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1、信号与线性系统题解 阎鸿森 第六章 习题答案1. 用定义计算下列信号的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。(a) (b) (c) (d) (),0ateu(),0ateu(),0ateucos()tu(e) (f) (g) costtsintct,ba和 为 实 数(h) 23,()0text解：(a) ，见图 (a)1,Rsa(b) , 见图(a)2,e()(c) ,见图(b)1,sa(d) , 见图(c)2,Rec(e) ,见图(d)2osin,0cs(f) ,见图(e)2,Re()caas(g) ,整个 s 平面21|be(h) ,见图(f),Re33sja0(a) j0a(b)
2、j0(c)j0(d)aj(e)23j(f)2. 用定义计算图 P6.2 所示各信号的拉氏变换式。X ( t )1Tt0(a)12X ( t )1 2 3t(b)Tt1X ( t )(c)1TtX ( t )0(d)1T / 2tX ( t )T(e)0X ( t ) tsint(f)解： (a) 0 222sin11()st sTst sed etutede 01()stsTde(b) 12301223231()()()stststsssssedee(c) 2011()TstsTsTede(d)02 2()111()()()TstssTsTsTteeee(e) 22 22()()()sTs s
3、sX (f)s 0 222in11()st sTst sed etutede 3. 对图 P6.3 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。(a) x(t)的傅立叶变换存在。 (b) 的傅立叶变换存在2()tx(c) (d) ()0,xt()0,5t解：(a) x(t)的傅立叶变换存在，则 应在 的收敛域内js()Xs图(a) 1Res图(b) 3图(c) es(b) 的傅立叶变换存在，则 s-2 轴一定在 的收敛域内2()tx ()xs图(a), Re1s图(b), 3图(c), es(c) x(t)=0,t0,则 x(t)为左边信号图(a), R1图(b), e3s图(c), (d
4、) x(t)=0, t1图(b), Res3图(c), Res-14. 针对图 P6.4 所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： (a) 拉氏变换式。(b) 零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。解： 图(a) 拉氏变换为 ，k 为常数。(1)()3sXsk收敛域 时，信号为左边信号Re为 时，信号为右边信号。1s为 时，信号为双边信号3e图(b) 拉氏变换为21()()sXsk收敛域 时，信号为左边信号Re2 为 时，信号为右边信号。Re1s为 时，信号为双边信号2时 信 号 为 双 边 信 号时5. 在正文中我们提到，虽然拉氏变换的收敛性比傅立叶变换收敛性要强，但并不是任何
5、信号的拉氏变换都存在。对下列信号，判断拉氏变换是否存在。若存在，请求出其拉氏变换 及其收敛域(a) (b) (c) (d) (e) (f) ()tu()t2()teu2()t ()teu,0text解： (a) 存在 ，21sR0(b)(c) 存在 ，2()se2s(d) (e) (f)不存在6.若已知 ，收敛域为 ，试利用拉氏变换性质，求下列信号的拉氏变1()utsR0s换及其收敛域。(a) (b) (c) 2()teco)(tin()co()ttucos()ateut(d) (e) (f) sctusatceteT(g) (h) (i) (j) (k) ()teT()t2()t0()kat
6、2(1)tu(l) (m) (n) 0tu2costtusinctT(o) (p) 0sin()tcd1()(ate解： (a) 2,R0cs(b) 2,ecs(c) 2,R()css(d) 2,e0()c (e) 2(),Recss(f) (1)sTe(g) (1)2,Re(sTs(h) -1, (i) 1, es(j) 1ln,|sTaa(k) 23(),Re0es(l) 0(1)sTt(m) 23(),Re0css(n) 2(oc),Re0()sTceTs(o) 2,R0()css(p) 2,e()a7. 求图 P6.7 所示信号的拉氏变换式及收敛域。(a) 221(),R0sse(b)
7、 1essa(c) 02,est(d) 24(1),R0s(e) 22 2222(cosin),Re0(1)()(1)1,Re0cc ccsTc csssccseTss (f) 22(1),e(1)TTsse(g) 1() ()242s ssee 8. 计算下列 X(s)的拉氏反变换：(a) 23,Re0(1)4ssco()ttu(b) 23,e04ss1()(tt(c) 2,Re3()3ss3215()2(9()4t teuteuT(d) 2,R6ss32()()tteu(e) 231,ss()(teu(f) 21,Re156ssco()tut(g) 321,e04ss32cos()in()
8、()505ttutu(h) 321,Re2 3()2()ttut(i) 2,1e0ss2341()cos()sin()2t tsuteuteu(j) 21,R09sin3()tu9. 已知 LTI 系统的系统函数 H(s)及输入 x(t)，求系统的响应 y(t).(a) 2(),()68sHxtu(b) 24,()(3)tes(c) 22),()(9)txu(d) 21,56tsHe解： (a) 351()8484s2()()ttytuteu (b) 22413()()sHss)()tttytueue(c) 1()sin3(t(d) 231)()tttytee10. 计算下列微积分方程描述的因
9、果系统的系统函数 。若系统最初是松弛的，而且()Hs，求系统的响应 。()xtu()yt(a) 2()43()dytdxttt(b) 2()()5ttytt如果 为 ，系统的响应 y(t)又是什么？()x()teu解： (a) 13Hs()()tytte(b) 245s()in()tyeu当输入 时，t(a) 31()()()2ttyte(b) 22cossin()3tt tuueu11. 已知 LTI 因果系统的输入 ，单位冲激响应 。()()tx()()theu(a) 用时域分析法求系统响应 y(t).(b) 用复频域分析法求系统响应 y(t)解： (a)2()()(1)t ttyteud
10、eu(b) 21()()ttYssyeu12. 某 LTI 系统的有理系统函数 H(s)的零极点及收敛域如图 P6.12 所示，若 H(0)1。求： (a) 求产生此输出的输入信号 x(t).(c) 若已知 ，求输出信号 x(t).,|()xtd(d) 已知一稳定系统，当输出 时，输出为上述 中的一个，确定是哪一个？2()teu()xt求出系统的单位冲激响应。解：(a) 3(2)()16sH(b) 0()()5ss(c) 2()1()H(d) ()()ss13. 已知因果全通系统的系统函数 ，输出信号1()sH2()()tyeu(a) 求产生此输出的输入信号 x(t).(b) 若已知 ，求输出
11、信号 x(t).dt+ |x()(c) 已知一稳定系统当输入为 时，输出为上述 x(t)中的一个，确定是哪个？求出2()teu系统的单位冲激响应 h(t).解：(a) 。 ，2()xt12HsRe2s()1)(2YsXHs由于 的 ROC 为 ， 的 ROC 为 或1()ReRe1s若 ，则OC为 -22tt， 分别如图 PS6.13(a),(b)所示：1()xt2t(a)(b)(b)若 ，则只能是dt+ |x() 1()xt即： 21(3tteu(c) 这就是(a) 中系统的逆系统。(),()(121ssXsYSHH由于系统稳定 ROC 为 )cutRe()2(thte的 ROC 为 的 R
12、OC 为Ys2,()sXs2Re1s21()()3ttxteu2*()*tttyheu当 t0 时， 02 2()21() ()3tt ttedeu当 t0 时的 和 .()cL解：(a) 01cu()3()ccduttt2cs()()tuteu(b) 3()tLLLdt 231()()()()()LLLtLususuteu21. 对图 P6.21(a)所示电路，起输入为图 P6.21(b)所示，当 时 ，0t()1cuV，求 t0 时的 。(0)Li()ct解：2()()1()cci cduttt ud221()()()21()scccscesseu2(1)2(1)()33tt tcteueu22. 图 P6.22 所示电路，在 t0 时的 及()citL23. 某系统如图 P6.23 所示，若电路达到稳定状态后，开关 K 转换，试求 K 转换后的响应。()cut
