《3.2.1直线的方向向量与平面的法向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.2.1直线的方向向量与平面的法向量（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 立体几何中的向量方法3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量,自 学 导 引(学生用书P77) 1.会用向量表示空间中的点、直线和平面的位置.2.掌握用向量表示线、面之间的位置关系.,课 前 热 身(学生用书P77),1.直线的方向向量是指和这条直线_的向量,一条直线的方向向量有_个.2.平面的法向量是指和这个平面_的直线的_向量,一个平面的法向量有_个.,所对应的向量平行,无数,垂直,方向,无数,3.若直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面的法向量v=(a2,b2,c2).(1)l或luv_.(2)luv_.,uv=0,a1a2+b1b2+c1c2=0,u=kv,a1=ka2
2、,b1=kb2,c1=kc2,名 师 讲 解(学生用书P77),1.空间点、线、面的位置(1)在空间中,任取一个定点O为基点,那么空间任一点P的位置可由向量,来表示.,如图(1),(2)空间任一直线l的位置可由l上一个定点A以及一个方向来确定,如图(2),点Al,向量a表示直线l的方向向量,则对于直线l上的任意一点P,有,图(2),(3)空间中平面的位置可由内两条相交直线来确定,如图(3).设这两条直线相交于O点,它们的方向向量分别为a,b,P为平面上任意一点,由平面向量基本定理知,存在有序实数对(x,y),使得,图(3),2.利用空间向量解决立体几何问题的一般方法(1)先利用空间向量表示空间
3、点、直线、平面等元素,建立立体图形和空间向量的联系;(2)进行空间向量的运算;(3)由向量运算结果回归几何结论.,3.求平面的法向量的方法步骤(1)建立适当的坐标系;(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);(3)求出平面内两个不共线的向量a=(a1、b1、c1),b=(a2,b2,c2);,典 例 剖 析(学生用书P77),题型一 判断线与线、面与面的位置关系,例1:解答下列问题:(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系.a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);a=(5,0,2),b=(0,4,0);,(2)设u,v分别是平面、的法向量,根据下列条
4、件判断、的位置关系.,规律技巧:(1)直线的方向向量与直线位置关系间的内在联系是:l1l2ab,l1l2ab,据此可以判断两直线的位置关系.(2)平面法向量与两平面位置关系间的内在联系是:uv,uv,据此判断两平面的位置关系.,变式训练1:(1)直线l1、l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),判断直线l1与l2的位置关系;(2)已知平面、的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),判断与的位置关系.,题型二 判断直线与平面的位置关系,例2:设u是平面的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断和l的位置关系:(1)u=(2,2,-1),a=(-3,4
5、,2);(2)u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);(3)u=(4,1,5),a=(2,-1,0).,解:(1)u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),ua=2(-3)+24+(-1)2=0,ua,直线l和平面的位置关系是l或l.,规律技巧:直线方向向量与平面法向量的关系和直线与平面位置关系之间的内在联系是:l或lau,lau.,变式训练2:(1)若直线l的方向向量a=(3,2,1),平面的法向量u=(-1,2,-1),则l与的位置关系是( )A.l B.lC.l D.l或l,答案: D,(2)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为u=(-2,0,-4),则l与的位
6、置关系式( )A.l B.lC.l D.l与斜交,答案:B,(2)题型三 求平面的法向量例3:已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.,变式训练3:已知点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)在平面内,求平面的一个法向量.,题型四 共线向量的应用,答案:C,规律技巧:此题的关键是把长度关系式转化为向量等式,再坐标化.,变式训练4:空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3)则直线AB与CD的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定,答案:A,技 能 演 练(学生用
7、书P79),基础强化1.若n=(2,-3,1)是平面的一个法向量,则下列向量中能作为平面法向量的是( )A.(0,-3,1) B.(2,0,1)C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)答案:D,2.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若,则k=( )A.2 B.-4C.4 D.-2,答案:C,3.若平面与平面的法向量分别是a=(4,0,-2),与b=(1,0,2),则平面与平面的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.无法判定,答案:B,4.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )A.3
8、0 B.150C.30或150 D.以上均错答案:A,5.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于( )A.120 B.60C.30 D.以上均错答案:C,解析:如图所示,易知直线l与平面所成的角为30.,6.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( ),答案:D,7.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,则平面ACB1的一个法向量为_.,答案:(1,1,-1),8.若两个平面、的法向量分别等于u=(1,0,1),v=(-1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_.,答案:60,能力提升9.若直线a和b是两条异面直线,它们的方向向量分别是(1,1,1),和(2,-3,-2),求直线a和b的公垂线的一个方向向量.,10.如右图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DC=3,DD1=4,E是A1A的中点,求证:A1C平面BED.,品味高考11.(2008全国)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE、SD所成角的余弦值为( ),答案:C,解析:如图所示,以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标,O-xyz.,
