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1、第五章 桥梁结构空间稳定极限承载力分析第一节 非线性有限元计算基本理论和公式单拱面预应力混凝土系杆拱桥或斜拉桥稳定承载力计算需考虑几何非线性和材料非线性。对于非线性问题通常不能用一步求解方案，必须分成若干个加载步，按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，也就是采用增量求解方案，把一个非常复杂的非线性加载过程，分割成若干非线性程度不是十分严重的小段逐步求解，从而得出结构极限承载力。 1,2,3,4为了描述 时刻的平衡状态，对结构节点位移一般有两t种描述方法，以 t=0 时刻状态为度量基准的完全拉格朗日(T.L)法和 t=t 时刻状态为度量基准的修正的拉格朗日(U.L)法。由于后者求解更为有效，在求解
2、拱肋稳定承载力时，多采用 U.L 方法。一、增量形式平衡方程基本假定：结构在变形前、后的截面积和体积相同，大变形小应变，变形前垂直于中性轴的截面变形后仍为平截面。将时刻 t 视为外荷载 作用下有初应力 的结构。0Pi 0ij由 t 至 时刻，外荷载增量为 P1，应力增量为 ，应变ij96增量为 ，位移增量为 u；如图 5-1-1。ij则 t 至 时刻结构的总势能增量t( 5-1-1)1200ijvijviidPu()将应力增量 ，应变增量 划分为线性与非线性两部分即：ij ij（5-1-2）ijijLijN(5-1-3)又（5-1-4)ijLijrsLCyxoOtzLx图 5-1-1 空间梁元
3、的位形及局部坐标系以 t 时刻位形为参考态， 时刻的格林应变即为格林应t变增量 ，其中线性和非线性部分可写成下式：ij(5-1-5)ijLijiu12(),(5-1-6)ijNkij,97将式 5-1-2 至 5-1-4 代入 5-1-1 式并略去 ， 高ijNLijvN阶项得：(5-1-7)1200CdvvPuijrsLIijijNv ii()由势能驻值原理 ，则 U.L 法描述的平衡方程：(5-1-8)d dvijrsLvijvijNiijLv ()上式中增量应力一定变材料特性张量Cijrs线性应变增量张量Lt 时刻柯西应力张量0ij非线性应变增量张量rsN为 时刻外荷载向量Pit式 5-
4、1-8 即为三维连续体 U.L 列式的增量平衡方程。将结构进行有限元离散，由左边第一项即可得到弹性或弹塑性刚度矩阵，由第二项可得出几何刚度矩阵，又称初应力矩阵，右边第一项为时刻外荷载等效节点力向量，第二项为 t 时刻初应力引起t的等效节点力向量。二、非线性问题的有限元方程(一) 单元截面增量位移描述根据式 5-1-8 增量形式的平衡方程，把结构进行离散，从而得到 U.L 列式非线性有限元基本方程，对于图 5-1-1 所示两节点梁元 t 至 时刻的增量，用 u，v，w 表示 x，y，z 轴的位移，t 表示截面扭转角，则截面上任一点的位移可描述为： uzycvx98wcxy其中 ， ， 为截面形心
5、处位移增量。ucvc为绕 x，y，z 轴的转角增量。(二) 增量位移应变关系对于一维空间梁单元，只有 ， ， 三个应变分量，xyxz其余分量均为 0，在进行杆系结构非线性有限元分析时，若不考虑剪切变形的影响，则假定 = =0，由式 5-1-5 及 5-1-6 得：xyz(5-1-9)xLcccuwyvx22Nz12()()22xvyxccc(5-1-10)()()uzw一般说，高阶项 对切线刚度的影响低于 ，12x12(vx高阶项的影响，所以忽略轴向位移高阶项后得：12()wx(5-1-11)xNccvzxwzx12122()()(三) 单元位移模式对空间梁元结点位移增量向量及节点力增量向量为
6、： ,iiixyizTuv,FUQMxyziz若梁单元任一点位移增量为 ，则当该位移用uvw99节点位移表示时，取单元位移模式 uax01vbbx23(5-1-12)wccd01上式中各参数由节点位移边界条件确定，于是(5-1-13)uvwNe其中N与第三章中第一节所述相同，将上式代入式 5-1-10及式 5-1-11 得 xLeB(5-1-14)N(四) 空间梁元 U.L 增量平衡方程将式 5-1-14 代入式 5-1-8，得到空间梁元 U.L 增量平衡方程(5-1-15)tLtNttKuRF其中(5-1-16)tTLvBDdv当梁处于弹性时， 即为单元弹性刚度矩阵，同 3-1-7 式，t其
7、显式同 3-1-8 式：(5-1-17)tNLTijNLvKv0为单元几何刚度矩阵。NL(5-1-18)tRP0为 时等效节点力向量t100(5-1-19)tLTijvFBdv0为初始不平衡修正力上述各式即为考虑几何非线性的有限元方程，将单元局部坐标系下的各量进行转换，即可得到整体坐标下结构的有限元几何非线性基本方程，用牛顿拉夫逊方法即可求得几何非线性问题的结果。若梁单元截面应力应变为非线性时，则 = ，即考tLKtP虑材料非线性项，求解材料非线性问题的关键在于建立弹塑性刚度矩阵 。tLPK第二节 钢筋混凝土结构弹塑性分析的内力塑性系数法一、截面内力塑性系数法原理钢筋混凝土结构极限承载力分析需
8、考虑几何非线性和材料非线性的影响，其几何非线性计算通过考虑有限变形的几何非线性关系来实现，对于钢筋混凝土梁元的材料非线性分析，一般应用分段线性法或折减刚度的办法 5,6,7。由于混凝土材料抗拉强度低，工作阶段可能在受拉区开裂，梁元分块变刚度法，在梁元中难以实现，所以一些大型分析程序如 ADINA、ANASIS 等都没有钢筋混凝土梁元的弹塑性分析功能 8,9。为了解决钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵的计算问题，采用曾庆元教授等提出的截面内力塑性系数法，该法在计算钢压杆及钢斜拉桥弹塑性分析中获得了很大成功 10,11，将该法用于钢筋混凝土结构分析更显现出其特点。从力的概念来说，式 5-1-15 表示的
9、单元平衡方程应是单元两端等效节点力与单元节点截面内力的平衡，单元材料随荷载变101化而产生的弹塑性变化集中反映在其节点截面内力的降低，此种降低是相对于节点截面完全弹性时的内力而言的。若定义节点截面弹塑性内力与弹性内力的比值为截面内力塑性系数，由此系数来确定梁单元塑性刚度矩阵。下面扼要介绍其过程。当梁处在弹性阶段时，单元的增量平衡方程可表示为：(5-2-1)()tLtNttKuFR上式中右端项为单元等效节点荷载，左端二项为单元截面抵抗力，上式表示单元节点截面抵抗力与单元等效节点荷载的平衡。若设单元外荷载只作用在节点上如图 5-2-1，单元节点截面抵抗力向量可用节点荷载向量表示为：(5-2-2)(
10、)tLNtiejeKuFN其中 QMiexiyiezixieyizieT,jjjjjjj,xi图 5-2-1 单元内力平衡下标 e 表示 时刻单元节点截面弹性内力。t当梁处在弹塑性工作阶段时，式 5-2-2 则表示 时刻单t102元节点截面弹塑性内力，即(5-2-3)(),tLPtNtPijPTKuFN其中 QMixiyizixiyizijPjjPjjPjjPT若令弹塑性内力与弹性内力之比为截面内力塑性系数，则 i端截面塑性内力系数为： ixiPeiyiPeiziPeNN123iixiiyiziMM456同理也可得 j 端截面内力塑性系数。则式 5-2-3 可表示为：(5-2-4)()tLPt
11、NtPeKuFN其中单元截面内力塑性系数矩阵 ij0iiiiiii 1234560000103jjjjjjj 12345600000又由 5-2-2 知(5-2-5)()NKuFetLtNt代入 5-2-4 得()()tLPttPtLtNtKuK(5-2-6)由对应项相等得(5-2-7)tLPtL(5-2-8)N(5-2-9)ttF分析中直接计算几何刚度矩阵 及等效节点力列阵tNlPK比按式 5-2-8 及式 5-2-9 简便，可直接由积分求得，而tPK在多次迭代计算中，只需算一次，计算 比直接计L tLP算 省时，故最后得梁元弹塑性增量平衡方程为：t(5-2-10)()tLNPttuRF二、
12、空间梁元弹塑性刚度矩阵由式 5-2-10 知，单元弹塑性刚度矩阵可表示为：(5-2-11)tLijiTijjKK0由式 3-1-7 知 为对称矩阵，而上式为非对称矩阵，为t了保证弹塑性刚度矩阵的对称性，设各单元内由 i 端至 j 端截面104内力塑性系数是线性变化的即：(5-2-12)ijijxL()()1将上式代入 3.1.7 式，则空间梁元弹塑性刚度矩阵为(5-2-13)t TLxKBDdx0若忽略剪切变形的影响(5-2-14)L1230其中 DEAxLij11()Iyij25xzij36()经上述变换后，式 5-2-13 则为对称矩阵，即钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵。三、材料模型(一)
13、混凝土应力应变曲线在计算截面的弹塑性内力时，根据截面上任一点应变状态，可以判断该点是否退出工作，然后由应力应变曲线求得该点应力，在截面上积分则得截面弹塑性内力，混凝土应力应变曲线采用 RUSH 曲线，如式 5-2-15 及图 5-2-2。R0-23.5aABCfvtnE0水 平 线=hs图 5-2-2 混凝土应力应变曲线 图 5-2-3 钢筋应力应变曲线105时002()0(5-2-15)U(二) 钢筋应力应变曲线钢筋应力应变曲线采用理想弹塑性曲线，不考虑钢筋的应力强化如图 5-2-3时EG0(5-2-16)SSU在进行结构弹塑性分析时，假定受拉区混凝土不参加工作，钢筋和混凝土之间没有滑移。四
14、、拱稳定性分析的计算方法前文已指出，以增量形式表示的计及初始不平衡效应的有限元公式为：(5-2-17)KQPFT式中：为切线刚度矩阵T为增量节点位移是基准荷载P是初始不平衡荷载F载荷增量参数从结构失稳的载荷位移关系曲线可以发现，随着载荷的增加，结构的当前刚度参数也随之变化，所谓当前刚度参数是指与当前刚度矩阵有关的能量和与起始刚度矩阵有关的能量之比，当前刚度参数可以定义为：106(5-2-18)SPQiiTiiTiII/式中上标 i 表示第 i 个增量步， 表示第 i 个增量步的载荷i增量， 表示第 i 个增量步的位移增量。Q很显然， ，以后 将逐步减小，到达极值点 =0，SP1SPSP这种外载
15、与 的关系如图 5-2-4 所示。在本程序中，让相邻两个增量步的载荷增量因子与其相对应的当前刚度参数成正比，即(N2) (5-2-19)NPS1因为 ，上式可以写为1(N1) (5-2-20)NP1这样即形成了一种自动加载系统。rmax图 5-2-4 当前刚度参数与临界力由式 5-1-17 可知，如果 非奇异，则给定载荷增量参数KT，即可采用某种迭代解法(本程序用修正的 NewtonRaphson法)而求得增量位移 。然而在极值点附近，如继续用上述方Q法，将无法得到收敛的结果。为此在极值点附近一个选定的区域里终止迭代，即认为结构已发生了极值点失稳。该区域的确定，可通过下述条件来实现：107(5-
