厦门理工学院2014概率论与数理统计复习

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1、第一章 概率论的基本概念1、概率的定义和基本性质（1）概率的几种定义（2）概率的性质 ()0;P 逆事件的概率 ()1()PA 单调性； 设 是两个事件，且 则 且,AB,AB(),P()().PBA更一般地，若 是两个任意事件，则 故,B ,()()()()().PAPBAPBA 加法定理；若 是两个任意事件，则 , (.PB特别地，若 独立，则,B()(). 有限可加性； 若 个事件 满足 则n12,nA (),ijAij11()().nniiiPA2、条件概率（1） 定义； （其中 ）称为在事件 发生的条件下事件 发生()(|)PAB()0AB的条件概率，它本质上仍是事件 的概率。（2）

2、乘法公式； ()|()()(|).APB（3）基于条件概率的全概公式与贝叶斯公式； 若 是一个完备事件组，则12,n为全概公式。 【可以理解为 的发生是由 造成的】1()()|niiiPBA12,nA而 为贝叶斯公式；利用它可以求1()()|)(|) ,12,jjjj niiiBPAnB的条件概率。 【既然 的发生是由 造成的，那么各个 应该为此贡献jAB12,nA jA了多大（或该分摊多少责任）呢？】3、事件的独立性(1) 定义； 若 ，即事件 发生的概率与事件 的发生与否无()()|)PABPB A关，此为 相互独立；因此 相互独立,A,()().PB（2）独立事件的性质 若 相互独立，则

3、 与 ， 与 ， 与 都相互独立；,BABA 事件 相互独立，即其中任意 个事件相互独立；因此相互独12,n (2)kn立比两两相互独立结论更强，条件更苛刻，因为两两独立只是 的情形。2k【相互独立与互不相容的关系： 互不相容 ，故 ，,ABAB()(0P它们之间是不共戴天的，其中一个事件的发生对另外一事件有影响，因此不独立】考点：1 个填空题+3 个选择题+1 个计算题（全概公式或贝叶斯公式） （6 分）=18 分第二章 随机变量及其分布引进随机变量的目的是为了数量化刻画随机事件，根据随机变量离散或连续性，便有了离散与连续性分布。1、 随机变量的分布函数； 设 是随机变量， 是任意实数（可看

4、作相对固定的数） ，函Xx数 ()FxP称为 的分布函数。 【 即为数量化的事件，数轴上可表示为 左边的数集】XXx2、 性质；（参看课本）【离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，由分布函数的定义可知它右连续，即存在右连续的间断点；而连续性随机变量分布函数当然既左连续且右连续】3、 概率密度函数； 它反映的是事件平均在单位长度的概率大小，因此作为被积函数。【要求：熟练掌握离散性随机变量分布列，以及求连续性随机变量的分布函数或密度函数】4、 几个常见离散与连续性分布；（1）离散型：0-1 分布，二项分布，泊松分布 【泊松分布式二项分布的极限形式，即当很n大， 较小时，可用泊松分布近似二项分布】p（

5、2）连续型：均匀分布、指数分布、二项分布【鉴于连续型随机变量的分布函数用定积分描述，而表示 在 上围成的面积，因此应将概率与“面积”()()baPaXfxd()fx,ab对应起来考虑，这样更直观；不要将均匀分布 与正态分布 符号混淆】(,)U(,)Nab【另外：对于标准正态分布的分位点 ，其定义是 ，故zPXz，这与 分布的分位点查表法有区别】()1zPXz2,t5、 随机变量函数的概率分布（重难点）若 为随机变量，则 仍是随机变量，因此 的分布与 的分布是有联系的。()YgYX本节大家应掌握好分布函数法求诸如 等随2,|aXbeabY机变量的概率密度。 【看懂课本 3 个离散、3 个连续型分

6、布的分布律与分布函数，能求随机变量 的分布律或概率密度函数】()YgX考点：2 填空题+1 选择+1 计算题+1 证明题（4 分）=19 分第三章 多维随机变量及其分布1、 定义； 随机向量对应的分布函数便是多元函数，分离散型和连续型；2、边际分布； 即利用 的联合分布列或联合分布函数，求出关于 或(,)XY XY 的各自分布。3 机变量的独立性； 本节是第一章事件独立性的延续， 相互独立,AB故 用来定义 与 的独立性。()().PAB(,)()()PXxYyPXxYyXY与 的独立性用密度函数关系 来判断。XYff【参课本例】4、两个随机变量的函数的概率分布（重难点）【能求常见 作为新的随

7、机变量的分布】,max,in,YXY考点：计算题（9 分）第四章 随机变量的数字特征数学期望、方差的定义，性质应熟记，能算；常见 6 种分布的期望与方差熟记。数学期望是定义方差、协方差、矩的基础，要注意公式的灵活运用、各性质；会求协方差与相关系数。考点：2 填空题+1 选择+1 计算题（6 分）=15 分第五章 大数定律及中心极限定理大数定律和中心极限定理就是使用极限方法研究大量随机现象统计规律性的。 阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定律都称为大数定律。论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布的定理称为中心极限定理。（1） 大数定律表明，若随机变量 相互独立、同分布，则当 较大

8、时，12,nX n的数学期望可以被 的算术平均值 近似；【由于 仍然是kX, X()kfX随机变量，因此当 较大时 的数学期望 可以被n()kf()kEf的算术平均值近似，如： 可以被 近似，12(),()ffX 1nkii这就来源于辛钦大数定律，这一推论直接应用于第七章矩法点估计，鉴于算术平均值的稳定性，因此将它近似数学期望 】（2） 中心极限定理说明，具有数学期望 ，方差 的独立同分布()kEX2()kDX的随机变量之和 近似服从正态分布 。 【即，1niiX2(,)Nn，其标准化的随机变量 ，这一结论在后21(,)niiXNn (0,1)/X面的章节中应用广泛；另外，大家注意到，第六章三

9、个重要分布定义中的样本都来自于正态分布；其实，无论样本来自于什么总体，根据中心极限定理，其和仍近似服从正态分布】不难发现，本章结论实际上是数理统计的重要理论依据。考点： 1 选择=3 分第六章 数理统计的基本概念1、统计量实际上是 元随机变量的函数，可以看作是 元函数；几个常用统计量样本均nn值、样本方差、样本矩是比较有价值而常用的统计量。2、三个重要分布于抽样定理；统计量的分布称为抽样分布，本质上它们仍是多维随机变量函数的概率分布，鉴于是随机变量，因此 这三个统计量仍是随机变量，它们各自的概12,nX 2,tF率分布分别称为 分布、 分布、 分布；它们具有概率论中分布的性质。2t设 是来自于

10、 中的样本，则定义如下三个统计量：12,nX (0,1)N， ， 21)ii2()/Xttn2112()(,)nFFn（1） 对来自于单个正太总体 的 ，有如下结论：(,)12,nX ， (0,1)iXN21()niiX ， （总体 已知） ， （ 未知）2(,)n(0,)Nn(1)/XtnS ，而 （注意差别）221()(1)niiXSn21()niiXn【熟记，其用于区间估计】考点：1 填空题+1 选择=6 分第七、八章 参数估计与假设检验1、之所以将这两章放一起，就是因为它们都属于统计推断问题。参数的点估计就是估计总体的某未知参数，用关于 的函数（即统计量）表示出来，这个用于估计12,n

11、X的统计量便是估计量，将抽样观测值 代入估计量后，该值便是该参数的近似(,)x值。常用点估计方法有矩估计法与极大似然估计法。 2、 区间估计；估计出总体的某未知参数的可信范围，因此更具有实用性。（1） 对于单个正态总体，通常估计总体的期望与方差；比如，估计期望 的置信区间，就要考虑方差 是否已知，从而选取不同的估计量；【不用背置信区间，2而是要掌握其思想，能对照例题脱稿算算，记住第六章后面的那几个公式及结论】3、 假设检验（第八章）（1）两个对立假设 与 ，只有一个成立（客观上） ；但鉴于抽样检测具有随机性，0H1不可避免出现将客观上对的当成错的，但这种可能性是很小的，即犯错误为小概率事件。思

12、路：不妨先假设 正确， 错；那么检测中应该与此相符才对，退一步来讲，01的发生应该是小概率事件，而小概率事件在某个试验中往往是不会发生的，因此如1H果在抽样中（可当做一次特定试验） 发生，我们有理由拒绝假设 ；思路类似于1H0H反证法。如何利用合适统计量及选取拒绝域是关键。（2） 置信区间与拒绝域的关系在区间估计中称为置信水平，而 在假设检验中称为显著性水平（犯错误概率） ；1而拒绝域便是置信区间以外的区域，因此将抽样数据代入选取的统计量后，其值若没有落在置信区间中（即落在拒绝域中） ，便拒绝 ，改为接受 。 【理解好分位点的概念】0H1 估计或检验 的统计量为 或 ；(,)XZNn()/Xt

13、tnS 估计或检验 的统计量为 【 未知】222(1(1)S总之，要以课本为主，结合例题，理解其思想，只有把主要原理弄懂了，做题才会有效果；练习册上以填空选择题为主，加上上面提到的大题。考点：第七章 2 个计算题=18 分（点估计的两种方法，区间估计）第八章 1 个选择题+1 个计算题=12 分附：模拟练习一：【部分来自于历年考题】1袋中有 5 个乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 个，以 表示取X出的 3 个球中的最大编号，求 、 。 【4.5， 20.7】()EX()D2设总体 X 服从参数为的 的指数分布，其概率密度为 ，1,0,()xef其 它其中 是未知参数， 为总体

14、的一个样本，试求参数 的矩估012,nX X计量和极大似然估计量。【 ， 两种算法结果一样】X1nii3设随机变量 的密度函数为 ，且 求：01()2xfab其 他 37(0).28PX（1）常数 （2） （3） 的分布函数,ab1()2PXX()Fx【（1） ；（2）3/4 ; (3) 】,ab200.51()121xxF 4设随机变量 ， 互相独立，其概率密度分别为 ，XY ,01,()Xxfx其 它求：（1）常数 A； (2)随机变量 的概率密度。,0,()yYAef其 它 ZY【 ；1d()()ZXYfzxfz0 Za时 ,d()0()1()01,zxzfeebz时 】1() )zzZ

15、c时5为测定某种溶液中的甲醛浓度，取样得 4 个独立测定值，经计算得样本均值，样本标准差 。设被测总体近似服从正态分布，求总体均8.34%X0.3%s值 的 的置信区间。9（ ， ， ， ）0.25().1t0.25(4).76t0.5()2.34t0.5()2.138t【解：由题设， ， ； ， ；9n12 211 ()()SSPXtnXt置信下限： ，03834894.%.置信上限： ；因此所求的置信区间为12. .】082938.,.6某工厂生产的某型号的电池，其寿命（以 h 计）长期以来服从方差为的正态分布， 现有一批这种电池，从它的生产情况看，寿命的波动250性有所改变。现随机抽取 26 个电池，测出其寿命的样本方差为 。问290s根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性比以往有显著的变化（）？（ ， ， ，0.220.1(5)4.320.9(5)1.240.1(6)45.）