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1、习题 3-1习题三先介绍两个常用的恒等式.对于 ,|1x, .12()k213()kx证明如下:,1 21() (1)kkkxxx ,1 31 1() ()kkkk x.21321 1()()kkkk xxxx 1. 求习题 2.4 中的随机变量 的期望.X解 有概率分布X, .11()()kkPpp2,3122()kkE p1122(1)() 1()kkkp.22()()pp2. 求习题 2.9 中的随机变量 的期望和方差.X解 0,1)1,2()()(EXxpdxIxId,331201017( 13222,1),2()()(EXxpdxIxId,434130 0157( 346.2()7/
2、6/DXE3. 某种彩票中奖的概率是 0.1,连续地购买这种彩票,设直到第 张彩票才获奖.求X的期望与方差.X解 有分布 习题 3-2, .1()0.9kPXk2,121110.() .91()kk kEX 2220.9k.131.()0.0.9k所以.2()190DXE4. 某小组有男生 4 人,女生 3 人,从中随机选出 2 人.设 为选到的女生的人数,求X的期望和方差.X解 有分布, , .2(0)76P434(1)767PX321()76P,20(2/(/)21/kEX,()14()8/k.228/7(60/9DEX5. 同时投掷 4 个骰子一次.约定没有掷出 6 点得 1 分,掷出
3、1 个 6 点得 5 分,掷出 2 个6 点得 25 分,掷出 3 个 6 点得 125 分,4 个 6 点得 625 分.问期望能得多少分? 解 有分布X,044(1)(/)52/PXC,134566,24()(/)/,3145/.04(6)()6/PXC1)52)25(6)EXPXPX.4(624151/816. 某人携带 5 发子弹射击一目标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命中目标的概率是 ,问他平均会射击几次?p解 1 设 , 有分布qX, , .1()kPq2344(5)PXq541141 15k kk kEpq习题 3-323234145qqq.解 2 设 , 有
4、分布pX, , .1()kPpq2344(5)PXq因为对于 ,|1x.545444 2111() ()kkkxxx所以45541441()51kk qEXPpq.4 2323q q7. 设随机变量 的概率密度为 .求 和 .X(1,)2()pxIxEXD解 ,sin1/ /2icossin() 0ntdtdtdExp 22si/221i() 1sxttX,/2/ /22 /1sin co1(sin)24tdtttd .21/DXE8. 设随机变量 的概率密度为 ,求 和 .X|12(),xpeEXD解 1 ,0| 01() 2xxExpddded,0 001122xxxeeee,01xttd
5、d故 .EX222| 22001() 2xxxxxpeedeed,000ed故习题 3-4.2()DXE解 2 由于 , ,故2lim01/xxe211xd.|0xeed又由于 是奇函数,故|2xe.|1()02xEXxpded222| 2001() 2xxEXxpde ed ,000xxxede故.2()DXE9. 在赌场上,赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷 3 个骰子一次,并获取一笔奖金,奖金的数目(元)等于 3 个骰子掷出的的点数的乘积.如果每个筹码的价钱是 45 元,那么赌场老板平均每次可以获利多少?解 分别以 , 和 记 3 个骰子掷出的的点数,则1X2.(12456)/3.
6、EX123YX以 这些点数的乘积,即 ,赌场老板平均每次的获利是Y3Y.1245.4.875E10. 对某一目标进行射击,直到击中 次为止.如果每次射击的命中率为 ,求需要射击r p次数的期望与方差.解 1 分别以 记第 1 次击中需要射击次数,第 1 次击中后开始到第 2 次击中需1,rX要射击次数, ,第 次击中后开始到第 次击中需要射击次数.对 , 有分 r1ir iX布, ,1()kiPXpq2其中 .因而1qp,12()()kiikEXk,22213211 1()ki ik qPXpqpqp .()/iiiDq习题 3-5以 记需要射击的次数,则 ,Y1rYX, .1/rEEp 21
7、/rDYXqp解 2 以 记需要射击的次数,则 有分布, .1()rkrrkkPCqq1,()!krkrr krYpq()()!(1)!()(1)!1!r nk kqkr kr rqp pq .()!()!rrrqpp,22 11()rkrkrkrkr kEYPYCqCpq上式中,1/rkrkp1()!()rr krkkr rCpqq (1)1()!(1)!()(1)!rrkrkkr r qp p,12()()!()!rrrqpq因而, .22(1)rrEYp 222()rqrDYEpp解 3 以 记需要射击的次数,则 有分布, .11()rkrrkkPCqq 1,r根据命题 2.2.1,.1
8、()rkrkrkYCp分别以 和 代替上式的 ,则分别有1r2.*111*1krrrkrrkrk kCpqqCpq .22 22*kkr rrp下面利用上面的两个等式来求 的期望和方差.Y1(1)!()rkr rkkrkkrEYPqpq .1!()rr rpCpp习题 3-6,22 11()()rkrrkrkrkrEYPYCpqCpq上式中,1/rkrkCpq(1)!() rkkr krpq122 2 21(1)! (1)rkrkkrpqCp p由此得,22(1)rrqEYp因而.222()rrDp11. 设 服从 分布,即它的密度为X,11(0,)()(XpxxIx其中 .求 和 .(提示:
9、称 为 函数,由微积分0,ED1,)stBtud的知识知 )()()/Bsttst解 (见 p.239,命题 2.1)12. 分别以下的几种情况,求 的均值.请用两种方法分别计算,即利用 1.102ZXY式直接计算,以及先求 的密度,再利用 1.4 式计算.1) 有联合密度 .(,XY21()xypxye2) 有联合密度 ., (),3) 有联合密度 ,其中 .(, 2()(,)4(xyDpxyeI(,):0,)xy解 1) 方法 1 222(0,)1()( xyZ XYzFzPzXYzIzed,cosin2(0,) (0,) (0,)01 (2xry zrrzIzdeI eIz ,(,)()
10、zZpFe习题 3-7.20()(3)2zZEzpded方法 222(,)EZXYxyxy.2cosin2201 1(3)2r redde 2) 方法 1 222(0,)()( xyZ XYzFzPzXYzIz,2 2cosin2(0,) (0,) (0,)01 (1xry zr rzIzdeIedeI ,2(,)()zZpF.21/00() (3/2)/tztEZzdededz 方法 2 22(,)XYxypxy2 2cosin2()0111r rxyedded .2/00(3/)/rttedz3) 方法 1 222 ()(0,)()( 4(,xyZ DXYzFzPzXYzIzeIdxy2c
11、osin/233(0,) (0,)04sincoxry zr rIzdeI,22(,) (,)(1tzze,3(0,)2ZpzFzI.243/20() (5/2)3/4zttZEdeded 方法 2 22(,)XYxypxy2 2cosin/2() 4004(, 4icosry rDxeIdded 习题 3-8.243/200(5/2)3/4rttedzed13. 设 ,求 .2()XNnEX解 .01Epxd由于 是奇函数, ,故2/e2/()/200xtxteded.1 /()0xXp当 时,2n2 21/()2/()()n nnx xXExpdedde.2 221/()2/()21()n
12、xneeEX 由此得.0(1)3nnEX 为 奇 数为 偶 数14. 设球的直径服从 上的均匀分布,求球体积的期望.ab解 设球的直径为 ,球的体积为 .则 , 有密度 ,而XY36X,1()()XabpxIx.4433111()()66()2()2()bXa aEYxpdxdb15. 点随机地落在中心在原点、半径为 的圆周上,并对弧长是均匀分布的.求落点横R坐标的期望和方差.解 从点 沿反时针方向到落点的弧长为 ,落点横坐标为 ,则 , 有(1,0) SXcos2SR密度 .因而,2()SpsIs,220 011coco()cossin2SEXRRpsdRd222 0s()cSS.20 0(
13、1co)sinco44ds.22()/DXER习题 3-916. 设 , ,其中 , .求 的密度,期望和方差.2()XNXYa01aY解 .)()YFyPy当 时, , .0)0Yy(YpF当 , 时, ,a(ln/)1(ln/)XPaFya.2(l/n)/()()l)/(l2YXpye当 , 时, ,0y(l/)(/l)YXFy.2(ln/)/()()ln)/(nlyaYXapyae由上知 有密度.2(ln/)/()0,|l()(l)/ ()2yaYXpyFyeIyy17. 设轮船横向摇摆的振幅 是随机变量,有密度 .求 和2/(0,)()xpAeIxA的期望和方差,并求振幅大于其期望的概率.X解 2/(0,)1()xpxdAeIxd.2/()/() 20t tAeeA故 .21/2/(0,
