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1、2012 高考数学信息卷二一、填空题1. 已知 1sincos2，且 (0,)2，则 cos2in()4的值为 142.2. 函数 ()fx的定义域为 R. 1f，对任意的 xR， ()f，则()24fx的解集为 1,).提示：设 ()2hfx， ()20hxf,故 ()hx在 R 上为增函数.又 14，由 4，即 1)，得 x.3. 设点 P是 ABC内一点（不包括边界） ，且 ,APmBnCR，则22()mn的取值范围是 (1,5).提示： Q ,(0,1)(,)1)n,点 (,m在直线系 xy上，点 0,2到直线系 0,)xy上点的距离取值范围是 (1,5).4. 已知数列 1,2,2,
2、3,3,3,4,4,4,4,5，的首项是 1，随后两项都是 2，接下来 3 项都是 3，再接下来 4 项都是 4，以此类推，若 0,1nna，则 = 211 .提示： 20()1232n ， .5. 已知点 P是双曲线 21(,)xyab右支上一点，1F、 2分别是双曲线的左、右焦点. I为 12PF内心，若1212IPIFIFSS，则双曲线的离心率为 2 .AB CPQyOxE提示： 12.PFc, 2,2cae.6. 如图，在 ABC中， 90,6,ABD在斜边 BC上，CD,则 的值为 24 .7. 各项都为正数的数列 na，其前 项的和为 nS，且 21()(nSan，若 1nab，且
3、数列 nb的前 项的和为 nT，则 =246.提示： 1nSS， 211,nnSa,1(2)aa， 21bn,( (2)1351nTn24621n.二、解答题1. 如图，以 x为始边作角 )0（与 ，它们的终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为 ).54,3(1)求 tan12cossi的值； (2)若 ,0OQ求 )i(的值.解：(1)由三角函数的定义得 ,54sin,3co则原式= cosi)(2cosin1si2.2518)3(2(2) ，,0OQPO2，BACD53cos)2sin(i ， .54sin)2cos(in.27)(542.如图三棱柱 1CBA中，侧棱与底面
4、垂直， 90ABC，1BCA， M,N 分别是 ,的中点.(1)求证： 1/平 面 ;(2)求证： CBA平 面. 证明：(1)如图,连接 1,ACB,显然 AC1过点 N.M,N 分别是 1,的中点，1/C 又 1B平 面, 1BC平 面,/N平 面. (2) 三棱柱 1AC中，侧棱与底面垂直， 1BC,1B四 边 形是正方形 11/MN）， 由 （CBMN1. . ,90.,1 11A MABCABC 由连 接 ,又 A1是 的中点,CMN1.B相 交 于 点与，A1平 面.3烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离成反比，现有两座烟囱相距 10，甲
5、烟囱喷出的烟尘浓度是乙烟囱的 2 倍，在距甲烟囱 1km 处的烟尘浓度为 2 个单位/ 3m,现要在甲、乙两烟囱之间建一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？解：设学校建立在离甲烟囱 kmx处，则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为 ),10(,10,2yxk乙甲 则在该处的烟尘浓度 ),10(,102xkxyxf乙甲由已知 .,2k所以， 203123012)0(312)( xxxf.当且仅当 ,2x即 1时取等号，故学校应建立在离甲烟囱km)10(处烟尘对学校的影响最小.4216xy已 知 双 曲 线, (1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆 E 的方程.(2)点 P 在椭圆
6、E 上，点 C(2,1)关于坐标原点的对称点为 D，直线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为 0，试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由.(3)平行于 CD 的直线 l交椭圆 E 于 M、N 两点，求 CN面积的最大值，并求此时直线 l的方程.解：2 2211,0,68c6.xyab（ ） 设 椭 圆 E方 程 为 则 ，2.8椭 圆 方 程 为(2)依题意得 D 点的坐标为（-2，-1） ，且 D 点在椭圆 E 上，直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在，设 P(x,y), 211, .2 4CPDPCDy yKx x则 又 点
7、在 椭 圆 E上 ， 222184CPDyxyx，.1DP直 线 C和 的 斜 率 之 积 为 定 值.(3) 直线 CD 的斜率为 2，CD 平行于直线 l，设直线 l的方程为 ,txy由 128yxt，消去 ，整理得 0422tx，)(162,1 ttx,2122121 )(xyxMN)(452tt.点 C 到直线 MN 的距离为 ,5214ttd2245221 tttdMNSC .4)(t当且仅当 时 取 等 号 ，即,22t .21 xylCN的 方 程 为， 此 时 直 线面 积 得 最 大 值 为5. (1) 已知两个等比数列 na， b，满足 112(0),aba33ab.若数列
8、 n唯一，求 的值；(2) 是否存在两个等比数列 n， ，使得 1234,成公差不为 0 的等差数列？若存在，求 a， nb的通项公式；若不存在，说明理由.解：(1)设 na的公比为 q，则 2123,bqa.由 123,b成等比数列得 2(2)()，即 40q.（ ）由 0a得 2a，故方程（ ）有两个不同的实根.再由 n唯一，知方程必有一根为 0，将 q代入方程得 13a.(2) 假设存在两个等比数列 n， b，使得 124,bb成公差不为 0 的等差数列，设 a的公比为 1， n的公比为 .则 2121baq，3，34121.由 34,baba成等差数列得21211132()(),.bq
9、abqa即2112()()0,(*).bqaq(*) 2-(*)得 121().由 10a得 或 .当 2q时，由(*) (*)得 1ba或 12q，这时 21()()0ba，与公差不为 0 矛盾.当 1时，由(*) (*)得 10或 2，这时 21()()，与公差不为 0 矛盾.综上所述，不存在两个等比数列 na， b，使得 1234,abab成公差不为 0 的等差数列.6.已知函数 ,164)(21xmf mxf)21(,其中 0R且 .(1)判断函数 1f的单调性；(2)若 2，求函数 )2,()(21xffxf（） 的最值；(3)设函数 ),()(21fxg，当 m时，若对于任意的 ,
10、21x，总存在唯一的 ,2，使得 )(21xg成立，试求 m 的取值范围.解：（1）,)8(4)21xf）则当 0时，知函数 )(1xf在 )2,上单调递增，在 2,及 ,上单调递减；当 时，知函数 在 (上单调递减，在 及 )(上单调递增.(2)由 2,xm，可得xmxf )21()21(.xmxfxff )21(64)(221 （）.由(1)知，当 m， ，函数 1f在 2,上是减函数，而函数xxf)21()(2在 ,上也是减函数，故当 时，函数 f取得最大值 162,4mm即 .当 2x时, 函数 )(x取得最小值 162.(3)当 m时，由于 1，则 4)(21xfxg，由(1)知，此
11、时函数 )(在 ,2上是减函数，从而1600)(11 mxgfxg，（， 即，（ 若 2m时，由于 2，则 )()(2xfgmx2= 2)(x= 2)(xm，易知 )(2在 ,上单调递增，从而)21(0)()(0222 mxgfg，（， 即，（.要使 )(21xg成立，只需2)1(6m，即)1(62m成立即可,设 ,6)(mh则易知函数 h在 ,上单调递增，且 0)4(h，故 4，所以 4.三、理科附加题1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目个数分别占总数的 ，、 6132现在 3 名工人独立地从中任意一个项目参与建设.(1)求他们选择的项
12、目所属类别互不相同的概率.(2)记 X 为 3 人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 X的分布列及数学期望.解：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai ，B i ，C i ，i=1 ，2，3.由题意，知 A1，A 2，A 3 相互独立，B1，B 2，B 3 相互独立，C 1，C 2，C 3 相互独立, A i，B j，C k(i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 互不相同)相互独立，且 P (A i)= ,P(B j)= 1,P(C k)= 6.(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3! P (A 1 B2 C3)=
13、6P (A 1) P (B2) P (C3)= 1.(2) 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由已知 X） ， 且，（ 所以 ,271)3(0CPX）（ ,92)3(1)2(CPX）（94)12）（ 703）（故 X 的分布列是X 的数学期望是 2783942170）（ XE.2.已知函数 )()1ln()axxf .(1)当曲线 y在点 ,f处的切线与直线 12:xyl平行时，求 a 的值；(2)求函数 )(xf的单调区间.解： 1,)1(2)1(12 xxaaf ,(1)由题意可得 ,43)f解得 3，因为 ,2ln)1(f此时在点 )(,f处的切线方程为 )1(2)4(lnxy，即 ,2lnxy与直线 12:xyl平行，故所求 a 的值为 3.(2)令 ,0)(f得到 0,1a，由 21a可知 1x即 . 当 时， 21.所以 ),1(,0)(2) xxf ，故 (f的单调递减区间为 ,. 当 12a时, 210-02xa即 ,所以在区间 )(,()(f上和 ，在区间 .0,xfa上故 )(xf的单调递减区间为 ),0()21,(和a，单调递增区间为 )0,21(a. 当 1时， -21，所以在区间 )0,(上 (xf；在区间
