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1、数学分析课程教学大纲一、课程名称:数学分析二、课程编号：Z0302B Z00B Z0304B三、学时：320四、学分:2五、预修课程:初等数学六、修读说明：必修七、课程说明:讲授八、课程设置目的与要求通过本课程的教学,使学生初步掌握基本的系统的分析知识和抽象、严格的数学方法,以加深对中学数学的理解,并为进一步学习其它课程打下基础。九、学习教材与主要参考书 教材：华东师范大学,数学分析(第三版），高等教育出版社，001年 参考资料:1、数学分析学习指导书，吴良森等，高等教育出版社,（24）2、数学分析,陈传章等, 高等教育出版社 （983)3、数学分析, 欧阳光中等， 复旦大学出版社 （1991
2、)4、数学分析中的典型问题与方法 ， 裴礼文, 高等教育出版社 (19）十、教学进度及学时分配课程内容教学要求重点()难点()学时安排备注第一章 实数集与函数1. 实数数集、确界原理.函数概念4具有某些特性的函数B8学时第二章 数列极限1数列极限概念2. 收敛数列的性质3. 数列极限存在的条件B2学时第三章 函数极限1. 函数极限概念2. 函数极限的性质3. 函数极限存在的条件4. 两个重要的极限5. 无穷小量与无穷大量A*1学时第四章 函数的连续性1. 连续性概念2. 连续函数的性质3. 初等函数的连续性A*12学时第五章导数和微分1. 导数的概念2. 求导法则3. 参变量函数的导数4. 高
3、阶导数5. 微分18学时第六章微分中值定理及其应用1. 拉格朗日定理和函数的单调性2. 柯西中值定理和不定式极限3. 泰勒公式4. 函数的凸性与拐点5. 函数图象的讨论B6学时第七章实数的完备性1. 关于实数集完备性的基本定理2. 闭区间上连续性质的证明3. 上极限和下极限学时第八章不定积分 不定积分概念与基本积分公式 .换元积分法与分部积分法 .有理函数和可化为有理函数的不定积分16学时第九章 定积分1. 定积分概念2. 牛顿莱布尼茨公式3. 可积条件4. 定积分的性质5. 微积分学基本定理.定积分计算(续)A*6学时第十章定积分的应用 .平面图形的面积 2由平行截面面积求体积 3平面曲线的
4、弧长与曲率 4.旋转曲面的面积 5.定积分在物理中的某些应用 6.定积分的近似计算*1第十一章反常积分1. 反常积分概念2. 无穷积分的性质与收敛判别3. 瑕积分的性质与收敛判别1第十二章数项级数1. 级数的收敛性2. 正项级数3. 一般项级数B18第十三章 函数列与函数项级数1. 一致收敛性2. 一致收敛函数列与函数项级数的性质12第十四章 幂级数1. 幂级数2. 函数与幂级数展开B*10第十五章 傅里叶级数1. 傅里叶级数2. 以2l为周期的函数的展开式3. 收敛定理的证明C14第十六章多元函数的极限与连续1. 平面点集与多元函数2. 二元函数的极限3. 二元函数的连续性 *16第十七 多
5、元函数微分学1. 可微性2. 复合函数微分法3. 方向导数与梯度4. 泰勒公式与极值问题A*0第十八章 隐函数定理及其应用1. 隐函数2. 隐函数组3. 几何应用4. 条件极值B8第十九章 含参量积分1. 含参量正常积分2. 含参量反常积分3. 欧拉积分第二十章 曲线积分1. 第一型曲线积分2. 第二型曲线积分3. 两类曲线积分的联系B12第二十一章 重积分1. 二重积分概念2. 直角坐标系下二重积分的计算3. 格林公式.曲线积分与路线的无关性4. 二重积分的变量变换5. 三重积分6. 重积分的应用7. n重积分8. 反常二重积分*8第二十二章 曲面积分1. 第一型曲面积分2. 第二型曲面积分
6、3. 高斯公式与斯托克斯公式4. 场论初步B10（教学要求:A熟练掌握；B掌握；C了解）十一、课程教学内容纲要及重难点第一章实数集与函数一、主要内容:1.实数；2.数集与确界原理；.函数概念;4.具有某些特性的函数。二、基本要求：掌握实数的基本性质和确界原理，建立实数集确界概念;2深刻理解函数的概念,熟悉与函数性态有关的一些常见术语。三、重点、难点：本章的重点要深刻理解实数的确界、函数、反函数和复合函数等四个基本概念。第二章数列极限一、主要内容.数列,数列极限定义；2收敛数列的性质:唯一性，保号性,夹带性,有界性,四则运算的性质；3.收敛数列存在的条件。二、基本要求:.深刻理解数列极限的概念，
7、对于N不仅要领会思想方法，而且要用定义来证明有关极限问题;2熟悉收敛数列的性质,正确理解数列收敛性的判别法。掌握并会证明收敛数列性质、极限的唯一性、单调性、保号性及不等式性质;.掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。三、重点、难点：本章的重点是数列极限的概念，难点是数列极限的-N定义及其应用。在讲解定义时要注意学生从有限到无限的认识过程。第三章 函数极限一、主要内容:1函数极限的概念2.函数极限的性质；3.函数极限存在的条件；.两个重要的极限;5无穷小量与无穷大量。二、基本要求:1.准确建立函数(包括单侧极限）概念，深刻理解函数极限的-
8、,-定义，明了其几何意义,并能给出函数不以某定义为极限的相应陈述,能运用函数的极限定义证明与函数极限有关的某些命题;2.掌握函数的基本性质:唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性质等；3掌握eine定理与Cauhy准则,领会其实质以及啄木鸟感的基本思路;掌握两个重要极限并牢记结论，了解证明的基本思路和方法并能灵活地加以运用；.作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小(大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。三、重点、难点:本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算,难点是cauch准则和Hin定理的运用。第四章函数的连续性一、主要内容:1连续性概念； 2连续函数的性质； .初等函数的连
9、续性。 二、基本要求： 1深刻理解函数在一点连续（含单侧连续）的定义,并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述； 2.应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发,理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解,并能熟练准确地识别不同类别的间断点； 3.明确函数在一区间上连续是函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分函数连续与连续函数的不同内涵;.掌握连续函数的局部性质,连续函数的有理运算性质并能加以证明，熟悉复合函数的连续性和反函数的连续性；5.深刻理解初等函数在其有定义的区间上都是连续的,并能运用连续性的概念以及连续函数的性质加以证明,能熟练
10、运用这一结论求初等函数的极限; 掌握闭区间上连续函数的重要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用。 三、重点、难点：本章的重点是连续性的概念和闭区间上连续函数的性质,难点是一致连续性概念。 第五章 导数与微分一、主要内容：1导数及其几何、物理意义；2导数的基本运算:四则运算，复合函数求导法,反函数求导法，隐函数求导法;3.常见函数的导函数;4可导性与连续性的关系;可导性的局部性;不可导函数的例子;5微分的概念及其应用；6.高阶导数与高阶微分。二、基本要求：1了解导数产生的客观基础,并由此掌握用导数解决具体问题的思想方法；2.掌握求导的基本方法，熟记基本公式，熟练地解决一般的求
11、导问题;3.了解连续性、可导性、可微性之间的关系;4理解微分的意义。三、重点、难点：本章的重点是复合函数求导法则。第六章 微分中值基本定理及应用 一、主要内容:1ermat定理，Roll定理,gage定理，Cauchy定理;2ylor公式及其应用，近似值的计算;3函数的单调性,凸性及极值;不等式、极值点的判定;最大值与最小值;函数略图的作法；不定式极限;二、基本要求：深刻理解并掌握中值定理的几何意义。2.掌握常用的一些Tylor公式；掌握aylor公式中的拉格朗日余项和皮亚诺余项。3.能灵活运用洛必达法则处理不定式极限。4掌握利用导数性质讨论函数性质的方法，会画函数草图。5掌握用微分学知识解决
12、应用问题的基本能力,如函数单调性的判定,不等式的证明，极限问题等。三、重点、难点：本章的重点是微分中值定理的理解、函数图象的讨论;难点是微分中值定理的运用。第七章 实数的完备性 一、主要内容：1.关于实数集完备性性的基本定理;闭区间上连续函数性质的证明； 3上极限和下极限。 二、基本要求：1.深刻理解刻划实数完备性的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、有界覆盖定理、auhy收敛原理等几个等价命题，并且会用确界定理证明一些问题；会用“闭区间套定理”的二分法证明;“致密性定理”的抽子列法证明,并能证明其它的一些定理； 3会用单调有界定理与数列极限的Caucy收敛原理来证明一些极限存在
13、与不存在; 4.掌握运用基本定理证明闭区间上连续函数的性质,理解其证明的思想方法；.了解数列的上极限和下极限的概念及其与数列极限的关系。 三、重点、难点：本章的重点，也是难点是实数完备性的几个等价命题。 第八章 不定积分 一、主要内容：原函数与不定积分的概念;基本积分公式;换元积分法，分部积分法；4有理函数积分法；5某些可化为有理函数的积分。二、基本要求:.掌握原函数与不定积分的概念;2熟练掌握并能灵活应用基本积分公式;.熟练掌握凑微分法;4掌握抑元积分法，特别能较熟练地使用三角代换、根式代换;5掌握分部积分公式,会熟练处理形如 ， , ，之类的积分;掌握用分部积分法化不定积分成代数方程,从而求解不定积分的方法；掌握部分分式法解有理函数的不定积分的方法;8能灵活地处理三角函数的不定积分。三、重点、难点:本章的重点是不定积分 , 的不定积分。第九章 定积分 一、主要内容：1.定积分的概念;2.可积条件与可积函数类；3定积分的性质；.定积分的计算:牛顿莱布尼兹公式;换元积分法；分部积分法；.微积
