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1、有关弹簧问题的专题复习纵观历年高考试题,和弹簧有关的物理试题占有相当的比重,高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题,这类试题涉及到静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能关系问题,几乎贯穿于整个力学知识体系,为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法,同时也想借助于弹簧问题,将整个力学知识有机地结合起来,让同学们对整个力学知识体系有完整的认识,特将有关弹簧问题分类研究如下.一、弹簧中的静力学问题在含有弹簧的静力学问题中,当弹簧所处的状态没有明确给出时,必须考虑到弹簧既可以处于拉伸状态,也可以处于压缩状态,必须全面分析各种可能性,以防以偏概全.【例 1】（2002 年广东省高考题
2、）如图所示,a、b、c 为三个物块,M 、N为两个轻质弹簧,R 为跨过光滑定滑轮的轻绳,它们均处于平衡状态.则:（ ）A.有可能 N 处于拉伸状态而 M 处于压缩状态B.有可能 N 处于压缩状态而 M 处于拉伸状态C.有可能 N 处于不伸不缩状态而 M 处于拉伸状态D.有可能 N 处于拉伸状态而 M 处于不伸不缩状态【解析】研究 a、N、c 系统由于处于平衡状态,N 可能处于拉伸状态,而 M 可能处于不伸不缩状态或压缩状态;研究 a、M、b 系统由于处于平衡状态,M 可能处于压缩状态(或处于不伸不缩状态),而 N 可能处于不伸不缩状态或拉伸状态.综合分析,本题只有A、D 正确.【例 2】.如图
3、所示,重力为 G 的质点 M 与三根相同的轻质弹簧相连,静止时,相邻两弹簧间的夹角均为 120 ,已知弹簧 A、B 对质点的作用力均为 2G,则弹簧 C 对质点的作用力大小可能为（ ）A.2G B.G C.0 D.3G【解析】弹簧 A、B 对 M 的作用力有两种情况：一是拉伸时对 M 的拉力,二是压缩时对 M 的弹力.若 A、B 两弹簧都被拉伸,两弹簧拉力与质点 M 重力的合力方向一定竖直向下,大小为 3G,此时弹簧 C 必被拉伸 ,对 M 有竖直向上的大小为 3G 的拉力,才能使 M 处于平衡状态.若 A、B 两弹簧都被压缩,同理可知弹簧 C 对 M 有竖直向下的大小为 G 的弹力.A、B
4、两弹簧不可能一个被拉伸,一个被压缩,否则在题设条件下 M 不可能平衡.故本题选 B、D.【例 3】（1999 年全国高考题）如图所示,两木块的质量分别为 m1 和 m2,两轻质弹簧的劲度系数分别为 k1 和 k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接）,整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面的木块,直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（ ）A. B. C. D.1kgm1221kgm2【解析】原来系统处于平衡态则下面弹簧被压缩 x1则有： ;当上面的木块刚离开上面的弹簧时,上面的弹簧显然为gmxk212原长,此时对下面的木块 m2 则有： ,因此下面的木块移动的距离为gxk22,
5、故本题选 C.211kx【注意】缓慢向上提,说明整个系统一直处于动态平衡过程.二弹簧中的动力学问题有关弹簧问题的动力学问题,同学们应注意以下几个问题：一是因弹簧的弹力是变力,物体在弹簧弹力（通常还要考虑物体的重力）作用下做变加速运动,掌握这类问题的动态情景分析是解答这类问题的关键.二是要注意弹簧是弹性体,形变的发生和恢复都需要一定的时间,即弹簧的弹力不能突变.三是要注意弹簧问题的多解性.1. 在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解【例 4】一个轻弹簧一端 B 固定,另一端 C 与细绳的一端共同拉住一个质量为 m 的小球,绳的另一端 A 也固定,如图所示,且 AC、BC 与竖直方向夹角分别为,则（ ）
6、21、A. 烧断细绳瞬间,小球的加速度 2singaB.烧断细绳瞬间,小球的加速度 21iC.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度 21singaD.在处弹簧与小球脱开瞬间,小球的加速度【解析】在绳子烧断前,小球受力平衡,据拉密原理可知：,故 ,.2121sinisinmgFAB 21singFB21sinmgFA烧断细绳瞬间, 消失,而 尚未变化（弹簧形变需时间,认为这一瞬间不变）,此时合力与 等大反向,加速度为 ；弹簧与球脱开时,AF21singaA消失, 发生突变,此时重力与绳子拉力的合力为: .方向与 ACB 1sinmgF、垂直,所以 .故本题选 B、D.1singa【说明】解答这类
7、题型的关键要注意细绳和轻弹簧两种模型的区别：细绳的张力可以发生突变,弹簧的弹力不能发生突变.；但当弹簧的一端不与有质量的物体连接时,轻弹簧的形变也不需要时间,弹力也可以发生突变（因轻弹簧的质量为零,其加速度为无穷大）【例 5】如图所示,物块 B 和 C 分别连接在轻弹簧的两端,将其静置于吊篮 A的水平底板上,已知 A、B、C 三者质量相等且为 m.则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间,吊篮 A、物块 B 和 C 的瞬时加速度分别为（ ）A.g、g、g B.g、g、0 C.1.5g、1.5g、0 D.g、2g、0【解析】对物块 C 在轻绳烧断的瞬间,其受力情况不变,故其瞬时加速度为零.而对于吊篮 A 和物
8、块 B,由于它们是刚性接触 ,它们之间的相互作用力可发生突变,因此在轻绳烧断的瞬间 A 和 B 的加速度相等. 研究 A、B、C 系统, 由牛顿定律可知： mag23gaBA5.1因此本题的正确选项为 C.【说明】注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别【例 6】如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块 P、Q, 它们的质量均为 2kg,均处于静止状态.若突然将一个大小为 10N、方向竖直向下的力施加在物块 P 上,则此瞬间,P 对 Q 压力的大小为（g取 10m/s2）（ ）A.5N B.15N C.25N D.35N.【解析】在物块 P 上突然施加一个竖直向下的力的瞬间 P
9、 和 Q的加速度相等.研究 P、Q 系统,据 maF22/5.smP研究 P 物块 ,据 .NmaNFg5因此 P 对 Q 的压力大小为 25N.故本题正确选项为 C【练习】如图所示, 绳子 OO1 挂着匣子 C,匣内又用绳子挂着 A 球,A 的下方用轻弹簧挂着 B 球,A、B、C 三个物体的质量都是 m,原来都处于静止状态,当绳子 OO1 被烧断瞬间,试求三个物体的瞬时加速度.(aB=0;aA=ac=1.5g)2. 物体在弹簧弹力作用下的动态分析【例 7】（2001 年上海市高考试题）如图所示,一只升降机在箱底装有若干个弹簧,设在某次事故中,升降机吊索在空中断裂,忽略摩擦力,则升降机在从弹簧
10、下端触地后直到最低点的一段运动过程中（ ）A ,升降机的速度不断减小 B. 升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 .【解析】升降机从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程可分为三个阶段：mgN（N 为弹簧的弹力）,据可知,加速度 a 随着形变量 x 的增大而减小,故此阶段升降mkxga机做加速度减小的加速运动；mg=N 时,速度达到 vm；mgN,据可知,加速度 a 随着形变量 x 的增大而增大,故此阶段升降机做加速度增大的减速运动,最低点时 v=0,由以上分析知 A、B 错,由动能定理
11、可知选项 C正确.做出升降机全过程的速度图象如图所示,由图易知选项 D 也正确.3. 物体在弹簧弹力作用下的运动分析【例 8】如图所示,一劲度系数为 k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12kg 的物体 A、B.物体 A、B 和轻弹簧竖立静止在水平面上,现要施加一竖直向上的力 F 作用在上面物体 A 上,使物体 A开始向上做匀加速运动,经 0.4s,物体 B 刚要离开地面 ,设整个过程弹簧均处于弹性限度内.求：此过程中所加外力 F 的最大值和最小值：此过程中外力 F 所做的功.【解析】设物体 A 刚要开始运动时弹簧的压缩量为 x1,尚未施加外力 F 时,研究物体 A,则有 .当
12、施加外力 F(物体mgkx1A 刚要做匀加速运动时,外力 F 为最小,此时对物体 A 有：.(即 )magkx1 a1设物体 B 刚要离地时,弹簧的伸长量为 x2,此时所施加的外力 F2 最大.此时研究物体 B,则有 （此时地面弹力恰为零）.2研究物体 A,则有 , .agkxF2 221at代入数据可得： . . .m15021N451F852.由于物体 A 刚要开始运动时弹簧的压缩量 x1 和物体 B 刚要离地时弹簧的伸长量 x2 相等,可知这两个状态弹簧的弹性势能相等,因此此过程中外力 F所做的功为:.JatmgW549211【例 9】一名宇航员抵达一个半径为 r 的星球表面, 为了测定
13、该星球的质量 M, 他做了如下实验: 取一根细线穿过光滑的细直管,细线的一端拴一个质量为 m 的小球, 另一端连接在一固定的测力计上, 手握细直管转动小球, 使之在竖直平面内做完整的圆周运动,并观察测力计的读数发现:小球运动到圆周的最高点和最低点时测力计的示数差为 F.已知万有引力常量为 G,试求出该星球的质量 M【解析】 若设小球在圆周的最高点和最低点时, 绳的拉力大小分别为 和 ,速度大小分别为 和 .设圆运动1F21v2半径为 R则在最高点时有: , Rvmg211在最低点时有: , F22又: , 12小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒, 由此可得: 又据 ,Rmgv21 2rMm
14、Gg由可得: .F62【例 10】两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间,箱子只能沿竖直方向运动,如图所示,两弹簧原长均为 0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以 a=2.0m/s2的加速度匀减速上升时,上、下弹簧的长度分别为 0.70m 和 0.60m(g=10m/s2).若上顶板压力是下底板压力的四分之一,试判断箱的运动情况.【解析】由题意可知上、下两弹簧均处于压缩状态.不仿令下、上弹簧的弹力分别为 N1 和 N2 则据胡克定律可得:N1=60 (0.80-0.60)=12.0N,N2=60 =6.0N.)70.8.(设向下为正方向,当金属块以 2.0m/s2 的加速
15、度匀减速上升时,由牛顿第二定律得: .解之 m=0.75kg.mag12因弹簧总长度不变, 则 ).(30.16.70.21 mll 上顶板压力为下底板压力的 1/4 时, 设上、下弹簧的压缩量分别为 和 ,则2x1,由 , .则 =14.4N. 214xlxl205.2Nkx2 14据 ,得 .12maNg2/4.s因此箱子以大小为 4.4m/s 的加速度上升或减速下降.2【例 11】如图所示,质量为 M 的木块放在水平面上,一轻弹簧下端固定在木块上,上端固定一个质量为 m 的小球.小球上下振动时,木块始终没有跳起.问：在木块对地面压力为零的瞬间,小球加速度多大？在小球上下振动的全过程中,木块对地面的最大压力多大？【解析】木块对地面压力为零的瞬间, 显然小球振动到最高点时, 此时小球的加速度向下.研究 m 和 M 系统,由牛顿第二定律可知 agga在小球上下振动的全过程中,当小球运动到最低点时,木块对地面的压力最大,此时对 m 和 M 系统有： .gN据弹簧的对称性原理可知,小球在振动的最低点和最高点加速度大小相等. 将代入到可得: 2三、弹簧连接体问题【例 12】如图所示,一轻弹簧连接两滑块 A 和 B,已知 mA=0.99kg,mB=3kg,放在光滑
