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1、概率论第 4 章习题参考解答1. 若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮, 命中 3 炮的概率, 至少命中 3 炮的概率, 最可能命中几炮.解: 设 为射击 10 炮命中的炮数 , 则 B(10,0.7), 命中 3 炮的概率为0.00907310.3CP至少命中 3 炮的概率, 为 1 减去命中不到 3 炮的概率, 为0.998420101.i iiiC因 np+p=100.7+0.7=7.7 不是整数, 因此最可能命中7.7=7 炮.2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为 0.01, 求生产 10 件产品中废品数不超过 2 个的概率.解: 设 为 10 件产品中的废品数 ,
2、则 B(10,0.01), 则废品数不超过 2 个的概率为0.9999201019.i iiiCP3. 某车间有 20 部同型号机床, 每部机床开动的概率为 0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为 15 个单位, 求这个车间消耗电能不少于 270 个单位的概率.解: 设每时刻机床开动的数目为 , 则 B(20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为 个单位, 则 =15 , 因此 2061.80857715271802 i iiiCPP4. 从一批废品率为 0.1 的产品中, 重复抽取 20 个进行检查, 求这 20 个产品中废品率不大于 0.15 的概率.解:
3、设这 20 个产品中的废品数为 , 则 B(20,0.1), 假设这 20 个产品中的废品率为 , 则 = /20. 因此=0.867302029.115.0215.0 i iiiCPP5. 生产某种产品的废品率为 0.1, 抽取 20 件产品, 初步检查已发现有 2 件废品, 问这20 件中, 废品不少于 3 件的概率.解: 设 为这 20 件产品中的废品数, 则 B(20,0.1), 又通过检查已经知道 定不少于 2 件的条件, 则要求的是条件概率 22|PP因事件 , 因此323因此5312.068.21 9.0129.02123|3 81020 20 CiPiPiPiPi iii ii
4、6. 抛掷 4 颗骰子, 为出现 1 点的骰子数目, 求 的概率分布, 分布函数, 以及出现1 点的骰子数目的最可能值.解: 因掷一次骰子出现一点的概率为 1/6, 则 B(4,1/6), 因此有410650)( ),432,(4444xCxFkkPxkkk或者算出具体的值如下所示： 0 1 2 3 4P 0.4823 0.3858 0.1157 0.0154 0.000841392.086.4)(xxxF从分布表可以看出最可能值为 0, 或者 np+p=(4/6)+1/6=5/6 小于 1 且不为整数, 因此最可能值为5/6=0.7. 事件 A 在每次试验中出现的概率为 0.3, 进行 19
5、 次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数.解: 设 19 次试验中事件 A 出现次数为 , 则 B(19,0.3), 因此(1) 的数学期望为 E =np=190.3=5.7方差为 D=np(1-p)=190.30.7=3.99标准差为 97.1.3D(2)因 np+p=5.7+0.3=6 为整数, 因此最可能值为 5 和 6.8. 已知随机变量 服从二项分布, E =12, D =8, 求 p 和 n. 解: 由 E =np=12 (1)和 D =np(1-p)=8 (2)由(1)得 n=12/p, 代入到(2)得12(1-p)=8, 解出 p=(12-8)
6、/12=1/3=0.3333代回到(1)式得 n=12/p=123=369. 某柜台上有 4 个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有 15 分钟时间使用台秤, 求一天 10 小时内, 平均有多少时间台秤不够用.解: 每个时刻构成一 n=4 的贝努里试验, 且 p=15/60=0.25, 因此, 设 为每个时刻要用秤的售货员数, 则 B(4, 0.25), 当 2 时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为0.05084342507.25.0)(CP因此 10 个小时内平均有 0.050810=0.508 个小时台秤不够用.10. 已知试验的成功率为 p, 进行 4
7、重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率.解: 设 为 4 次试验中的成功数, 则 B(4,p), 事件没有全部失败即事件 0, 而事件试验成功不止一次 即事件 1, 因此要求的是条件概率 P 1| 0, 又因事件 1被事件 0包含, 因此这两个事件的交仍然是 1, 因此4310110|qpPPP 其中 q=1-p11. 服从参数为 2,p 的二项分布, 已知 P( 1)=5/9, 那么成功率为 p 的 4 重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因 B(2,p), 则必有 , 解得9/5)1()01)( 23/1219/45)(2p则假设 为成功率为 1/
8、3 的 4 重贝努里试验的成功次数, B(4,1/3), 则802.16321)()0()( 44pP12. 一批产品 20 个中有 5 个废品, 任意抽取 4 个, 求废品数不多于 2 个的概率解: 设 为抽取 4 个中的废品数 , 则 服从超几何分布, 且有0.9682015iiC13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为 0.1, 从 1000 个产品中任意抽取 3 个, 求废品数为 1 的概率.解: 设任抽 3 个中的废品数为 , 则 服从超几何分布, 废品数为 0.11000
9、=1000.24351029CP而如果用二项分布近似计算, n=3, p=0.1, B(3,0.1)0.243023.近似误差为 0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52 张 )中发出 5 张, 求其中黑桃张数的概率分布 .解: 设 为发出的 5 张中黑桃的张数 , 则 服从超几何分布, 则)432,10(5213iCiPi则按上式计算出概率分布如下表所示: 0 1 2 3 4 5P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.000515. 从大批发芽率为 0.8 的种子中, 任取 10 粒, 求发芽粒数不小于 8 粒的概率.解: 设 为 10
10、粒种子中发芽的粒数 , 则 服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中 p=0.8, n=10, 则=0.6778108102.i iiiCP16. 一批产品的废品率为 0.001, 用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率, 以及不超过 2 件的概率.解: 设 为 800 件产品中的废品数 , 则 服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则 B(800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小 , 可以用普阿松分布近似, 参数为=np=8000.001=0.8 9526.0!8.2143.00.2iieP17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有
11、 0.8 个疵点, 若规定疵点数不超过 1 个为一等品, 价值 10 元, 疵点数大于 1 不多于 4 为二等品, 价值 8 元, 4 个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值.解: 设 为产品表面上的疵点数, 则 服从普哇松分布, =0.8, 设 为产品的价值, 是 的函数. 则产品为废品的概率为 014.!8.141440.iieP0.8088108.0!10iieP0.1898428.0!8ii则产品的平均价值为E = 10P=10+8P=8=100.8088+80.1898=9.6064(元)18. 一个合订本共 100 页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误
12、的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过 4 个的概率.解: 设 为每页上的印刷错误数目 , 则 服从普哇松分布, =2, 则 1 页印刷错误都不超过 4 个的概率为0.9473402!iieP而 100 页上的印刷错误都不超过 4 个的概率为0.00445410419. 某型号电子管的“寿命” 服从指数分布, 如果它的平均寿命 E =1000 小时, 写出 的概率密度, 并计算 P(1000600|500), 因此905.50650|6 1.0156ePP22. 若 服从具有 n 个自由度的 2-分布, 证明 的概率密度为002)(12xexxn称此分为为具有 n 个自由
13、度的 -分布证: 设 , 则因 的概率密度函数为0021)(21xenxx 的分布函数为 )0()()()()() 22 xxFPxPF对两边求导得 )(22)(2)( 122 22enenxx23. N(0,1), 求 P 0, P|3, P-13=1-0(3)=1-0.99865=0.00135P-113), P(|-10|2).解: 因为 )1,0( 682.01843.21)(120|10| .9.05.5.3 4319.05319.)(.1(.2100PP26. 若上题中已知 P|-10|c=0.95, Pd=0.0668, 分别求 c 和 d.解: 因为 , 则有)10(2N95.
14、01)2(|1| 0ccP解得 , 查表得 得 c=3.92975.02.)(0,6.再由 5.08.)210(1 ddPd知 因此,021 6)20(0即 ,93.68.)(查表得 , 解得51d71d27. 若 N(,2), 对于 P-k+k=0.90, 或 0.95, 或 0.99, 分别查表找出相应的 k值.解: 先求 P-k+k=0.90 对应的 k 值. 因 , 因此)10( 90.1)(2 0kPkk即 , 查表得 k=1.6495.02.1)(0同理, 由 , 查表得 k=1.967k由 , 查表得 k=2.57.)(028. 某批产品长度按 N(50, 0.252)分布, 求产品长度在 49.5cm 和 50.5cm 之间的概率, 长度小于 49.2cm 的概率.解: 设 为产品长度, 则 N(50, 0.252), 且有 , 则)10(5.N94.019725.01)2
