例谈高考数学常考、易错、失分点之函数篇

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1、例谈高考数学常考、易错、失分点-函数篇【易错点 5】映射与函数例 5、已知函数 ，若集合 ，()yfxF(,)|(),AxyfxF，则 中所含元素的个数有 个(,)|1BxAB【易错点诊断】：此题误认为由于集合 A、B 均表示点集，故直线与一函数图像的交点个数有无穷多个，而忽略了函数的定义。解析：由于集合 A 表示函数 图像上的点构成的点集，集合 B 表示垂直()yfxF于 轴的直线 ，由于函数是一个特殊的映射，其自变量与函数的对应可以是一对一、x1多对一，但一对多不构成映射，故其元素个数只能是 0 个或 1 个。【迷津指点】函数 : A B 是特殊的映射，特殊在定义域 A 和值域 B 都是非

2、空数集！f因此理解函数的概念更多的可从映射的角度去理解和把握，据此可知函数图像与 轴的垂x线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。y例 6、若 都是定义在实数集 R 上的函数，且方程 有实数解，,fxg 0xfg则 不可能是（）A、 B、 C、 D、215x215x215x215x【易错点诊断】本题主要考查函数的概念，由于给定的条件较为抽象，学生易思维受阻，找不到解题思路，对抽象函数的解答应回归到函数的基本概念及性质上来，此题应从映射的角度来理解“对应法测”寻求解题思路。解析：由题意可知，存在 ，使 ，即 ，从函数定义出0x0fgx00xfg发，画出映射帮助思考，如图

3、从 A 到 B 再到 C 是由题意可得，如果继续对 C 集合中的 ，0x应用法则 ，则会得到 ，从 B 到 C 再到 D 的映射为 ，即存在g0x00fgx，使 ，即函数 过点 ，即方程 有解，0uxfugfx,ufx易知 在实数集 R 上无解故选 D。215【适用性练习】（1）函数 满足 ，则这样的函数个数共有:,3,2ffxf(A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个解析：答案：D；从映射角度明确两集合中元素的对应情况，若象有且只有一个，则这样的2映射对应函数均符合，这样的函数有 3 个，若象有且仅有 2 个，则必需相应的原象对应相同的数值,剩下一个可以任意对应，这样的映射即

4、函数共有 个，若象有三个,满36C足条件的函数只有 1 个即只能 1,2,3 分别对应于 1,2,3.综上满足条件的函数共有 10 个.（2）若函数 y= f（x-1）的反函数是 y= f -1（x-1），则下列等式成立的是（ ）A、f（x）= f（x-1） B、f（x）= -f（x-1）C、f（x）- f（x-1）=1 D、f（x）- f（x-1）= -1解析：由反函数的知识（或映射知识）易知 y= f-1（x-1）可等价推出 x-1=f(y),故其原函数为 y-1=f(x)也就是 y=1+f(x)而由题意知原函数为 y= f（x-1）故 y= f（x-1）=1+f(x)从而 f（x-1）-

5、f(x)=1，答案：D【易错点 6】已知 的定义域，确定 定义域类问题,求解函数一类问yfxyfx题要树立定义域优先的意识.例 7、已知函数 ，试求函数 的最大值。3()log2,19f2()gffx【易错点诊断】此题极易忽略函数 中 对定义域的限制，而错误的将函数x2f的定义域认为仍是 而导致错解。gx1,9解析：由于 的定义域为 ，故对于 自变量需满足()yfx,2()gxffx，故函数 的定义域为 ，从而2193xgx|13，由于 ，2233loglxx2 2333lo6lgloxxx1,3x故 ，故当 时函数取得最大值 13。0,11【迷津指点】复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,

6、其复合函数 的定()fxab()fgx义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，()agxbg相当于当 时，求 的值域（即 的定义域） 。在解答函数如函数的单调性、,奇偶性、值域、解析式等等一定要养成定义域优先的意识。【适用性练习】（1）已知函数 求函数 的单调递增区间. ,91,2log3xxf 2xffy答案: |（2）设 ，则 的定义域为()l2fx()ffx3A B C D(4,0)(,(4,1)(,(2,1)(,2解：f（x）的定义域是（2，2） ，故应有2 2 且2 2 解得4x1 或 1x4x故选 B（3）已知函数 的定义域为 A,函数 的定义域为 B,则（）1

7、xfyfA. B. C. D.AABAB(提示: , )答案:D|R1x且 |R1,0xx且【易错点 7】函数的图象变换例 8、设函数 定义在实数集上，则函数 与 的图象关于yfyf1yfxA、直线 对称 B、直线 对称 C、直线 对称 D、直线 对称00x1【易错点诊断】易误由题意得到 ，而套用结论若函数 满足1ffxfx则函数关于 对称的结论而得到函数关于直线 对称的错误fxafxa0结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。解析：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数 是由函数 的图1yfxyfx象向右平移一个单位得到，而 是由函数 的图象关于1yfxfy

8、轴对称得到 再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线 对称。yfx 1x故选 D【迷津指点】若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是 f(a-x)=f(a+x)。但若函数满足 y=f(a-x)和 y=f(a+x)，则它们的图像关于y 轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图像自身关于直线 x=a 对称，后者是两个函数图像关于 y 轴对称。函数图像关于直线对称，还有结论：函数 y=f(b-x)与 yf(ax)的图像关于直线 x=(b-a)/2 对称。函数 y=f(a-x)与 yf(x-a)，则 f(x)的图像关于直线xa 对称。函数图

9、像关于点对称，有结论：函数 y=f(x)满足 f(x)f(2a-x)2b(或 f(a+x)f(a-x)2b)，则 f(x)的图像关于点(a,b)对称。当 b0 时，函数 y=f(x)满足 f(2a-x)-f(x)，则 f(x)的图像关于点(a,0)对称。与周期函数联系，有结论：函数 y=f(x)满足f(x-a)f(xa)，则 2a 是 f(x)的一个周期。函数 y=f(x)满足 f(xa)-f(x)，则 2a 是f(x)的一个周期。函数 y=f(x)的图像关于直线 xa 和 xb 都对称，则 2(a-b)是 f(x)的一个周期。函数 y=f(x)的图像关于直线 xa 和点(b,c)都对称，则

10、4(a-b)是 f(x)的一个周期。以上结论，用于解客观题就是“秘密武器” ，用于解答题可以化繁为简。求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）4证明图像 与 的对称性，需证两方面：证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的1C2 1C对称点仍在 上；证明 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上。2 1C【适用性练习】（1）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则fxx12fxf5,f_。 （答案: ）5f15（2）已知二次函数 满足条件 且方程)0()(2abxxf )3()5

11、(xff有等根，则 _(答案： )； xf)( 2x（3）若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 _（答xy2)(gy )(xg案： ）276x（4）已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值(答()f(1)f()x1)f205)f案：993)；【易错点 8】求函数的定义域与求函数值域错位例 9、已知函数 （1）如果函数 的定22lg35fxmxmx fx义域为 R 求实数 m 的取值范围。 （2）如果函数 的值域为 R 求实数 m 的取值范围。f【易错点诊断】此题学生易忽视对 是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏32解。另一方面对两个问题中定义域为 R 和值域为 R 的含义

12、理解不透彻导致错解。解析：（1）据题意知若函数的定义域为 R 即对任意的 x 值恒成立，令22315mxmx0，当 =0 时，即 或 。经验证2g23m1m2当 时适合，当 时，据二次函数知识若对任意 x 值函数值大于零恒成立，13只需 解之得 或 综上所知 m 的取值范围为 或 。2019494（2）如果函数 的值域为 R 即对数的真数 能取到任fx22315xx意的正数，令 当 =0 时，即22315gmx或 。经验证当 时适合，当 时，据二次函数知识知要使的函数1m 0m5值取得所有正值只需 解之得 综上可知满足题意的 m 的取值范230m924m围是 。924【迷津指点】对于二次型函数

13、或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为 R 是两个不同的概念，前者是对任意的自变量 x 的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。【适用性练习】（1）已知函数 的定义域和值域分别为 R 试分别确定212faax满足条件的 a 的取值范围。答案：（1） 或 （2） 或31a（2）设集合 P=m|1m0，Q =mR| mx2+4mx40 对任意实数

14、x 恒成立，则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P=Q D.PQ =Q剖析：Q=mR|mx 2+4mx40 对任意实数 x 恒成立，对 m 分类：m=0 时，40 恒成立；m0 时，需 =（4m ） 24m （ 4）0，解得 m0.综合知m0，Q=mR|m0.答案：A(本题容易忽略对 m=0 的讨论，应引起大家足够的重视)【易错点 9】有关函数的单调性概念例 10、已知函数 在区间 上为增函数，且在区间 为增函数，则函数在yfx,ab,bc区间 上为（）,acA、必是增函数 B、必是减函数 C、不确定 D、不是增函数也不是减函数【易错点诊断】此题易选答案 A，判断函数的单调性应从单调性定义或函数的图象这两个角度来分析。解析：从单调性的定义可知设 ,由条件不能确定 与 的大小,如图12,xac1fx2f当【迷津指点】函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数 f（ x） ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数 f（ x） ，如函数值随自变量的