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1、释疑解难 多元函数微分学问题 1. (1)已知 ,求 .2,fxyxy,fxy(2)已知 ,求 .3【分析】上述两类问题互为反问题.(1) 将 的位置用 代替即可.,xy,xy2223f xyxy(2) 可令 ,由此解出 ,于是,uxyv,uvu222,3f 22,fxyy也可用配方将 变为 的表达式.3,xy问题 2 下列说法正确吗?(1)当动点 沿着任意一条直线趋向于点 时,函数 的极限存在且等于,xy0,fxyA,则 存在.0limxyf答:不能.例如 ,当动点 沿着任意一条直线 ( 为任意24,xyf,xyykx常数)趋向于点 时,有032200lim,li0xxykkf 但当 沿抛物
2、线 趋向于 时,有,xy22 4001li,lim02xxyf 故 不存在.0lim,xyf注 根据二重极限的定义,在点 的邻域内,动点 趋向于 的方0Px,Pxy0,xy式是任意的.于是常常用动点取不同的路径趋向于 ,使其有不同极限的方法来判定0x函数极限不存在.(2)如果一元函数 在 处连续, 在 处连续,那末,二元函数0,fxy0 0,fyx在点 处是连续的.,fxy0,答:不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变量固定时,二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式(即点 沿平行于坐标,xy轴的方式趋于点 时)的极限存在,并不能保证 以任何方式趋向于
3、的0xy,xy0,极限存在且等于 ,就是说不能保证 的连续性.例如函数f ,f,220,0xyf一元函数 在 连续, 在 连续,但 在 处不连0,fy,fx,fxy0,续.事实上, 当动点 沿着任意一条直线 趋向于点 时, 有,xyk0随 变化2200lim,li1xxykkf 所以极限不存在,从而不连续.问题 3 下列运算是否正确?2200lili0.xyxy y答: 不正确.因为 事2 20 0limlimx yxy y是 二 重 极 限 , 而 是 二 次 极 限 ,实上 是不存在的,参考问题 2(2)中的函数.20lixy问题 4 下列运算是否正确?设 求 .,sin1arctn,x
4、xzfeyy1,yff解 ,1rtf对 求导,得 .x1,actn1,42x xxf f 1,si,cosyfyefey答:正确.事实上偏导数就是这样定义的.问题 5 下列命题是否正确?(1)若 在 偏导数存在,则 在 连续.,fxy0,fxy0,答:不正确. 例如 220,0xyf在 处,0, 0 0, ,0,lim,limx xx yff fff f 都存在,但 在 处不连续(见思考题 2 (2)的例).,fy,注 对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论.(2) 在 可微的充分必要条件是 在 偏导数存在.,fx0, ,fxy0,答:不正确. 对一元函数来说,可微与可导是等价的
5、,但多元函数不同. 偏导数存在是可微的必要条件,而不是充分条件.若 在 可微,则 在 偏导数存在,且,fxy,fxyxydzfd反之,不然.例如上题中的 在 处偏导数都存在,但不连续,从而也就不可微.,fy0,但是,若 在 偏导数连续,则 在 可微.,fx,fxy,反之,不然.例如 在 处可微,但偏导2 221sin0,0yf xy,数在 不连续(读者自己证明 ).0,问题 6 有人说偏导数 及 分别就是函数 在 处沿0(,)xfy0(,)yfx (,)fxy0(,)My轴方向 及沿 轴方向 的方向导数.这种说法对吗?OxliOlj答:上述说法不对.事实上,依方向导数定义,当 时,在 处li0
6、M000(,)(,)limxfxyfz 000(,)(,)limxfxyf而 .000,lixffx由此可见,前者是单侧极限,后者是双侧极限,两者并非完全一样.若 存在,则沿zx方向的方向导数 也存在,且两者相等.但反之,若 存在,则 可能不存在.例如lizlzl在点 处沿 方向 ,而 不存在.2zxy0,li1zlzx需特别指出的是:沿 轴负向 ,Oxi,0001(,)(,)limxfyfz 00()(,)limxffxyzx(这里假设 在 处的偏导数与方向导数都存在).(,)f0M类似地,沿方向 的方向导数与 也不完全一样.ljzy问题 7 用拉格朗日乘数法求条件极值问题,一般都转化为求解
7、一个多变量的方程组,但解此方程通常会遇到困难,有没有一般的方法?答:用拉格朗日乘法求条件极值,依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的,解法的技巧性较高,需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法.下面举例说明常见的解题技巧.例 1 求函数 在约束条件 下的极值.uxyz1(0,0)xyzaxyza解 设拉格朗日函数为 令1(,)().Fz220, () , 20, (3)1 , 4xyzzFxyza以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论,不具体求出极值方法一注意到前三个方程的第一项是 三个变量中两个的乘积,如果各x、 y、 z方程乘以相应缺少的那个变量,那么就都成为 再消项即()(1):0,xyz()2:,()(3):0,xyz得 ()1+213()0.xzyz把()代入() ,得 再把它分别代入() 、 () 、 ()式便得.3xyza3.xyza方法二把()和()式改写为 2.yzx2.zy因 都不等于,两式相除,立即消去 及 ,得到 ,,xyz同理对()与()作类似处理,得到 ,从而 yzz再代入() ,便得 3.xyza方法三先解出 ,把()代入()式,得3.axyz再把 分别代入() , () , ()式便得 .xyz方法四由于这个问题的特殊性,从目标函数的构成及约束条件看,三个变量呈轮换对称,由此必然有 ,再代入约束条件就得,xyz3.xyza