMN 的面积是与 a 无关的定值,定值为 .(7 分)3解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知 轴，MNy设抛物线的对称轴与 交于点 ，则MNBA设 ),(nm()m又 =BAyna84284)22 aa2( )3()m3m .(5 分)BMA .(6 分)23121BSN正三角形 AMN 的面积是与 a 无关的定值.(7 分)11.（平谷）二次函数 与 ，这两个二次函数图2myx22myx象中的一条与 x 轴交于 A、 B 两个不同的点.（1）试判断哪个二次函数的图象经过 A、

12、B 两点（写出判断过程） ；（2）若 A 点坐标为（ ,0） ，求点 B 的坐标；1（3）在（2）的条件下，设点 C 是抛物线上的一点，且 ABC 的面积为 10，直接写出点 C的坐标解：令 ，2=0mx ，22211()40 函数 的图象与 x 轴不相交.1 分yx令 ，220m ，22 22()41()340m 函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点.yx 图象经过 A、 B 两点的二次函数为 .3 分22y（2）将 A（ ,0）代入 ，12xm整理，得 .20m解方程，得 .或当 m=0 时， .令 ，解得 .此时，点 B（1,0）.yx2112,x.4 分当 m=2 时， .令 ，2330xyxOBNAM 北京中考网 中国最大的教育门户网站 北京中考网 9解得 .此时，点 B（3,0）.5 分341,x（3）点 C 的坐标为： ； ； ； .7 分(1,0)(,1)(4,52,)方程、不等式与函数结合12 （房山）已知：关于 x 的方程 0322kx求证：方程 总有实数根；32k