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1、第一部分 一元函数微积分第一章 函数【考试要求】1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法；2. 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；4. 掌握基本初等函数的性质及其图形；会建立简单应用问题中的函数关系【基本知识点】一、函数（1）定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于 D 中的每个值 x，变量 y 按照一定的法则有一个确定的值 y 与之对应，称变量 y 为变量 x 的函数，记作 y=f (x)。数集 D 称为函数的定义域，y 的范围称为函数的值域，定义域由函数对应法则或实际问题的要求来确定。（2）函数的
2、两要素：定义域和对应规则。定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.a) 根据函数的表达式的意义而确定，称为自然定义域例如：函数 的定义域为 214yx2Dxb) 根据问题的实际意义确定例如：圆的面积公式为 ，半径 的取值范围为 2Sr0,（3）函数的表示法：解析法、图像法和列表法。（4）分段函数： 。021),()(xfxf（5）隐函数： 。例如：y12y（6）函数的性质1）奇偶性：若 ，则称 为奇函数；)()(xff)(xf若 ，则称 为偶函数。 2）单调性：任意给定 ，若 ，则称 为单调增函数；若21x)(21xff)(xf，则称 为单调减函数。)(ff3）周期性：设函数 的定义域
3、为 ，如果存在一个不为零的数 ，使得对于任()fxDl一 ， 且 恒成立，则称 为周期函lfxlf()fx数， 称为 的周期 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）l()f4）有界性：对于任意的 x，如果存在 M0，成立 ，则称 为有界函Mxf|)(| )(xf数。（7）反函数与复合函数1）反函数：原来函数的逆映射，从值域到定义域。注：a） 的定义域为 ，值域为 1()yfxYXb） 与 的图像关于 对称()yfxyx c）求反函数的一般步骤为从 解出 ，再将 换成 ， 换成 ()yfxxyx2）复合函数： 。)(xgfy例：设 ， 而，()lusin则它们构成的复合函数为 lgsiyfx例
4、：设 ，而 ，代入后 因()lg2yfulgsin2yx定义域为空集，所以它们不能构成复合函数二、初等函数1）基本初等函数（5 类）幂函数： ；xy指数函数： ；xay对数函数： ；)1,0(logaxya三角函数：正、余弦；正余切；正余割；正弦函数 sinyx余弦函数 cosyx正切函数 tanyx余切函数 cotyx正割函数 1secoyx余割函数 1csinyx反三角函数反正弦函数 arcsinyx反余弦函数 arcosyx反正切函数 arctnyx 反余切函数 arcotyx反三角函数： 。xarcyxyxyxy ot,arctn,arcos,arcsin2）初等函数：常数和基本初等函
5、数的有限次四则运算和复合。【典型例题】例 1 求下列函数的定义域（1） xy)1(（2） 2ln（3） 2)3ln(1)3(1xxy例 2 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域f,0 )31()(xffg小结：确定定义域的主要思路：1. 分式函数的分母不能为零2. 无理函数的偶次根号内的被开发部分不能为负3. 对数函数的真数部分严格大于零4. 由 的定义域 ，确定 的定义域，可令 ，此不等)(xfba， )(xgf bxga)(式的解即为 的定义域)(gf5. 反正弦函数和反余弦函数的定义域-1，1例 3 研究下列函数的奇偶性（1） ，)1ln()2xxf（2） e（3） 偶函数)(2)x
6、xf例 4 已知函数 的周期是 ，求函数 的周期f2)21()xfg例 5 求函数 的反函数1xy例 6 设 ，求 的表达式0,3)(2)(3xff )(xf例 7 已知 , 求 的表达式f例 8 已知 ，求 的表达式)1()(xf )(1,)(xff例 9 已知 求 .2,4)(,0)(gf )(fg第二章 极限【考试要求】数列的极限，函数的极限，极限的运算法则，极限存在的两个准则与两个重要极限，无穷小与无穷大【基本知识点】一、数列的极限1. 数列：自变量取正整数的函数称为数列。记做 或 ， 通常称为通)(nfxxn项或一般项。2. 数列的极限：随着 n 的增大， 无限趋近于某个确定的数。n
7、x3. 极限存在的两个准则：(1) 单调有界有极限定理；(2) 夹逼准则 如果数列 及 满足下列条件：,nxynz(1) ；(1,23)(2) ；lim,linnyaz那么数列 的极限存在，且 xlixa4. 数列极限的性质极限的唯一性；绝对收敛性；收敛数列的有界性；保序性。二、函数极限1. 时的极限 ： 且xAxf)(limAxfx)(li Axfx)(lim2. 时的极限： 且 ；00003. 函数极限的四则运算；)(lixgf )(li)(lixgf；.)(lim)(li4. 复合函数的极限：设 又 则有,0ax,)(limAuf )(lim0xfxAufa)(li5. 两个重要极限：
8、exxx1li;snli0 1lim1)ln(i;)1(lisil 000 e6. 无穷大量、无穷小量(1）无穷大量：极限为无穷大的量。注意：a) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆；b) 切勿将 认为极限存在0lim()xfc) 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大(2）无穷小量：极限为 0 的量。定理：在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍为无穷小注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小定理 3：有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论：在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论：常数与无穷小的乘积是无穷小推论：有限个无穷小的乘积也是无穷小(3）常用等价无穷小如果 ，就说
9、与 是同阶的无穷小；lim0C特殊地，如果 ，则称 与 是等价的无穷小，记作 li1常用等价无穷小：当 时，xsintarcsinartln(1)xx, 。21(1),(o),0aexnxn1注意：(1)不能滥用等价无穷小代换(2)切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换【典型例题】例 1 求下列极限的值（1） 28lim3x（2） 214lim3x（3） li21x（4） 14753li2x小结：当 和 为非负整数时有0,abmn010 ,lim,mnx nabxb 当当 当无穷小分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子，分母，以分出无穷小，然后再求极限（5）
10、)21(lim2nn（6） xx31（7） 24li2x（8） )(mxax（9） x1sinl（10） xil0（11） 302sin1ilmxx（12）xx21li（13） xsin)(l0（14） xx2italm30（15） xxcos1lim0（16） nn132li（17） |si1li40xex（18） 123limxx例 2 已知 ，求 的值lieaxa例 3 已知 ，求 的值0)12(libxx b,例 4 若 ， ，求 与 的值 0k)tan(limcosekka例 5 201,(),li(xxf f求第三章 函数的连续性【考试要求】 理解函数连续性概念，会判断函数间断点的
11、类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质【基本知识点】一、函数连续性的基本概念（1）连续及连续点： )(lim00xfx（2）左、右连续： )(li,)( 00xff 定理：函数 在 处连续的充要条件是： 在 处既是左连续又是右连续。)(xf0)(f（3）间断点及其分类第一类：左、右极限都存在可去型：左右极限相等，但 ，或 在点 处无定义。00lim()()xfAfx()f0x跳跃型：左、右极限不等。第二类：非一类（左、右极限中至少有一个不存在） 。二、连续函数的性质（1）四则运算（2）反函数的连续性（3）复合函数的连续性（4）初等函数的连续性：
12、初等函数在其定义域区间上连续。（5）闭区间上连续函数的性质1）有界性：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界2）最大、最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值3）零点存在定理：设函数 在 上连续，且 ，则存在)(xf,ba0)(bfa，使得 。即方程 在 内至少存在一个实根),(ba0)(f 0(,)4）介值定理：设函数 在 上连续， 满足 ，f, ,21x)(21xff则对任意的 ，都存在介于 与 之间的 ，)(1fxc使得 。cf【典型例题】例 1 研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型（1） 0,1,sin)(xxf（2） ，,lim)(fn（3） ，xef213)(（4）
13、 ，0,1,0,1)( xfx(5) 在 的连续性,2()1,xfx讨论函数 在 处的连续性,0,()xf讨论函数 在 处的连续性1()sinfx例 2 已知函数 在 上连续，求 的值2,4)(2xaf ),(a例 3 已知函数 在 上连续，求 的值1lim)(nnbxf ),(b,例 4证明方程 在区间 内至少有一根32410(,)例 5设函数 在区间 上连续，且 ， 证明总存在 ，()fx,abfa()fb(,)ab使得 习题巩固1. 函数 的定义域为： .14arctn2yx2. 函数 的定义域为： 16l3. 函数 的定义域： .)3arcsi(xy4. 函数 ， 的反函数： .12i
14、n6,5. 已知 为常数, ,则 , .ba312lim2ban ab6. 已知 ，则 ， ,0()xf0li()xf0lim()xf7. 函数 的间断点为： ，属于 间断点21, 45yx8. 函数 的间断点为： ，其属于 间断点2319. 设函数 是 内的连续函数，则 ,0()xefa(,)a10. .11lim()23(nn11.求下列函数的极限（1）20li1x（2） 2cot0lim(3tan)xx（3） 12lixx（4） 30tansilix（5） (14)mix（6） l2x（7）211lim3nn12.确定常数 使下列函数连续：ba,.0 ,)(xexf13.证明方程 至少有一个小于 1 的正根3214答案：1. 2. 3. 4. 5. ,(,2)(,(0,),2,41arcsi
