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1、1月大数据精选模拟卷03(新课标卷)文科数学本卷满分150分,考试时间120分钟。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知集合,则( )ABCD【答案】C【详解】因为集合,所以2若i为虚数单位,( )ABCD【答案】D【详解】.3设x,y满足约束条件,则的最大值为( )A2B4C6D8【答案】D【详解】作出不等式组表示的可行域,如图,设,由图可知,当直线经过点时,取到最大值,联立可得,代入可得取得最大值故选:D4华罗庚是上世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等他除了数学理论
2、研究,还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”“优选法”,是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16人为组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组,选其中一组4人的
3、样本混合检查以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过( )次检测A3B4C5D6【答案】B【详解】第一次:16人分两组,每组8人,如果第一组检测结果为阳性,放行第二组,留下第一组继续检测,如果第一组检测结果为阴性,放行第一组,留下第二组继续检测;第二次:留下的8人分两组,每组4人,如果第一组检测结果为阳性,放行第二组,留下第一组继续检测,如果第一组检测结果为阴性,放行第一组,留下第二组继续检测;第三次:留下的4人分两组,每组2人,如果第一组检测结果为阳性,放行第二组,留下第一组继续检测,如果第一组检测结果为阴性,放行第一组,留下第二组继续检测;第四次:留下的2人分两组,每组1人,如果第
4、一人检测结果为阳性,则第2人没有感染如果第一组检测结果为阴性,则第2人感染综上,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测故选:B5直线被圆所截得的弦长为2,则( )AB1C0D【答案】C【详解】解:因为直线被圆所截得的弦长为2,圆的圆心为,半径为,所以,即,解得,故选:C6的三边满足,则的最大内角为( )ABCD【答案】D【详解】由余弦定理可得,因此,的最大内角为.7PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图,A县、B县两个地区浓度的方差
5、较小的是( )AA县BB县CA县、B县两个地区相等D无法确定【答案】A【详解】根据茎叶图中的数据可知,A县的数据都集中在0.05和0.08之间,数据分布比较稳定,而B县的数据分布比较分散,不如A县数据集中,所以A县的方差较小故选:A8对于任意角,化简cos4sin4( )A2sin B2cos Csin 2Dcos 2【答案】D【详解】解:cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 29已知双曲线与函数的图象交于点,若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点,则双曲线的离心率是( )ABCD【答案】D【详解】设的坐标为,由左焦点,所以函数的导数,则在处的切线斜率
6、,即,得,则,设右焦点为,则,即,双曲线的离心率.10已知函数的部分图像如图所示,则函数解析式为( )ABCD【答案】C【详解】由函数图象可知,函数的最小值是-3,所以,解得:,当时,.11一个体积为的正三棱柱(底面为正三角形,且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则侧视图的面积为( )AB8CD12【答案】C【详解】侧视图的宽为,即为俯视图的高,底面正三角形的边长为,设三棱柱的高,体积为 侧视图的面积为:,12若,则,的大小关系为( )ABCD【答案】D【详解】由,指数函数为减函数,幂函数为增函数,所以,又对数函数为减函数,则,而,则,所以.综上;二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
7、。13曲线在点处的切线方程为_【答案】【详解】由题意得:,所以切线的斜率,又切点为,所以切线方程为,即,14在中,与的夹角为,则_【答案】【详解】解:.15已知直三棱柱其外接球的体积为_.【答案】【详解】已知AB=AC,三角形为等腰三角形,取M为BC的中点,连接AM,则AMBC,由已知得BC=,又,,再由正弦定理,(r为三角形外接圆半径),r=2,设两底面的外接圆的圆心分别为,外接球球心为的中点,外接球的半径,所以球的体积为,16过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若,则(O为坐标原点)的面积为_.【答案】【详解】由题意知,不妨设在第一象限,设,联立方程,整理可得,解得,.三、解答
8、题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若边上的中线的长为,求面积的最大值.【详解】解:(1)由正弦定理及可得,又,所以所以,因为,所以,因为,所以(2)因为是边上的中线,所以,两边平方得即所以当且仅当时取得最大值,此时.18如图,三棱柱的侧棱与底面垂直,点D是AB的中点(1)求证:;(2)求三棱锥的体积【详解】(1)平面,面, 又,平面,而平面,(2)因为侧面是平行四边形,所以所以19一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表:转速x(转/秒)1614128
9、每小时生产缺损零件数y(件)11985(1)作出散点图;(2)如果y与x线性相关,求出回归直线方程;(3)若实际生产中,允许每小时生产的产品中有缺损的零件最多为10个,机器的转速应控制在什么范围内?(结果保留整数)附:线性回归方程中,其中为样本平均值【详解】(1)根据表中的数据画出散点图如右图:(2)由题中数据可得,(3)令,解得,故机器的运转速度应控制在15转/秒内20已知椭圆:()的离心率,直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于,两个不同的点,且,求的取值范围.【详解】(1)因为原点到直线的距离为,所以(),解得.又,得所以椭圆的方程为.(2
10、)当直线的斜率为时,,所以,当直线的斜率不为时,设直线:,联立方程组,得,由,得,所以, , 由,得,所以.综上可得:,即.21已知函数,(1)当时,求函数的极值;(2)当时,讨论函数的单调性;(3)若对(-3,-2),1,3 ,不等式恒成立,求实数的取值范围.【详解】(1)当时,当时,当时,所以在上递减,在上递增,所以在处取得极小值,无极大值.(2)当时,定义域为,令得或,当,即时,由得或,由得,所以在和上单调递减,在上单调递增,当,即时,所以在上单调递减,当,即时,由得或,由得,所以在和上单调递减,在上单调递增,(3)由(2)可知对(-3,-2),在上单调递减,因为不等式恒成立,等价于,而
11、,所以,即对(-3,-2)恒成立,所以,解得.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目如果多做,则按所做的第一个题目计分22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).(1)写出直线与曲线的直角坐标方程;(2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任一点为,求的最小值.【详解】解:(1)由消去参数得所以直线的直角坐标方程为,由及得,所以曲线的直角坐标方程为(2)由得代入得所以曲线,因为为曲线上任一点,故可设,所以,当且仅当即时取得最小值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数(1)求不等式的解集;(2)若不等式的解集为空集,求实数m的取值范围【详解】(1)由不等式可得:,可化为:,或,或,解得:,或,或,综上不等式的解集为 (2)因为,当且仅当时,等号成立.所以,由不等式的解集为空集,得,所以,解得或,所以,实数的取值范围为