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1、释疑解难 多元函数微分学问题 1. (1)已知 ,求 .2,fxyxy,fxy(2)已知 ，求 .3【分析】上述两类问题互为反问题.(1) 将 的位置用 代替即可.,xy,xy2223f xyxy(2) 可令 ,由此解出 ,于是,uxyv,uvu222,3f 22,fxyy也可用配方将 变为 的表达式.3,xy问题 2 下列说法正确吗?(1)当动点 沿着任意一条直线趋向于点 时,函数 的极限存在且等于,xy0,fxyA,则 存在.0limxyf答：不能.例如 ,当动点 沿着任意一条直线 ( 为任意24,xyf,xyykx常数)趋向于点 时,有032200lim,li0xxykkf 但当 沿抛物
2、线 趋向于 时,有,xy22 4001li,lim02xxyf 故 不存在.0lim,xyf注 根据二重极限的定义,在点 的邻域内,动点 趋向于 的方0Px,Pxy0,xy式是任意的.于是常常用动点取不同的路径趋向于 ,使其有不同极限的方法来判定0x函数极限不存在.(2)如果一元函数 在 处连续, 在 处连续,那末,二元函数0,fxy0 0,fyx在点 处是连续的.,fxy0,答：不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点 沿平行于坐标,xy轴的方式趋于点 时）的极限存在,并不能保证 以任何方式趋向于
3、的0xy,xy0,极限存在且等于 ,就是说不能保证 的连续性.例如函数f ,f，220,0xyf一元函数 在 连续, 在 连续,但 在 处不连0,fy,fx,fxy0,续.事实上, 当动点 沿着任意一条直线 趋向于点 时, 有,xyk0随 变化2200lim,li1xxykkf 所以极限不存在,从而不连续.问题 3 下列运算是否正确？2200lili0.xyxy y答： 不正确.因为 事2 20 0limlimx yxy y是 二 重 极 限 ， 而 是 二 次 极 限 ，实上 是不存在的，参考问题 2（2）中的函数.20lixy问题 4 下列运算是否正确?设 求 .,sin1arctn,x
4、xzfeyy1,yff解 ,1rtf对 求导,得 .x1,actn1,42x xxf f 1,si,cosyfyefey答：正确.事实上偏导数就是这样定义的.问题 5 下列命题是否正确?(1)若 在 偏导数存在,则 在 连续.,fxy0,fxy0,答：不正确. 例如 220,0xyf在 处，0, 0 0, ,0,lim,limx xx yff fff f 都存在,但 在 处不连续(见思考题 2 (2)的例).,fy,注 对一元函数来说,可导必连续,多元函数不再保持这个结论.(2) 在 可微的充分必要条件是 在 偏导数存在.,fx0, ,fxy0,答：不正确. 对一元函数来说,可微与可导是等价的
5、,但多元函数不同. 偏导数存在是可微的必要条件,而不是充分条件.若 在 可微,则 在 偏导数存在,且,fxy,fxyxydzfd反之,不然.例如上题中的 在 处偏导数都存在，但不连续，从而也就不可微.,fy0,但是，若 在 偏导数连续,则 在 可微.,fx,fxy,反之,不然.例如 在 处可微，但偏导2 221sin0,0yf xy,数在 不连续(读者自己证明 ).0,问题 6 有人说偏导数 及 分别就是函数 在 处沿0(,)xfy0(,)yfx (,)fxy0(,)My轴方向 及沿 轴方向 的方向导数.这种说法对吗？OxliOlj答：上述说法不对.事实上，依方向导数定义，当 时，在 处li0
6、M000(,)(,)limxfxyfz 000(,)(,)limxfxyf而 .000,lixffx由此可见，前者是单侧极限，后者是双侧极限，两者并非完全一样.若 存在，则沿zx方向的方向导数 也存在，且两者相等.但反之，若 存在，则 可能不存在.例如lizlzl在点 处沿 方向 ，而 不存在.2zxy0,li1zlzx需特别指出的是：沿 轴负向 ，Oxi，0001(,)(,)limxfyfz 00()(,)limxffxyzx（这里假设 在 处的偏导数与方向导数都存在）.(,)f0M类似地，沿方向 的方向导数与 也不完全一样.ljzy问题 7 用拉格朗日乘数法求条件极值问题，一般都转化为求解
7、一个多变量的方程组，但解此方程通常会遇到困难，有没有一般的方法？答：用拉格朗日乘法求条件极值，依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的，解法的技巧性较高，需视具体方程组的特征采用特殊的处理方法.下面举例说明常见的解题技巧.例 1 求函数 在约束条件 下的极值.uxyz1(0,0)xyzaxyza解 设拉格朗日函数为 令1(,)().Fz220, () , 20, (3)1 , 4xyzzFxyza以下仅就解此方程组的各种方法进行讨论，不具体求出极值方法一注意到前三个方程的第一项是 三个变量中两个的乘积，如果各x、 y、 z方程乘以相应缺少的那个变量，那么就都成为 再消项即（）(1):0,xyz（）2:,（）(3):0,xyz得 （）1+213()0.xzyz把（）代入（） ，得 再把它分别代入（） 、 （） 、 （）式便得.3xyza3.xyza方法二把（）和（）式改写为 2.yzx2.zy因 都不等于，两式相除，立即消去 及 ，得到 ，,xyz同理对（）与（）作类似处理，得到 ，从而 yzz再代入（） ，便得 3.xyza方法三先解出 ，把（）代入（）式，得3.axyz再把 分别代入（） ， （） ， （）式便得 .xyz方法四由于这个问题的特殊性，从目标函数的构成及约束条件看，三个变量呈轮换对称，由此必然有 ，再代入约束条件就得,xyz3.xyza
