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1、北京市海淀区 2009 届高三二模数学试题（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.第卷（选择题 共 5、40 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知全集 等于（ )(,1|,21|, BACxBxARUU那 么集 合集 合 ）A B C D21|x或 |2|或
2、12|x2已知等比数列 的值为 （ ）642,aan那 么中 A1 B1 C3 D63 “a3”是“ ”的 （ ）3|A充分不必要条件 B既不充分也不必要条件C必要不充分条件 D充分不必要条件4在直角坐标系内，不等式组 所表示的平面区域（用阴影表示）是 （ ）0yx5函数 的图象 （ ）)23sin(xyA关于直线 对称 B关于直线 对称42xC关于直线 对称 D关于直线 对称8x 456 某班班会，准备从甲、乙等 7 名学生中派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序种数为 （ ）A360 B520 C600 D7207已知向量 的最小值为 （ ）)(|),21
3、(),( Rbaba则A B C D5525358已知抛物线 的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与抛物线交于 A、B 两点，若)0(2pxy点 A 的横坐标为 x0，则点 F 分有向线段 所成的比为 （ ）ABA B C D02p02px20px02第卷（共 110 分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.2答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填写在题中横线上.9 行业主管部门所属的企业有 800 家，按企业固定资产规模分为大型企业、中型企业、小型企业大、中、小型企业分别有 80 家，320 家和 400 家，该行业
4、主管部门要对所属企业的第一季度生产状况进行分层抽样调查，共抽查 100 家企业，其中大型企业中应抽查的企业数为 .10在 的展开式中，各项系数和为 .（用数字作答6)12(x11在 ABC 中，A、B 、C 所对的边长分别为 a、b、c.若 b=2asinB，则角 A 的大小为 .12已知函数 的图象经过原点，则不等式 的解集为 .xaf2)(43)(xf13如图，矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4 ，将ABD沿对角线 BD 折起到 A BD 的位置，使点 A在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边上，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 ；AD 与平面 ABC 所成的角的
5、大小为 .14如图，有一条长度为 2 的铁丝 AB，先将铁丝围成一个圆，使其两端点 A、B 恰好重合（如图） ，再把这个圆放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，3） ，圆心为C（0，2 ） ，铁丝 AB 上有一动点 M，且图中线段|AM|=m，在图形变化过程中，图中线段 AM 的长度对应于图中的弧 ADM 的长度，图中线段 AM 所在直线与 x 轴交点为N（n,0） ，当 ，n 等于 ；当 时，则图中 线段 AM 所在m5,2m直线的倾斜角的取值范围是 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.2009050715 （本小题共 12 分）已知
6、 .2tan（1 ） 的值；)4(（2 ） 的值.2cos)(si16 （本小题共 13 分）某校对每间教室的空气质量进行检测，分别在上午和下午各进行一次.空气质量每次检测结果分为 A 级、B 级和 C 级.若两次检测结果中有 C 级或都是 B 级，则该教室的空气质量不合格，已知每间教室空气质量每次检测结果为 A 级、 B 级和 C 级的概率分别为0.8， 0.1,0.1，且各次检测结果相互独立.（1）求每间教室的空气质量合格的概率；（2）对高三年级的三个教室进行检测，且各间教室的空气质量互不影响，求空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率.17 （本小题共 14 分）如图，直三棱柱 A1B1
7、C1ABC 中，D 、E 分别是 BC、A 1B1 的中点.（1）证明：BE/ 平面 A1DC1；（2）求 AB=BC=AA1=1， ABC=90求二面角 B1BC1E 的正切值.18 （本小题共 13 分）已知函数 ).()2axf（1 ）当 a=1 时，求 的极值；f（2 ）当 时，求 的单调区间 .0a)(x19 （本小题共 14 分）如图，四边形 ABCD 的顶点都在椭圆 上，对角线 AC、BD 互相垂直且平1362yx分于原点 O.（1 ）若点 A 在第一象限，直线 AB 的斜率为 1，求直线 AB 的方程；（2 ）求四边形 ABCD 面积的最小值 .20 （本小题共 14 分）数列
8、 ),321()3(,211 naann满 足（1）当 时，求实数 及 a3；2（2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求数列 的通项公式，若n na不存在，说明理由.（3）求数列 的通项公式.na参考答案20090507一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）14ABDC 58BDCD二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共30 分）9 1010 111 30或 150（只写一个答案扣 1 分）12 )2,(13 90 3014 0 65,4三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说
9、明，演算步骤或证明过程）15 （本小题 12 分）解：（I） 3 分2tan,1)4tan(5 分32)t(（II） cos1)(si9 分2in10 分cosi11 分21tan12 分516 （本小题 13 分）解：（I）设每间教室的空气质量合格为事件 A 1 分6 分8.01.28.0)( AP注：列式 3 分，结果 2 分答：每间教室的空气质量合格的概率为 0.8（II）设对高三年级的三个教室进行检测，空气质量合格的教室的间数恰好为两间为事件B .7 分13 分384.02.8)(123CP注：列式 3 分，结果 3 分答：空气质量合格的教室的间数恰好为两间的概率为 0.384.17
10、（本小题 14 分）方法 1：（I）证明：取 A1C1 的中点 F，连结 EF， DF 1 分E 中 A1B1 的中点12/F且又 四边形 BCC1B1 是矩形，D 是 BC 的中点， DE且,/四边形 EFDB 是平行四边形，4 分FB/ 1,1CACA平 面面 6 分/DE面（II）连结 B1C 交 BC1 于 O 点，连结 EO . 7 分90,901A即 .1又 1,BCEB平面 BC1B1 9 分1,A，且四边形 BCB1C1 是正方形，1C10 分,BO,11E平 面在平面 BC1B1 上的射影，为，COB11是二面角 B1BC1E 的平面角， 11 分E在直角 ,中,2,1OB
11、13 分2tan1EOB14 分.21的 正 切 值 为二 面 角 C方法 2：（I）证明同方法 1 6 分（II）以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系,1Axyz可得 7 分),20()1EC则 8 分,1B设平面 BEC1 的法向量为 ),(1zyxn由 01BCnE可得 9 分12zxy令 10 分),(,1n则又由 平面 B1BC1，A则平面 的法向量1C)0,1(2A12 分36|,cos2121 nn（注：公式、结果各一分）由图可知二面角 B1BC1E 小于 90所以二面角 的大小为 . 13 分C36arcos二面角 的正切值为 14 分EB1218 （本小题 13 分）解：（）
12、 232)()xxf1 分xf3)(2令 则 2 分023x32,1x（-， ）3（ ，0） 0 （0 ， + ）)(xf+ 0 0 + 极大值 极小值 4 分当 时， 5 分32x274)3()(fxf极 大 值当 时， 6 分00极 小 值（） =)(xf23a 7 分)(2x当 时，0a03令 0 得 或 8 分)(xfax232ax令 0 得 9 分 的单调增区间为（-，0） ， （ ，+） ，)(xf单调减区间为（0， ） 10 分32a当 时，a0令 0 得 或 11 分)(xfax20x令 0 得 12 分33 的单调增区间为 ， （0，+ ） ，)(xf ),(单调减区间为（
13、，0） 13 分2a综上可知，当 时， 的单调增区间为（-，0） ， （ ，+） ，)(xf 32a单调减区间为（0， ）3当 时， 的单调增区间为 ， （0，+）a)(xf )32,(a单调减区间为（ ，0）32a19 （本小题 14 分）解：（）设 A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，直线 AB 的方程为 1 分bxy四边形 ABCD 的顶点都在椭圆 上，136， ，即62yxb)(22bx 06242bx则 2 分098(123 分36,342121bxx 21212121 )()( bxy = 36346bb又 OAOB，所以 4 分021yxOBA 0312b ， 5
14、分42点 A 在第一象限 2b所以直线 AB 的方程为 6 分xy（）若直线 AB 轴，设其方程为 ，此时易知道直线 AC、BD 的方程分别0x为 ， ，且四边形 ABCD 是正方形，xy则 A（x 0， x0） ，B（x 0，x 0） ，2,1362四边形 ABCD 的面积 8 分84)(200xS若直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）mky，62yxmk6)(22kx即 9 分0624)12(2mkxk则 )362(8)(16 22 kmk= 03(822k10 分16,142221 kmxx 2121 )()( mxxky = 261246kkm又 所以,OBA 0126312621 kmkmyx11 分2km所以|AB| |)()( 2122121 xkyx1241212)36(812222 kkkm直角三角形 OAB 斜边 AB 上的高 2|h所以 1)4(2(1)4(2|1
