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1、1第六章 不等式、推理与证明本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、2立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小全国高考在这一章的命题上呈现以下特点：1考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解
2、答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占 10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现2重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查3对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据2不等
3、式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法 可作适当了解，但要控制量和度3解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合 起来4注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组 )，以快速、准确求解加强分类讨论思想的复习在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论复 习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏加强函数与方程思想在不等式中的应用训练不等式、函数、方程三者密不可
4、分，相互联系、互相转化如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够 重视5强化不等式的应用高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力如在实际问题应用中，主
5、要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误6利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等” 7要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的3类比问题关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这
6、一类题目是常考常新的推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现第一节不等关系与不等式基 础 回 顾一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“” “”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，
7、叫做不等式二、实数运算性质与大小顺序关系1abab0；2.ab ab0；3.abbb，bcac.3定理 3(同加性)：a b，c 为整式或实数acbc.4.定理 3 推论(叠加性)：Error!acbd.5定理 4(可乘性)：Error!acbc；Error!acbd.7定理 4 推论 2(可乘方性)：ab0a nbn(nN *且 n1)8定理 5(可开方性)：ab0 (nN *且 n1)na nb四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：ab，ab0 ，不能弱化条件得 ab .1a 1b 1a 1b五、正确处理带 等号的情况如由 ab，bc 或 ab，bc 均可得出 ac；而由 ab，bc 可
8、能有 ac，也可能有 ac，当且仅当 ab 且 bc 时，才会有 ac.注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“ ”型要注意4二者的区别基 础 自 测1已知 a0，b1，则下列不等式成立的是(C)Aa B. aab ab2 ab2 abC. a D. aab ab2 ab ab2解析：特殊值法，取 a1，b2，验证知 a 成立也可用作差比较法ab ab22若 01log 241；log 2b(log 2alog 2b1)1log 2 1log 230；23 13计算可知，ba 3a 2bab 2b 3，log 2blog2(a3a 2bab 2b 3)故选 B.3已知 a，
9、bR 且 ab，则下列不等式中一定成立的是(填序号) 1；a 2b 2；lg(ab)0； .ab (12)a (12)b 解析：令 a2，b1，则 ab， 2，故 1 不成立；令 a1，b2，则ab aba21，b 24，故 a2b 2不成立；当 ab 在区间(0，1)内时，lg(ab)0； f(x) 在(12)x R 上是减函数，ab，f(a)f(b)，即 .故正确(12)a (12)b 4ab0，m0，n0，则 ， ， 由大到小的顺序是 baabb ma m a nb n aba nb nb ma mba解析：取特殊值如 a2， b1，mn1，则 ， 2， ， .ba 12 ab b ma
10、 m 23 a nb n 32 .aba nb nb ma mba高考方向1.以选择题或填空题的形式考查不等式的性质及其应用.2.常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新型概念（定义）比较两个数的大小，题目难度不大.5品 味 高 考1设 a，b 为实数，则“0 .反过来若 b1，所以1a 1a“0b0，给出下列四个不等式：a 2b2；2 a2b1 ； ；a 3b 32a2b.a b a b其中一定成立的不等式为(填序号)解析：由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数；f(a)f(b1)，即2a2b1 ，成立；ab0， ，a
11、 b( )2( )22 2b2 ( )0，a b a b ab b a b ，成立；a b a b若 a3，b2，则 a3b 335，2a 2b36，a 3b 3bd”是“ab 且 cd”的(A)A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：易得 ab 且 cd 时必有 acbd.若 acbd 时，则可能有 ad 且 cb，故选A.3下列各式中错误的是(C)A0.8 30.73 Blog 0.50.4log0.50.6C0.75 0.1 lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决对于 A，构造幂函数 yx 3，为增函数，故 A 对；对于 B，D，构造对数函数
12、ylog 0.5x 为减函数，ylg x 为增函数，B，D 都正确；对于 C，构造指数函数 y0.75 x，为减函数，故 C 错4设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是(D)Aba0 Ba 3b 30Ca 2b 20 Dba0解析：a|b|0a|b|b，ab0.5设x表示不超过 x 的最大整数，又设 x，y 满足方程组 如果 x 不y 3x 13，y 4x 3 5， )是整数，那么 xy 的取值范围是(D)A(35，39) B(49，51) C(71，75) D(93，94)解析：x3x3，由 解得x20，y 3x 13，y 4x 3 5， )y73.x 不是整数，20y，ab，
13、则在axby，axby，axby， xbya， 这五个式子中，恒成立的所有aybx不等式的序号是解析：令 x2，y3，a3，b2，符合题设条件 xy，ab，ax3(2)5，by2(3)5，axby，因此不成立又ax6，by6，axby，因此也不正确又 1， 1，ay 3 3 bx 2 2 ，因此不正确ay bx由不等式的性质可推出成立9设 a2 ，b 2，c52 ，则 a，b，c 之间的大小关系为 cba5 5 5解析：a2 0 ，5 4 5b0.c52 0.5 25 20bc3 7 0.5 45 49cba.10已知 mR，ab1，f(x) ，试比较 f(a)与 f(b)的大小关系mxx 1
14、解析：f(a)f(b) ，ama 1 bmb 1 m（ b a）（ a 1） （ b 1）ab1，ba0，a10，b10，当 m0 时， 0，即 f(a)f(b)；m（ b a）（ a 1） （ b 1）当 m0 时，f(a)f(b)；8当 m0 时， 0，即 f(a)f(b)m（ b a）（ a 1） （ b 1）11设 f(x)ax 2bx 且 1f(1)2，2f(1)4，求 f(2)的取值范围解析：设 f(2)mf(1)nf(1)，则4a2bm(ab)n (ab)，即 4a2b(mn)a(mn)b， 解得m n 4，m n 2， ) m 3，n 1， )f(2)3f(1)f(1)，又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，5f(2)10.因此 f(2)的取值范围是5，10
