金融风险管理计算题

1． 一个银行在下一年盈利的回报服从正态分布。期望回报为整体资产的0.6%，而标准差为整体资产的 1.5%。银行的权益资本占整体资产的 4%，在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为多大？解： 由于银行的权益资本占整体资产的 4%，因此银行在下一年仍有正的权益资本的概率对应于银行的盈利大于资产的-4%的概率。设 银行在下一年的盈利占总体总产的比例为 X，则 X大于资产的-4%的概率为 ，由于银行在下一年的盈利的回报服从正态分布，由(4%)PX题意有：即银行股票为正的概率为 N（3.067） ，其中 N为标准正态分布，查表的其解为 99.89%，因此在忽略税收的情况下，银行在下一年仍有正的权益资本的概率为 99.89%。2． 股票的当前市价为 94美元，同时一个 3个月期的、执行价格为 95美元的欧式期权价格为 4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入 100股股票或者买入 2000个（相当于 20份合约）期权，这两种投资所需资金均为 9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？解 ： 设 3 个月以后股票的价格为 X 美元（X>94 ）（1）当 美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考945X虑到购买期权的费用，应投资于股票。（2）当 美元时，投资于期权的收益为： 美(95)204X元，投资于股票的收益为 美元(94)10X令 52(4)1()1()1()()(3.067)4%0.64.515N解得 X = 100 美元给出的投资建议为：若 3 个月以后的股票价格： 美元，应买入 100 股股票；9410X若 3 个月以后的股票价格 X=100 美元，则两种投资盈利相同；若 3 个月以后股票的价格： 美元，应买入 2000 个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。3． 某银行持有 USD/EURO汇率期权交易组合，交易组合的 Delta为30000，Gamma 为-80000，请解释这些数字的含义。假设当前汇率（1 欧元所对应的美元数量）为 0.90，你应该进行什么样的交易以使得交易组合具备 Delta中性？在某段时间后，汇率变为 0.93。请估计交易组合新的Delta。此时还要追加什么样的交易才能保证交易组合的 Delta呈中性？假如最初银行实施 Delta中性策略，汇率变化后银行是否会有损益？解：Delta 的数值说明，当欧元汇率增长 0.01时，银行交易价格会增长 0.0130000=300美元；Gamma 的数值说明，当欧元价格增长 0.01美元时，交易组合的 Delta会下降 0.01 80000=800美元。为了做到 Delta中性，应卖出 30000欧元。当汇率增长到 0.93时，期望交易组合的 Delta下降为（0.93-0.90）8000=2400,组合的价值变为 27600，为了维持 Delta中性，银行应该对 2400数量欧元短头寸进行平仓，这样可以保证欧元净短头寸为 27600。当一个交易组合的 Delta为中性，同时 Gamma为负，资产价格有一个较大变动时会引发损失。这时的结论是银行可能会蒙受损失。4． 假设某两项投资中的任何一项都有 4%的可能触发损失 1000万美元，有 2%的可能触发损失 100美元，并且有 94%的概率盈利 100万美元，这两项投资相互独立。(1) 对应于在 95%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是多少？(2) 选定 95%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少？(3) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的 VaR是多少？(4) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的预期亏损是多少？(5) 请说明此例的 VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加性条件。解：（1）对应于 95%的置信水平，任意一项投资的 VaR为 100万美元。（2）选定 95%的置信水平时，在 5%的尾部分布中，有 4%的概率损失 1000万美元，1%的概率损失 100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有 0.04 0.04=0.0016的概率损失 2000万美元，有 0.02 0.02=0.0004的概率损失 200万美元，有 0.940.94=0.8836的概盈利 200万美元，有 2 0.04 0.02=0.0016的概率损失1100万美元，有 2 0.04 0.94=0.0752的概率损失 900万美元，有2 0.94 0.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由于0.95=0.8836++0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的 VaR是 900万美元。（4）选定 95%的置信水平时，在 5%的尾部分布中,有 0.16%的概率损失 2000万美元，有 0.16%的概率损失 1100万美元，有 4.68%的概率损失 900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%的置信水平的预期亏损是 （5）由于 900 100 2=200，因此 VaR不满足次可加性条件，941.6 820 2=1640，因此预期亏损满足次可加性条件。5． 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的4%100825万 美 元.68%0.160.16%92941.655万 美 元0.8%和 2%。对应于（1） 在 99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？（2） 在 99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？分析中忽略税收。解：（1）设 在 99%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 A，银行在下一年的盈利占资产的比例为 X，由于盈利服从正态分布，因此银行在 99%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为： ，由此可得()PX0.8%0.8()1()1()9%22APXAPN查表得 =2.33，解得 A=3.86%0.8%2即在 99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 3.86%。（2）设 在 99.9%置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 B，银行在下一年的盈利占资产的比例为 Y，由于盈利服从正态分布，因此银行在99.9%的置信度下股权资本为正的当前资本金持有率的概率为：，由此可得()PYB0.8%0.81()1()()9.%22BN查表得 =3.10，解得 B=5.4%0.8%2即在 99.9％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为 5.4%。6． 股票的当前市价为 94美元，同时一个 3个月期的、执行价格为 95美元的欧式期权价格为 4.70美元，一个投资人认为股票价格会涨，但他并不知道是否应该买入 100股股票或者买入 2000个（相当于 20份合约）期权，这两种投资所需资金均为 9400美元。在此你会给出什么建议？股票价格涨到什么水平会使得期权投资盈利更好？解 ： 设 3 个月以后股票的价格为 X 美元（X>94 ）（1）当 美元时，此时股票价格小于或等于期权执行价格，考945X虑到购买期权的费用，应投资于股票。（2）当 美元时，投资于期权的收益为： 美(95)204X元，投资于股票的收益为 美元(94)10X令 (95)204(9)10XX解得 X = 100 美元给出的投资建议为：若 3 个月以后的股票价格： 美元，应买入 100 股股票；9410X若 3 个月以后的股票价格 X=100 美元，则两种投资盈利相同；若 3 个月以后股票的价格： 美元，应买入 2000 个期权，在这种价格下会使得期权投资盈利更好。7． 一金融机构持有以下场外期权交易组合，基础资产为英镑：期权种类头寸数量期权的Delta期权的Gamma期权的Vega看涨 -1000 0.50 2.2 1.8看涨 -500 0.80 0.6 0.2看跌 -2000 -0.40 1.3 0.7看跌 -500 0.70 1.8 1.4某交易所交易期权的 Delta为 0.6，Gamma 为 1.5，Vega 为 0.8。（1） 用多少交易所期权可以使场外交易同时达到 Gamma及 Delta中性，这时采用的交易是多头头寸还是空头头寸？（2） 采用什么及多少交易所交易期权可以使场外交易组合同时达到 Vega以及 Delta中性，交易应该为多头头寸还是空头头寸？解：根据表格信息可以得出组合资产的头寸数量为-(1000+500+2000+500)=-4000；组合的 Delta=(-1000) 0.5+(-500) 0.8+(-2000) (-0.4)+(-500) 0.7=-450;同理可得组合的 Gamma=-6000;组合的 Vega=-4000;（a）为达到 Gamma 中性，需要在交易组合中加入份期权，加入期权后的 Delta 为 ，(60/1.5)40450.61950因此，为保证新的交易组合的 Delta 中性，需要卖出 1950 份英镑。为使Gamma 中性采用的交易是长头寸，为使 Delta 中性采用的交易是短头寸。(b)为达到 Vega 中性，需要在交易组合中加入 份期(40/.8)50权，加入期权后的 Delta 为 ，因此，为保证新的交易450.625组合的 Delta 中性，需要卖出 2550 份英镑。为使 Vega 中性采用的交易是长头寸，为使 Delta 中性采用的交易是短头寸。8． 假设某两项投资中的任何一项都有 0.9%的可能触发损失 1000万美元，有99.1%的可能触发损失 100美元，并且有正收益的概率均为 0，这两项投资相互独立。(6) 对应于在 99%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是多少？(7) 选定 99%的置信水平，任意一项投资的预期亏损是多少？(8) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的 VaR是多少？(9) 将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的预期亏损是多少？(10) 请说明此例的 VaR不满足次可加性条件，但是预期亏损满足次可加性条件。解：（1）对应于 99%的置信水平下，任意一项投资的 VaR是 100万美元。（2）选定 99%的置信水平时，在 1%的尾部分布中，有 0.9%的概率损失 1000万美元，0.1%的概率损失 100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是（3）将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有 0.009 0.009=0.000081的概率损失为 2000万美元，有 0.991 0.991=0.982081的概率损失为 200万0.1%0.910万 美 元美元，有 2 0.009 0.991=0.017838的概率损失为 1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的 VaR是 1100万美元。（4）选定 99%的置信水平时，在 1%的尾部分布中,有 0.0081%的概率损失2000万美元，有 0.9919%的概率损失 1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 99%的置信水平的预期亏损是（5）由于 1100 100 2=200，因此 VaR不满足次可加性条件，1107 910 2=1820，因此预期亏损满足次可加性条件。9． 一家银行在下一年的盈利服从正态分布，其期望值和标准差分别为资产的0.8%和 2%。对应于（3） 在 99％置信度下股权资本为正的当前资本金持有率为多少？（4） 在 99.9％置信度下股权资本为正的当