《北京市朝阳区2015届高考数学二模试卷（理科）含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市朝阳区2015届高考数学二模试卷（理科）含解析（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015 年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合 A=x|x21 ，集合 B=x|x（x 2）0 ，则 AB=（）Ax|1x2 Bx|x 2 Cx|0x2 Dx|x1，或 x22执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值是（）A7 B10 C66 D1663设 i 为虚数单位，mR，“复数 m（m1）+i 是纯虚数” 是“m=1”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4已知平面上三点 A，B，C，满足| |=6，| |=8，| |=10，则 +
2、+ =（）A48 B48 C100 D1005已知函数 f（x）=2sin（ x+ ），若对任意的实数 x，总有 f（x 1）f （x）f（x 2），则|x 1x2|的最小值是（）A2 B4 C D26已知双曲线 =1（a 0，b0）与抛物线 y2=4x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P若|PF|= ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= x By= 2x Cy= x Dy= x7已知函数 f（x）= ，xR，若对任意 （0， ，都有 f（sin ）+f（1 m）0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（0，1） B（0，2） C（ ，1） D（，18如图，将一张边长为 1 的正
3、方形纸 ABCD 折叠，使得点 B 始终落在边 AD 上，则折起部分面积的最小值为（）A B C D二、填空题：本小题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9（1 ） 4 展开式中含 x3 项的系数是10已知圆 C 的圆心在直线 xy=0 上，且圆 C 与两条直线 x+y=0 和 x+y12=0 都相切，则圆 C 的标准方程是 11如图，已知圆 B 的半径为 5，直线 AMN 与直线 ADC 为圆 B 的两条割线，且割线AMN 过圆心 B若 AM=2， CBD=60，则 AD=12某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为13已知点 A1（a 1，1），A 2（a 2，2），A n（a
4、 n，n）（nN *）在函数 y=log x 的图象上，则数列a n的通项公式为 ；设 O 为坐标原点，点 Mn（a n，0）（nN *），则OA 1M1，OA 2M2，OA nMn 中，面积的最大值是14设集合 A=（m 1，m 2， m3）|m 22，0，2，m i=1，2，3，集合 A 中所有元素的个数为；集合 A 中满足条件“ 2|m1|+|m2|+|m3|5”的元素个数为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15在梯形 ABCD 中，AB CD，CD=2 ，ADC=120，cosCAD= （）求 AC 的长；（）求梯形 ABCD 的
5、高16某学科测试中要求考生从 A，B，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有 600 名学生参加测试，选择 A，B，C 三题答卷数如表：题 A B C答卷数 180 300 120（）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽出若干份答卷，其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份，则应分别从选择 B，C 题作答的答卷中各抽出多少份？（）若在（）问中被抽出的答卷中，A ，B，C 三题答卷得优的份数都是 2，从被抽出的 A，B，C 三题答卷中再各抽出 1 份，求这 3 份答卷中恰有 1 份得优的概率；（）测试后的统计数据显示，B 题的答卷得优的
6、有 100 份，若以频率作为概率，在（）问中被抽出的选择 B 题作答的答卷中，记其中得优的份数为 X，求 X 的分布列及其数学期望 EX17如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD， DAB=90，AD=DC= AB=1直角梯形ABEF 可以通过直角梯形 ABCD 以直线 AB 为轴旋转得到，且平面 ABEF平面 ABCD（）求证：FA BC；（）求直线 BD 和平面 BCE 所成角的正弦值；（）设 H 为 BD 的中点，M，N 分别为线段 FD，AD 上的点（都不与点 D 重合）若直线 FD平面 MNH，求 MH 的长18已知点 M 为椭圆 C：3x 2+4y2=12 的右顶点，点 A，B
7、是椭圆 C 上不同的两点（均异于点 M），且满足直线 MA 与直线 MB 斜率之积为 （）求椭圆 C 的离心率及焦点坐标；（）试判断直线 AB 是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由19已知函数 f（x）=（x 2a）e x，aR（）当 a=0 时，求函数 f（ x）的单调区间；（）若在区间（1，2）上存在不相等的实数 m，n，使 f（m）=f（n）成立，求 a 的取值范围；（）若函数 f（x）有两个不同的极值点 x1，x 2，求证：f （x 1）f（x 2）4e 220已知数列，A n：a 1，a 2，a n（n2，n N*）是正整数 1，2，3，n 的一个全排列若对每个 k2，3，
8、n都有|a kak1|=2 或 3，则称 An 为 H 数列（）写出满足 a5=5 的所有 H 数列 A5；（）写出一个满足 a5k（k=1，2，403）的 H 数列 A2015 的通项公式；（）在 H 数列 A2015 中，记 bk=a5k（k=1，2，403）若数列 bk是公差为 d 的等差数列，求证：d=5 或 52015 年北京市朝阳区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合 A=x|x21 ，集合 B=x|x（x 2）0 ，则 AB=（）Ax|1x2 Bx|x 2 Cx
9、|0x2 Dx|x1，或 x2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】分别求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B，找出两集合的交集即可【解答】解：由 A 中不等式解得： x1 或 x1，即 A=x|x 1 或 x1 ，由 B 中不等式解得：0x2 ，即 B=x|0x2，则 AB=x|1x2，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2执行如图所示的程序框图，则输出的 n 的值是（）A7 B10 C66 D166【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 S=166 时满足条件S100
10、，退出循环，输出 n 的值为 10【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1n=4，S=17，不满足条件 S100，n=7 ，S=66不满足条件 S100，n=10 ，S=166满足条件 S100，退出循环，输出 n 的值为 10故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查3设 i 为虚数单位，mR，“复数 m（m1）+i 是纯虚数” 是“m=1”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念【专题】简易逻辑；数系的扩充和复数【分
11、析】直接利用复数的基本概念以及充要条件判断即可【解答】解：复数 m（m1）+i 是纯虚数，则 m=0 或 m=1，显然 m=1，复数是纯虚数，所以，“复数 m（m 1）+i 是纯虚数”是“m=1”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，基本知识的考查4已知平面上三点 A，B，C，满足| |=6，| |=8，| |=10，则 + + =（）A48 B48 C100 D100【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后进行向量的数量积运算，注意向量的夹角【解答】解：由题意| |2+| |2=| |2=10
12、0，所以 ABC 是直角三角形， A=90，所以 + + =610（ ）+810（ ）+0= 100；故选：D【点评】本题考查了勾股定理的逆定理运用以及向量的数量积运算；关键是明确向量的夹角，利用公式解答5已知函数 f（x）=2sin（ x+ ），若对任意的实数 x，总有 f（x 1）f （x）f（x 2），则|x 1x2|的最小值是（）A2 B4 C D2【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意可得|x 1x2|的最小值为半个周期，再利用 y=Asin（x+）的周期等于 T=，得出结论【解答】解：由题意可得|x 1x2|的最小值为半个周期，即 = = =2，故选：A【
13、点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数 y=Asin（x+）的周期等于 T= ，属于基础题6已知双曲线 =1（a 0，b0）与抛物线 y2=4x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P若|PF|= ，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= x By= 2x Cy= x Dy= x【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 p 和 c 的关系，根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标，代入双曲线方程与 p=2c，b 2=c2a2，解得 a，b，得到渐近线方程【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点坐标 F（1，0），p=2，抛物线的焦点
14、和双曲线的焦点相同，p=2c，即 c=1，设 P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+ =m+1= ， m= P 点的坐标为（ ， ） 解得： ，则渐近线方程为 y= x，故选：C【点评】本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能力解答关键是利用性质列出方程组7已知函数 f（x）= ，xR，若对任意 （0， ，都有 f（sin ）+f（1 m）0 成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（0，1） B（0，2） C（ ，1） D（，1【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求函数 f（x）定义域，及 f（ x）便得到 f（x）为奇函数，并能够通过求 f（x）判断 f（x）在 R 上单调递增，从而得到 sinm 1，也就是对任意的 都有sinm1 成立，根据 0sin1，即可得出 m 的取值范围【解答】解：f（x）的定义域为 R，f（x）=f（x）；f（x）=e x+ex0；f（ x）在 R 上单调递增；由 f（sin）+f（1m）0 得， f（sin）f （m1）；sinm1；即对任意 都有 m1sin 成立；0 sin1；m10；实数 m 的取值范围是（
