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1、-1-,第二章,矩阵理论基础,2.5 矩阵分块法,2.3 可逆矩阵,2.2 n阶(方阵的)行列式,2.1 矩阵的运算,2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形,2.6 线性方程组解的存在性定理.CRAMER法则,-2-,2.2 n阶(方阵的)行列式,主要内容:,一、行列式的定义,二、行列式的性质,三、行列式的展开定理,-3-,上两式相加求得(设分母不为零),同理可求得,用消元法求解,引例:,一、行列式的定义,-4-,定义二阶行列式:,则,-5-,三阶行列式,按某种运算规则得到的一个数记为,定义,设由9个数排成的3行3列的数表,-6-,说明:,共3!=6项,正负项各占半,每项均为三个元素乘积,(不同行
2、不同列),例求多项式,解：,-7-,问空间解析中的三个向量,是否共面？,由高等数学,三个向量共面的充要条件是混合积为零。,所以它们不共面，即异面。,例,-8-,把二阶行列式与三阶行列式加以推广得,应有,不同列元素的乘积,定义1,设有,排成,作出不同行不同列的,并冠以符号,称为,-9-,定义：,剩下的元素按原次序排成的,例如：,-10-,定义2,设方阵,1),2),即方阵的行列式等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积的和,例如求二阶，三阶行列式,-11-,例,证明对角行列式,（其中主对角线上的元素不全为零,而其他元素全为零的行列式）,证明：,-12-,证明下三角行列式,例,证明：,-13-,二、
3、行列式的性质,为什么要研究行列式的性质?,性质1 行列式与它的转置行列式相等。,说明 行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立， 反之亦然。,-14-,计算下三角行列式,-15-,例如,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号。,再如，证明,-16-,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。,例如,-17-,性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以,同一数k，,等于用数k乘此行列式,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,例如,-18-,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,例如,-19-,推论如果行列式有一行（列）为零，则行列
4、式等于零。,例如,-20-,性质 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则可把这两个数拆开，其它元素不变写成两个行列式的和。,例如,-21-,性质 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变。,三角形，然后计算行列式的值。,例,-22-,-23-,则,例,-24-,证明,-25-,-26-,例,-27-,例,计算n阶行列式,解：,-28-,-29-,例,爪形行列式,-30-,思考题：,计算下列行列式：,-31-,行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应,性质,的代数余子式乘积之和，即：,证明：,三行列式的展开定理,-32-,-33-,定理
5、,行列式的值等于其任一行(列)的各元素与其对应,的代数余子式乘积之和；,行列式的任一行(列)的各元素与另一行（列）相应元素,的代数余子式乘积之和等于零,-34-,计算,-35-,求,-36-,例,主对角线以及主对角线,以下元素全为，其它元素全为零，,所有元素的代数余子式之和,（以前的考试题）,解：,同理其它行的元素对应的代数余子式之和也为零,所以所有元素对应的代数余子式之为,-37-,范德蒙德(Vandermonde)行列式,从最后一行开始,每行减去上一行的 倍.,-38-,按最后一列展开再提取每列的公因子,-39-,-40-,-41-,(1)按范德蒙行列式的结果求出 x3 的系数;(2)按最
6、后一列展开求出 x3 的系数(与所求可能差符号)(3)比较二者应相等.,例,求,解：提示,-42-,例,计算下列n阶行列式,解:,按第一列展开,-43-,-44-,推论:,行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应,元素的代数余子式乘积之和为零,即:,证明：,第i行,第j行,=0,-45-,方阵的行列式,由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作 或,运算规律,设 A，B 均为 n 阶方阵,(性质，行列式的乘法定理),-46-,问：,对（）举例说明,设,则：,思考：,，则,-47-,设A是奇数阶方阵，且,证明,证,例16,-48-,设,求：,求,解：,例17,-
7、49-,伴随矩阵,矩阵的转置矩阵,由 |A| 的各元素的代数余子式 所构成,称为 A 的伴随矩阵。,思考：,且有,（在下一节将起到很重要的作用）,-50-,设,解：,设A为阶方阵，,，证明：,证明:,设,例18,例19,-51-,学习重点：行列式的定义起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了。行列式的价值主要体现在理论推导上，其中重要的有三大定理： (1) 行列式的展开定理; (2) 行列式的乘法定理;（性质） (3) Cramer法则（第六节） 本节的学习重点是掌握行列式的计算。在计算方法上重点掌握化三角形法和递推法。对行列式的两个等价定义，只
8、需有一个粗略的了解，对行列式的计算不要过分地追求计算技巧。,-52-,作业:,-53-,思考题:,1.A为10阶方阵,则:,2.计算:,3.已知,满足:,求,-54-,4.,设,则,5.,设,则必有,-55-,发展简史：行列式起源于求解线性方程组。用行列式的方法解含有两个、三个和四个未知数的联立线性方程，可能是由Maclaurin在1729年开创的，并发表在他的遗作代数论著(1748)中。Vandermonder(1772)是第一个对行列式理论作出连贯的逻辑阐述的人，他给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。Laplace参照Cramer和Bezout的工作，在1772年的论文对积分和世界体系的探讨中，证明了Vandermonder的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法，现称为Laplace定理(行列式展开定理是其特殊情况)。行列式这个词是Cauchy在18世纪的著作中首先使用的，把元素排成方阵并采用双重足标的记法也是属于他的，而采用两竖线是Cayley在1841年引进的。,
