《北京市海淀区2015届高三下学期期中练习一模数学（理）试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市海淀区2015届高三下学期期中练习一模数学（理）试题含解析（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合 ， ，则 （ ）1|AxR2|4BxR ABA . B. C. D.2,)(,)(1,(,)【答案】A【解析】试题分析：由已知可得 ，故2,BAB2,)考点：集合的运算（2）抛物线 上的点到其焦点的最短距离为（ ）2=4xyA.4 B.2 C.1 D. 12【答案】C【解析】试题分析：由已知焦点为 ，故抛物线上的点到焦点的距离为)1,0(2
2、)(22 yyxd，当然也可作图，利用抛物线的定义)1(考点：抛物线（3）已知向量 与向量 的夹角为 ， ，则 （ ）ab601|ababA. B. C. D.3231【答案】D【解析】试题分析： ，当然也可160cos212)(|2 baba数形结合考点：向量的模（4） “ ”是“角 是第一象限的角”的（ ）sin0A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分条件、必要条件（5）圆 （ 为参数）被直线 截得的劣弧长为（ ）12cos,inxy 0y（A） （B） （C） （D）224【答案】A【解析】试题分析：圆的标准方程为 ，圆心
3、到直线 的距离为 1，故圆心2)1()(2yx 0y角为 ，故劣弧长为2考点：直线与圆的位置关系、弧长公式（6）若 满足 则下列不等式恒成立的是（ ）,xy0,1,（A） （B） （C） （D）2x20xy210xy【答案】D【解析】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项 A，B 错；由线性规划易得 的取yx2值范围为 ，故 不成立； 在 B 处取得最小，故R02yxyx212yx考点：线性规划（7）某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（ ） 正 视 图（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：第一个图是选项 A 的模型；第二个图是选项 B 的模型；第
4、三个图是选项 D 的模型.考点：三视图（8）某地区在六年内第 年的生产总值 （单位：亿元）与 之间的关系如图所示，则下列xyx四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（ ）Oyx5 64321（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年【答案】A【解析】试题分析：由图可知 3-4-5 这一段，增长率明显偏低，5-6 虽然高，但“分散到”六年平均就不高了.考点：年平均增长率二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 = . i1iai a【答案】2【解析】试题分析：由已知 ，故iiai2)1(a考点：复数的
5、运算（10）执行如图所示的程序框图，输出的 值为_ii =1, S= 01S输 出 ii =i+1S= S +lgi开 始结 束否是【答案】4【解析】试题分析：第一次： ；第二次: ；第三次:2lg,Si 6lg32l,3Si8l6g,4Si，结束循环，输出18lg4i考点：程序框图（11）已知 是等差数列，那么 =_； 的最大值为_,4mn(2)mn【答案】16；16【解析】试题分析：由已知得 ，故 ，8n(2)mn 1624m162mn考点：等差数列的性质及基本不等式（12）在 中，若 ，则 的大小为 . ABC,3,4acAB【答案】 或125【解析】试题分析：由正弦定理得： ，故 或2
6、3sinisinCcAa C，当 时， ；当 时，32C125CAB312CAB考点：解三角形（13）社区主任要为小红等 4 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，小红必须与 2 位老人都相邻，且两位老人不排在两端，则不同的排法种数是 . （用数字作答）【答案】24考点：排列与组合（14）设 若存在实数 ，使得函数 有两个零点，则 的32,().xafb()gxfba取值范围是 . 【答案】 (,0)(1,)【解析】试题分析：由已知若存在实数 ，使得函数 有两个零点，则函数 不是b()gxfb)(xf单调函数，数形结合可知当 时，函数 是单调递增的，故要使10a有两个零点，则 或
7、()gxfb考点：函数的性质、函数与方程三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15） （本小题满分 13 分）已知函数 . 2()sin()4fx（）求 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）求 的单调递减区间. ()3fx【答案】 （1） ， ， （2） ()24kZ)(127,Zkk所以 的单调递减区间为 . 13 分()3fx7,()12kkZ考点：三角函数的性质（16） （本小题满分 13 分）某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100个，并按， （10，20， （20，30， （30，40， （40
8、，50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（）写出频率分布直方图（甲）中的 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）a的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论）21s21s（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （）设 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各X组的频率作为概率，求 的数学期望 【答案】 （） ， ；（）0.42；（）0.9.0.15a2s【解析】试题分析：（）由各小矩形面积和为 1 可得到 ，由频率分布直方图可看出，
9、甲0.15a的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在 2030 箱，故 ；（）设事件 ：21sA在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 ：在未来的某一天里，乙种酸B奶的销售量不高于 20 箱；事件 ：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个C高于 20 箱且另一个不高于 20 箱. 则 ，()0.210.3PA. 所以 . （）由题意()0.1203PB()()42BPA可知， 的所有可能取值为 0，1，2，3. ，X033.7XC13().7.4C， .所以 的数学2189P 30().2PX期望为 0.3410.2.18930.27.9EX试题解析：（） ； 5
10、a2 分. 4 分21s所以 的分布列为X0 1 2 3P0.343 0.441 0.189 0.02711 分所以 的数学期望 .X0.3410.2.18930.279E13 分另解：由题意可知 .()B,所以 的数学期望 . 13309分考点：概率与统计（17） （本小题满分 14 分）如图 1，在直角梯形 中， ， ， ，四边ABCDBADC2BADC形 是正方形. 将正方形 沿 折起到四边形 的位置，使平面ABEFEF1EF平面 ， 为 的中点，如图 2.1M1（）求证： ；1BEDC（）求 与平面 所成角的正弦值； M（）判断直线 与 的位置关系，并说明理由1【答案】 （）见解析；（
11、） ；（）见解析.23015【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为 四边形为正方形，所以 .因为 平面 平面 ，平面 平1ABEFABE1 CD1FABECD面 ， 平面 ，1F所以 平面 ；（）建系来做，需要求出相应的方向向量及法向量，以点 为1CD B坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 .1,BE,xz xyz设 ，则 ， ， ，易得平面1A2(,)M1(2,0)12(,)EM的一个法向量为 ，故 与平面 所成角为 ，1CE,0nB1C；（）直线 与直线 平1230sinco, 5Bn D1CE行.通过坐标运算可得 ，所以 .
12、 12CEDM/1CE试题解析：（）证明：因为 四边形 为正方形，1ABF图 1 图 2A BCDE1F1MF EDC BA 所以 .ABE1因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平CD1FEABCDABFE11面 ，1ABF所以 平面 . 2 分1EAB因为 平面 ，C所以 . 4 分D1 zyx A BCDE1F1M则 .1023sinco, 5BMn所以 与平面 所成角的正弦值为 . 10 分BM1CE23015（）解：直线 与直线 平行. 理由如下： 11D1分由题意得， .2(2,10)(,0),M1(,02)CE所以 . 1CED所以 . 13/分因为 ， 不重合，M1E所以 . 14 分/DC另解：直线 与直线 平行. 理由如下：1PQA BCDE1F1M取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， .B1EQAPQM所以 且 .1/PQ12B因为 为 的中点，四边形 是正方形，M1AF1EF所以 且 .1/BE12考点：空间立体几何（18） （本小题满分 13 分）已知函数 . 1()ln(0)fxax（）求函数 的单调区间；（）若 （其中 ） ，求 的取值范围，并说明 .()0,xfbcca,(0,1)bc【答案】 （） （）见解析.【解析】试题分析：（） ，对 a 进行分类讨论：
